第七章系统函数

• (1)求该系统的冲激响应和阶跃响应 • (2)若该系统的零状态响应为
yz(st)[1 2e te 2t1 2e 3t](t)
求其激励
(3)大致画出系统的幅频特性和相频特性 j
-3 -2 -1 0

• 解:(1) 根据零极点图，得
H(s) k (s2)(s3)
因为H(0)=1
那么系统函数的零点和极点对于jω轴是镜像对称的。
其系统函数可写为： H (s)( (s s s s1 1) )s s( ( s s2 2) )( (s s s s1 1) )s s( ( s s1 1 * *) )
K=6
H (s) 6 66
(s2)s(3) s2 s2
h(t)6(e2t e3t)(t)
g(t)th()d[1e2t 2e3t](t) 0
（2）
Yzs(s)

(s
1)(s
1 2)(s

3)
F(s) Yzs(s) 1 H(s) 6(s 1)
§7.1 系统函数与系统特性
• 主要内容：
• 一、系统的零点与极点 • 二、系统函数与时域响应 • 三、系统函数与频域响应
一、系统的零点与极点
• LTI系统的系统函数是复变量s或z的有理分式, 它是s或z的有理多项式B(·) 与A (·) 之比。
H() B() A()
对于连续系统
m
H(s)B A((ss))bm ssnm ab n m 1 s1n s m 1 1..... a.1b s1 s a0 b0bmnj1 (s(s pi)j) i1
f(t)et(t)
t
结论：
1）LTI连续系统的自由响应（书P 42 ）、冲击响应的函数 形式由H(s)的极点确定。
2）H(s)在左半开平面的极点所对应的响应函数是衰减的， 当t -> ∞ 时，对应的响应函数趋近于零。极点全部在左半
平面的系统是稳定的系统（见§7.2）。
3）H(s)在虚轴上的一阶极点对应的响应函数的幅度不随时间变 化。 4） H(s)在虚轴上的二阶及二阶以上的极点或在右半开平面上 的极点，其所对应的响应函数都随t的增长而增大，当t趋于无 限时，它们都趋于无穷大。这样的系统是不稳定的。 •见书P237
f (t) 1et(t)
6
• (3)因为极点均在左半开平面，所以
H (j)H (s)|sj(j2 )6j( 3 )
A1ej16A2ej2 |H(jw )|ej
根据上式可分别画出其幅频曲线和相频曲线
j
A2 A1
2
1
-3 -2 -1 0
| H( j) | 6
②H(z)在单位圆上的一阶极点所对应的响应函数为稳 态响应。
③H(z)在单位圆上的高阶极点或单位圆外的极点，其 所对应的响应序列都是递增的。即当k→∞时，响应均 趋于∞。
• 系统函数的收敛域与其极点的关系： • 根据收敛域的定义，H(.)收敛域不能含
H(.)的极点。 • 例3、某离散系统函数为
H(z) z z z0.5 z3
结论：
1)、LTI离散系统的自由响应、单位序列响应的函数形式由 H(z)的极点确定。
2)、 H(z)在单位圆内的极点所对应的响应序列是衰减的， 当k->∞ 时，对应的响应序列趋近于零。极点全部在 单
位圆内的系统是稳定的系统。
3)、 H(z)在单位圆上的一阶极点对应的响应序列的幅度不随 时间变化。
4)、 H(z)在单位圆上的二阶及二阶以上的极点或在单位圆外 的极点，其所对应的响应序列都随k的增长而增大，当k趋于 无限时，它们都趋于无穷大。这样的系统是不稳定的。
j pi Aieji
j j

