高中数学必修2立体几何专题-线面垂直方法总结

【解析】 1 在Rt ABC中，AB＝1， BAC＝60， 所以BC＝ 3，AC＝2. 在Rt ACD中，AC＝2，CAD＝60， 所以CD＝2 3，AD＝4. 1 1 所以S ABCD＝ AB· BC＋ AC · CD 2 2 1 1 5 ＝ 1 3 2 2 3＝ 3. 2 2 2 1 5 5 则V ＝ 3 2＝ 3. 3 2 3
用线面垂直的性质 定理证明线线垂直
【例2】 已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，ACB＝90， CB＝1，CA＝ 3，，C1C＝ 6，M 是CC1的中点， 求证：A1B AM .
【证明】如图，∠ACB＝90°， 所以BC⊥AC. 又在直三棱柱ABC－A1B1C1 中，CC1⊥平面ABC，所以BC⊥CC1. 而AC∩CC1＝C， 所以BC⊥平面AA1C1C， 所以BC⊥AM. 连结A1C. 可以证明Rt△ACM∽Rt△AA1C，所以AM⊥A1C. 而 A1C∩BC ＝ C ， 所 以 AM⊥ 平 面 A1BC ， 所 以 A1B⊥AM.
4.在几何体ABCDE中，BAC＝ ，DC 平面 2 ABC，EB 平面ABC，F 是BC的中点，AB＝AC. 求证： 1 DC 平面ABE；

2 AF 平面BCDE.
【证明】 1因为DC 平面ABC，EB 平面ABC， 所以DC / / EB. 又因为DC 平面ABE，EB 平面ABE， 所以DC / / 平面ABE.
(2) 证明：因为 PA ＝ CA ， F 为 PC 的中点，所 以AF⊥PC. 因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD. 因为AC⊥CD，PA∩AC＝A， 所以CD⊥平面PAC.所以CD⊥PC. 因为E为PD中点，F为PC中点， 所以EF∥CD.则EF⊥PC. 因为AF∩EF＝F，所以PC⊥平面AEF.
1．已知四棱锥P－ABCD的顶点P在底面的 射影恰好是底面菱形 ABCD 的两条对角线 的交点，若AB＝3，PB＝4，则PA长度的取 值范围为____________．
【解析】由题意知，PO 平面ABCD，AB＝3， PB＝4，设PO＝h，OB＝x， 则PA2＝h 2＋9－x 2＝ 16－x 2－x 2＋9＝25－2x 2， 又因为0 x 3，所以7 25－2x 2 25， 所以 7 PA 5.
3 证明：取AD中点M ，连结EM ，CM .
则EM / / PA. 因为EM 平面PAB，PA 平面PAB， 所以EM / / 平面PAB. 在Rt ACD中，CAD＝60，AC＝AM ＝2， 所以ACM＝60.而BAC＝60，所以MC / / AB. 因为MC 平面PAB，AB 平面PAB， 所以MC / / 平面PAB.因为EM MC＝M ， 所以平面EMC / / 平面PAB. 因为EC 平面EMC，所以EC / / 平面PAB.
B1P 求当 等于多少时， PB PO 平面D1 AC ?
【解析】 1 证明： 因为ABCD为菱形， 所以AC BD. 连结B1D1. 因为D1D 底面ABCD， 所以AC D1D. 又BD D1D＝D，所以AC 平面BB1D1D. 因为D1P 平面BB1D1D，所以D1P AC.
本题考查直线与直线垂直、直线与平面垂 直等基础知识，考查空间想象能力和推理论证 能力．立体几何的证明关键是学会分析和掌握 一些常规的证明方法．如：已知中点证明垂直 时要首先考虑等腰三角形中的“三线合一”； 已知线段或角度等数量关系较多时最好标示出 来，充分进行计算，从而发现蕴含的垂直等关 系；已知线面垂直时会有哪些结论，是选择线 线垂直还是选择面面垂直；要证明结论或要得 到哪个结论，就必须满足什么条件等．
1.有下列四个命题： ①若一条直线垂直于一个平面内无数条直线，则 这条直线与这个平面互相垂直； ②若两条直线互相垂直，其中一条垂直于一个平 面，则另一条直线与该平面平行； ③若两条直线同时垂直于同一个平面，则这两条 直线互相平行； ④若一条直线和一个平面不垂直，则这个平面内 不存在与该条直线垂直的直线． ①②④ 其中错误的命题是_______________.
