振型叠加法
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M pi
= 2ξ iω i
& y i (0) + ξ iω i y i (0) y i (t ) = e sin ω di t y i (0) cos ω di t + ω di t 1 + Qi (τ )e −ξ iω i (t −τ ) sin ω di (t − τ )dτ M piω di ∫ 0 i = 1,2, L , n ω di = ω i 1 − ξ i2
{Q(t )} = [Φ ]T {P(t )}
& y 解耦方程为: 解耦方程为 M pi &&i + C pi y i + K pi y i = Qi (t )
2 i
C pi
M pi 5、求系统在主坐标上的响应 、求系统在主坐标上的响应:
−ξ iω i t
M pi 1 &&i + 2ξ iω i yi + ω yi = & y Qi (t ) ξ i 第 i 阶模态阻尼比 M pi 1 1 & & {φ }T [M ]{x0 } , {φ }T [M ]{x0 } y i ( 0) = y i ( 0) = i i
6、将主坐标的响应变换回原来的物理坐标的响应: 、将主坐标的响应变换回原来的物理坐标的响应
{x(t )} = [Φ ]{y (t )}
= ∑ { }i yi (t ) φ
i =1
n
T
T
p
p
将阻尼矩阵处理为对角矩阵: 将阻尼矩阵处理为对角矩阵 (1)忽略矩阵中的非对角线元素 忽略矩阵中的非对角线元素
cij = 0
i≠ j
cii = C pi
称为第 i 阶模态阻尼
(2)将阻尼矩阵假设为比例阻尼 将阻尼矩阵假设为比例阻尼
[C ] = ao [M ] + a1 [K ]
[C P ] = ao [M p ] + a1 [K p ]
(3)由实验确定各阶振型的相对阻尼比。 由实验确定各阶振型的相对阻尼比。 由实验确定各阶振型的相对阻尼比
有阻尼系统响应的振型叠加法
4、对初始条件和激振力作变换: 、对初始条件和激振力作变换 {y (0)} = [M p ]−1 [Φ ]T [M ]{x0 } , {y (0)} = [M p ]−1 [Φ ]T [M ]{x0 } & &
有阻尼系统响应的振型叠加法
振动理论与测试技术 88学时 讲课教师 殷祥超
中国矿业大学 力学与建筑工程学院 力学与工程科学系 二○一○年八月
有阻尼系统响应的振型叠加法
1、建立系统的力学模型，列出系统的振动微分方程: 、建立系统的力学模型，列出系统的振动微分方程
& [M ]{&&} + [C ]{x} + [K ]{x} = {P(t )} x
T p
=0wk.baidu.com
2 i
求出固有频率 ω i
i
i = 1,2,L , n
求出主振型 { }i φ
3、作坐标变换，使方程解耦，求出主质量矩阵、主刚度矩阵和模态阻尼矩阵: 、作坐标变换，使方程解耦，求出主质量矩阵、主刚度矩阵和模态阻尼矩阵
[M ] = [Φ ] [M ][Φ ] [K ] = [Φ] [K ][Φ] [C ] = [Φ] [C ][Φ ]
2、对相应的无阻尼系统作模态分析，求出特征值和特征向量: 、对相应的无阻尼系统作模态分析，求出特征值和特征向量
[K ] − ω 2 [M ]
带入特征方程: 带入特征方程 构成振型矩阵: 构成振型矩阵
([K ] − ω [M ]){φ } = {0}
[Φ ] = [{φ }1 {φ }2 L {φ }n ]
= 2ξ iω i
& y i (0) + ξ iω i y i (0) y i (t ) = e sin ω di t y i (0) cos ω di t + ω di t 1 + Qi (τ )e −ξ iω i (t −τ ) sin ω di (t − τ )dτ M piω di ∫ 0 i = 1,2, L , n ω di = ω i 1 − ξ i2
{Q(t )} = [Φ ]T {P(t )}
& y 解耦方程为: 解耦方程为 M pi &&i + C pi y i + K pi y i = Qi (t )
2 i
C pi
M pi 5、求系统在主坐标上的响应 、求系统在主坐标上的响应:
−ξ iω i t
M pi 1 &&i + 2ξ iω i yi + ω yi = & y Qi (t ) ξ i 第 i 阶模态阻尼比 M pi 1 1 & & {φ }T [M ]{x0 } , {φ }T [M ]{x0 } y i ( 0) = y i ( 0) = i i
6、将主坐标的响应变换回原来的物理坐标的响应: 、将主坐标的响应变换回原来的物理坐标的响应
{x(t )} = [Φ ]{y (t )}
= ∑ { }i yi (t ) φ
i =1
n
T
T
p
p
将阻尼矩阵处理为对角矩阵: 将阻尼矩阵处理为对角矩阵 (1)忽略矩阵中的非对角线元素 忽略矩阵中的非对角线元素
cij = 0
i≠ j
cii = C pi
称为第 i 阶模态阻尼
(2)将阻尼矩阵假设为比例阻尼 将阻尼矩阵假设为比例阻尼
[C ] = ao [M ] + a1 [K ]
[C P ] = ao [M p ] + a1 [K p ]
(3)由实验确定各阶振型的相对阻尼比。 由实验确定各阶振型的相对阻尼比。 由实验确定各阶振型的相对阻尼比
有阻尼系统响应的振型叠加法
4、对初始条件和激振力作变换: 、对初始条件和激振力作变换 {y (0)} = [M p ]−1 [Φ ]T [M ]{x0 } , {y (0)} = [M p ]−1 [Φ ]T [M ]{x0 } & &
有阻尼系统响应的振型叠加法
振动理论与测试技术 88学时 讲课教师 殷祥超
中国矿业大学 力学与建筑工程学院 力学与工程科学系 二○一○年八月
有阻尼系统响应的振型叠加法
1、建立系统的力学模型，列出系统的振动微分方程: 、建立系统的力学模型，列出系统的振动微分方程
& [M ]{&&} + [C ]{x} + [K ]{x} = {P(t )} x
T p
=0wk.baidu.com
2 i
求出固有频率 ω i
i
i = 1,2,L , n
求出主振型 { }i φ
3、作坐标变换，使方程解耦，求出主质量矩阵、主刚度矩阵和模态阻尼矩阵: 、作坐标变换，使方程解耦，求出主质量矩阵、主刚度矩阵和模态阻尼矩阵
[M ] = [Φ ] [M ][Φ ] [K ] = [Φ] [K ][Φ] [C ] = [Φ] [C ][Φ ]
2、对相应的无阻尼系统作模态分析，求出特征值和特征向量: 、对相应的无阻尼系统作模态分析，求出特征值和特征向量
[K ] − ω 2 [M ]
带入特征方程: 带入特征方程 构成振型矩阵: 构成振型矩阵
([K ] − ω [M ]){φ } = {0}
[Φ ] = [{φ }1 {φ }2 L {φ }n ]