Bj e j j

式中Ai、Bj分别是差矢量（ jω-pi)和（ jω- ζj ） 的模， θi、 φj 是它们的辐角。于是，系统函数可以写为：
H (j) b m A B 1 1 A B 2 2 A B n m e e j( j ( 1 1 2 2 n )m ) H (j)e j( )
• 对于离散系统
m
H(z)B A((z z))bm zznm ab n m 1 z1n z m 1 1..... a.1b z1 z a0 b0bmnj1 (z(z pi)j) i1
A(·)=0的根p1，p2，······，pn称为系统函数H(·) 的极点； B(·)=0的根ζ 1，ζ 2，······，ζ m称为
eT, T
可见，S平面的左半平面(<0)对应Z平面的圆内(|Z|=<1);在S平面 以虚轴为界，Z平面以|Z|=1的单位圆为界
(1) 0 sj
zej 1
(2) 0 sj
z1
(3) 0 z1
(4) 常数0
z R1
(5) 常数0
z r1
将零点、极点画在复平面上得到零、极点分布图
极点用“”表示； 零点用“o”表示。
j
（2）
j
本题：由H(s)得到零极点图
-2 -1
-j

• 例2、已知H(s)的零、极点分布图如下图 所示，并且h(0+)=2,求H(s)的表达式。
解：极点p1＝-1＋j2;p2=-1-j2
零点＝0
所以
ks
ks -1
冲激响应或单位序列响应的函数形式由H(.)的极点确定。
下面讨论H(.)极点的位置与其时域响应的函数形式。 所讨论系统均为因果系统。
1．连续因果系统 H(s)按其极点在s平面上的位置可分为:在左半开平
面、虚轴和右半开平面三类。 （1）在左半平面
(a) 若系统函数有负实单极点p= –α(α>0)，则A(s)中有因 子(s+α)，其所对应的响应函数为Ke-αtε(t)
第七章 系统函数
• 系统函数在系统分析中具有重要的地位。 • （1）可描述系统的微（差）分方程 • （2）与冲激（单位序列）响应构成直接变换关系。 • （3）反映时域特性频域特性 • （4）与框图、信号流图有对应关系 • （5）完成系统综合 • 本章主要内容： • 一、系统函数与系统特性 • 二、系统的稳定性 • 三、信号流图 • 四、系统模拟
(b) 若有一对共轭复极点p12=-α±jβ，则A(s)中有因 子[(s+α)2+β2]---K e-αtcos(βt+θ)ε(t)
(c) 若有r重极点， 则A(s)中有因子(s+α)r或[(s+α)2+β2]r，其响应为 Kiti e-αtε(t)或Kiti e-αtcos(βt+θ)ε(t) (i=0,1,2,…,r-1) 以上三种情况：当t→∞时，响应均趋于0。暂态分量。
2、离散系统
• 离散系统的系统函数H(z)的极点，按其在z平面的位置 可分为：在单位圆内、单位圆上和单位圆外三类。
S域与Z域的关系
zesT, s1lnz T
T为取样周期
S表示为直角坐标形式 sj,
Z表示为坐极标形式
z e ( j ) T e T e j T e j
j Im[z]
(7) 0,0
R
r Re[z]
1
1
(6) 0,0
z1
S平面映射到Z平面 zej
离散系统
k
m
H(z)

B(z) A(z)