2. 在正方体 ABCD － A1B1C1D1 中，棱长 为 2 ， M 是 AD1 上任意一点， M 到平面 2 BCB1的距离是_______.
3.如图，在正方形SG1G2G3中， E，F分别是G1G2，G2G3的中 点，D是EF的中点，现沿SE， SF及EF把这个正方形折成 一个几何体，使G1，G2，G3三点重合于点G，这 样，下列五个结论：① SG⊥平面 EFG ；② SD⊥ 平面EFG；③GF⊥平面SEF；④EF⊥平面GSD； ①④ ⑤GD⊥平面SEF.其中正确的是_______.
2．判定线面垂直的方法，主要有五种： ①利用定义； ②利用判定定理； ③结合线线平行：若a / /b，a ，则b ； ④面面垂直的性质： 若 ， ＝b，a ，a b，则a ； ⑤面面平行的性质： 若 / / ，a ，则a .
3．面面垂直的性质的理解中三个条 件也不可缺少，即： ①两个平面垂直； ②其中一个平面内的直线； ③垂直于交线．所以无论何时见到已知两 个平面垂直，都要首先找其交线，看是否 存在直线垂直于交线来决定是否该作辅助 线，这样就能目标明确，事半功倍．
2 取A1C的中点M，连结EM，又因为E为AC的中点，
所以EM AA1，A1E＝CE， 所以EM A1C，所以AA1 A1C， 又因为EF 平面A1EC，A1 A 平面A1EC，所以AA1 EF， 又EF BC，所以AA1 BC， 又A1C BC＝C，所以AA1 平面A1BC.
【例1】 如图，在四棱锥 P—ABCD 中， PA⊥底面 ABCD ， AB⊥AD ， AC⊥CD ， ∠ ABC ＝ 60° ， PA ＝ AB ＝ BC ， E 是 PC 的 中 点．证明： (1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE；
用定义或判定定理 证明线面垂直
【证明】(1)在四棱锥P—ABCD中，因为PA⊥ 底面ABCD，CD平面ABCD，故PA⊥CD. 又因为 AC⊥CD ， PA∩AC ＝ A ，所以 CD⊥平 面PAC. 而AE平面PAC，所以CD⊥AE. (2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，得△ABC 是等边三角形，故AC＝PA.
【证明】直棱柱ABCD－A1B1C1D1中， BB1 平面ABCD，所以BB1 AC. 又因为BAD＝ADC＝90，AB ＝2AD＝2CD＝2， 所以AC＝ 2，CAB＝45， 所以BC＝ 2，所以BC AC. 而BB1 BC＝B，BB1，BC 平面BB1C1C. 所以AC 平面BB1C1C.
因为E是PC的中点，所以AE⊥PC. 由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C， 所以AE⊥平面PCD. 而PD平面PCD，所以AE⊥PD. 又因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB. 由已知得 AB⊥AD ，且 PA∩AD ＝ A ，所以 AB⊥ 平面PAD. 又PD平面PAD，所以AB⊥PD. 因为AB∩AE＝A，所以PD⊥平面ABE.
(2)连结NR， 则∠NRM＝∠PDA＝45°. 又O为MR的中点， 且NO⊥MR， 所以△ MNR 为等腰三角形且∠ NRM ＝ ∠NMR＝45°， 所以∠MNR＝90°，所以MN⊥NR. 又 MN⊥CD ， 且 NR∩CD ＝ R ， 所 以 MN⊥平面PCD.
1．在线面垂直的定义中，一定要 弄清楚“任意”与“无数”这两个术 语内涵的差异，后者存在于前者 中．“任意”的理解最终转化为“两 条相交直线”，证明时此条件不可缺 少．
【证明】(1)连结AC，取其 中点O，连结NO、MO，并 延长MO交CD于R. 因为N为PC的中点， 所以NO为△PAC的中位线，所以NO∥PA. 而 PA⊥平面 ABCD ，所以 NO⊥平面 ABCD ，所 以NO⊥CD. 又四边形 ABCD 是矩形， M 为 AB 的中点， O 为 AC的中点，所以MO⊥CD. 而 MO∩NO ＝ O ， 所以 CD⊥平面 MNO ，所 以 CD⊥MN.
