函数的奇偶性与周期性知识点与经典例题

函数的奇偶性与周期性知识点和经典试题本节知识点详解：
1．函数的奇偶性
2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y ＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．重要结论：
1.函数奇偶性的四个重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两
个对称的区间上具有相反的单调性．
(4)奇函数的图像在对称的区间上单调性相同，偶函数在对称的区间上单调性相反。

(5)运算性质
①“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；
②“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；
③“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．
2．函数周期性的三个常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；
(2)若f(x＋a)＝1
f(x)，则T＝2a；
(3)若f(x＋a)＝－1
f(x)，则T＝2a.(a>0)
3．函数对称性的三个常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；
(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y ＝f(x)关于点(b,0)中心对称．
经典选题
一、判断题：
判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错
误的打“×”．
(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．()
(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．()
(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．()
(4)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．()
(5)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．
答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√
二、选择题：
1．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b 的值是()
A．－1
3 B.
1
3 C.
1
2D．－
1
2
答案：B
2．下列函数为奇函数的是()
A．y＝2x－1
2x B．y＝x3sin x
C．y＝2cos x＋1 D．y＝x2＋2x
答案：A
3．下列函数为奇函数的是()
A．y＝x B．y＝|sin x|
C．y＝cos x D．y＝e x－e－x
答案：D
4．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递减，并且是偶函数的是
( )
A ．y ＝x 2
B ．y ＝－x 3
C ．y ＝－ln|x |
D ．y ＝2x
答案：C
5．(高考全国Ⅰ卷)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A ．f (x )g (x )是偶函数
B ．|f (x )|g (x )是奇函数
C ．f (x )|g (x )|是奇函数
D ．|f (x )g (x )|是奇函数
答案：C
6.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (x )，当0＜x ＜1
2时，
f (x )＝4x
，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－54＝( )
A ．－ 2
B ．－22
C ．－1 D.2
2 答案：A
7． 已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m ，则f (－2)＝( )
A ．－3
B ．－54 C.5
4 D ．3 答案：A
8．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B ．(－1,2)
C ．(－2,1)
D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 答案：C
9．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－1
f (x )，且在(0,1)上f (x )
＝3x ，则f (log 354)＝( )
A.32
B.23 C ．－32 D ．－23 答案：C
10．已知f (x )是定义在实数集R 上的奇函数，对任意的实数x ，
f (x －2)＝f (x ＋2)，当x ∈(0,2)时，f (x )＝－x 2
，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
132＝( )
A ．－94
B ．－14 C.14 D.94 答案：D
11． (理科)(2015·高考新课标卷Ⅱ)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－1
1＋x 2
，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 B.⎝ ⎛
⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ 答案：A
12．已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1
，则实数a 的取值范围为( )
A ．(－1,4)
B ．(－2,0)
C ．(－1,0)
D ．(－1,2) 答案：A
13．已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x ＜2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9 答案：B
14．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )
A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)
B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)
C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)
D ．f (－25)＜f (80)<f (11) 答案：D
三、填空题
1． (2017·高考全国Ⅱ卷)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝ ________ . 答案：12
2．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )>0的x 的取值范围是 ________ .
答案：(－1,0)∪(1，＋∞)
3． (2015·高考全国Ⅰ卷)若函数f (x )＝x ln (x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝ ________ .答案：1
4．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则f (x )＝ ________ .
答案：⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2－4x ，x >0，
0，x ＝0，
－x 2－4x ，x <0
5．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，若f (a )≥f (2)，则实数a 的取值范围是 __________ .
答案： {a |a ≥2或a ≤－2}。