bm (zj
j1
n
(z pi)
)
i1
Im[z]
k
×
×
k
× ××
o×
×
×
k
H(z)的极点与所对应的响应
Re[z] × k
k
三、系统函数与频域响应
1、连续系统
m
bm(jj)
H(j)H(s)|sj
j1 n
(jpi)
i1
要求系统函数的极点都在左半开平面
在s平面上，任意复数（常数或变数）都可以 用有向线段表示
jω
Ai
jω
Bj
p×i
θi
o
φj
ζj
零、极点矢量图 σ
• 对于任意极点 pi和零点ζj 令
（2）在虚轴上
(a)单极点p=0或p12=±jβ， 则响应为Kε(t)或Kcos(βt+θ)ε(t)-----稳态分量 (b) r重极点，相应A(s)中有sr或(s2+β2)r，其响应函数为 Kitiε(t)或Kiticos(βt+θ)ε(t)(i=0,1,2,…,r-1)—递增函数
（3）在右半开平面 ：均为递增函数。 综合结论： LTI连续因果系统的h(t)的函数形式由H(s)的极点确定。
系统函数H（·）的零点
极点pi和零点ζi的值可能是实数、虚数或复数。由于A(·)
和 B(·)的系数都是实数，所以零、极点若为虚数或复数， 则必共轭成对。
• 例1、已知系统函数如下所示，请求出系统的 零、极点，并画出其分布图
H(s)(s21()s2 (s22)1)
解：零点：＝－2；
极点：p1=p2=-1;p3=j;p4=-j
60
80
幅频曲线
相频曲线
• 全通函数： 如果系统的幅频响应|H(jω)对所有的
ω均为常数，则称该系统为全通系统，相应的系统函 数称为全通函数。 • 以二阶系统为例说明。
如有二阶系统，其系统函数在左平面有 一对共轭极点：
p1,2=－α ± jβ ，令s1=－p1， sห้องสมุดไป่ตู้=－p2，它在右半平面上
有一对共轭零点 ζ1= α＋jβ= s1， ζ 2= α － jβ= s2，
1、连续系统
f1 (t) |k 1 |e tco t s)(t)
>0
t ×
f(t)et(t)
×
jω
t
×
t s1,2 j
×
×
σ
t
×
t
m
H(s)

B(s) A(s)

bm (s j
j1
n
(s pi)
)
i1
s1×,2j
×
H(s)的极点与所对应的响应函数
所以 h(k)[(1)k3k](k1)
2
（3）因为系统为双边序列，所以收敛域为 1/2<|Z|<3;
所以
h(k)(1)k(k)3k( k1 )
2
问：因果系统的极点在…
二、系统函数与时域响应
• 时域特性能反映响应变化的快慢、上升、下 降时间长短及衰减的程度等。
• 系统的自由响应（P42）的函数（或序列） 形式由A(·)的根确定，亦即由H(·)的极点 确定，而冲击响应或单位序列响应的函数形 式也由H(·)极点确定。
①H(s)在左半平面的极点所对应的响应函数为衰减的。 即当t→∞时，响应均趋于0。
②H(s)在虚轴上的一阶极点所对应的响应函数为稳态分量。
③H(s)在虚轴上的高阶极点或右半平面上的极点，其所 对应的响应函数都是递增的。
即当t→∞时，响应均趋于∞。
2．离散因果系统
H(z)按其极点在z平面上的位置可分为:在单位圆内、 在单位圆上和在单位圆外三类。 根据z与s的对应关系，有结论： ①H(z)在单位圆内的极点所对应的响应序列为衰减的。 即当k→∞时，响应均趋于0。
（1）若系统为因果系统，求单位序列响应h(k)；
（2）若系统为反因果系统，求单位序列响应h(k) ；
（3） 若系统为双边序列，求单位序列响应h(k) ；
解： （1）因为系统为因果系统，所以收敛域为|Z|>3;
所以
h(k)[ (1)k3k](k)
2
（2）因为系统为反因果系统，所以收敛域为 |Z|<1/2;
| A1A2 |
(1 2 )

2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
1 4
0.9
0.8
3
0.7
2
0.6 1
0.5 0
0.4
0.3
-1
0.2
-2
0.1 -3
0
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80 -4
-80
-60
-40
-20
0
20
40
式中幅频响应：
H(j)bmB1B2Bm
A1A2An
• 相频响应：
() (1 2 m ) (1 2 n )
提示：把频率从0（或-）变化到+ ,根据各矢量 模和幅角的变化，就可大致画出幅频响应和相频响 应曲线。
• 例1、某线性系统的系统函数的零、极点如图 所示,已知H(0)=1。
H (s) (s 1 j2 )s( 1 j2 )s2 2 s 5
j j2
-j2
根据初值定理，有
h (0 ) ls i s m ( H s) ls i s m 2 k 2 2 s s5 k 2
H(s)s222ss5 本题：由零极点图得到H(s)
二、系统函数H(·)与时域响应h(·)