证明线线垂直常构造一个 平面经过一条直Fra Baidu bibliotek与另一条直 线垂直，从而达到由线面垂直 证明线线垂直的目的．
【变式练习2】 如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱AA1＝ 6， 底面ABCD是菱形，AB＝2，ABC＝60，P为侧棱 BB1上的动点．
1 求证：D1P AC； 2 设AC BD＝O，
2 因为DC 平面ABC，所以DC AF .
又因为BAC＝ ，且AB＝AC，所以AF BC. 2 而BC DC＝C，所以AF 平面BCDE.

5.如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、 N分别是AB、PC的中点． (1)求证：MN⊥CD； (2)若∠PDA＝45°， 求证：MN⊥平面PCD.
【变式练习1】 如图， E，F分别为直角三角形 ABC 的直角 边 AC 和斜边 AB 的中点，沿 EF 将△ AEF 折 起到△ A1EF 的位置，连结 A1B ， A1C. 求证： (1)EF⊥平面A1EC； (2)AA1⊥平面A1BC.
【证明】 1因为E，F 分别为AC和AB的中点， 所以EF / / BC， 因为AC BC，所以EF EC，EF A1E， 又A1E CE＝E，A1E 平面A1EC，CE 平面A1EC， 所以EF 平面A1EC.
2 1 2
因为D1O AC＝O，D1O，AC 平面ACD1， 所以OE 平面ACD1.
要证线面垂直可找线线垂 直，这是几何中证明线面垂直 时常用的方法，在证明线线垂 直时，要注意从数量关系方面 找垂直，如利用勾股定理等．
【变式练习3】 直棱柱 ABCD － A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是直角梯形，∠ BAD ＝∠ ADC ＝ 90°， AB ＝ 2AD ＝ 2CD ＝ 2. 求 证 ： AC⊥ 平 面 BB1C1C.
答案： ( 7， 5)
【解析】①中n可能在α内；②n与m可以垂 直；由线面垂直与面面垂直知③④是正确 的. 答案：③④ 选题感悟： 本题呈现的是空间中的线线、 线面、面面之间的位置关系，能有效的考 查考生的空间想象能力和推理能力．
3．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝ ∠ ACD ＝ 90°，∠ BAC ＝∠ CAD ＝ 60°， PA⊥ 平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB＝2. (1)求四棱锥P－ABCD的体积V； (2)若F为PC的中点， 求证：PC⊥平面AEF； (3)求证：CE∥平面PAB.
通过计算证明线 线垂直
【例3】 如 图 ， 在 正 方 体 ABCD － A1B1C1D1 中， E 是 BB1 的中点， O 是 底 面 正 方 形 ABCD 的 中 心．求证：OE⊥平面ACD1.
【证明】如图，连结AE，CE，D1O，D1B1，D1E. 设正方体DB1的棱长为a.易证AE＝CE. 又因为AO＝OC，所以OE AC. 在正方体DB1中易求出： 6 D1O＝ DD DO ＝ a， 2 3 2 2 OE＝ BE1 OB ＝ a， 2 3 2 2 D1E＝ D1B1 B1E ＝ a，所以D1O 2＋OE 2＝D1E 2， 2 所以D1O OE.
B1P 2 当 ＝1时，PO 平面D1 AC. PB 证明：连结D1O，因为底面ABCD是菱形， 所以O是AC，BD的中点， 因为PA＝PC，OA＝OC，所以PO AC， 又因为ABC＝60，AB＝2， 所以 ABC是等边三角形，BO＝DO＝ 3， D1D 6 OB 3 在矩形D1DBB1中，有 2， ＝ ＝ 2， DO BP 3 6 2 所以 D1DO∽ OBP，所以D1OD＋POB＝90， 所以PO D1O，又D1O AC＝O，所以PO 平面D1 AC.