芜湖市八年级数学下册第三单元《平行四边形》测试(有答案解析)

一、选择题
1．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在对角线BD 上，且∠BAE ＝22.5°，EF ⊥AB ，垂足为F ，则EF 的长为（ ）
A ．4﹣22
B ．32﹣4
C ．1
D ．2
2．如图，在ABC 中，D ，E 分别是,AB AC 的中点，12BC =，F 是DE 的上任意一点，连接,AF CF ，3DE DF =，若90AFC ∠=︒，则AC 的长度为（ ）
A ．4
B ．5
C ．8
D ．10
3．如图，在平行四边形ABCD 中，100B D ︒∠+∠=，则B 等于（ ）
A ．50°
B ．65°
C ．100°
D ．130°
4．下列说法正确的是（ ）
A ．有一个角是直角的平行四边形是正方形
B ．对角线互相垂直的矩形是正方形
C ．有一组邻边相等的菱形是正方形
D ．各边都相等的四边形是正方形 5．如图，在平行四边形ABCD 中，90B ∠<︒，BC AB >．作A
E BC ⊥于点E ，A
F CD ⊥于点F ，记EAF ∠的度数为α，AE a =，AF b =．则以下选项错误的是（ ）
A ．::a b CD BC =
B ．D ∠的度数为α
C ．若60α=︒，则四边形AECF 的面积为平行四边形ABC
D 面积的一半
D ．若60α=︒，则平行四边形ABCD 的周长为()433
a b + 6．已知矩形ABCD ，下列条件中不能判定这个矩形是正方形的是（ ）
A ．AC BD ⊥
B ．A
C B
D = C ．AC 平分BAD ∠ D ．ADB ABD ∠=∠ 7．如图，在菱形ABCD 中，对角线BD ＝4，AC ＝3BD ，则菱形ABCD 的面积为（ ）
A ．96
B ．48
C ．24
D ．6 8．顺次连接矩形ABCD 各边的中点，所得四边形是（ ） A ．平行四边形
B ．正方形
C ．矩形
D ．菱形 9．下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A ．对角线相等 B ．对角线互相平分 C ．对角线互相垂直 D ．对边相等且平行 10．如图，已知在正方形ABCD 中，
E 是BC 上一点，将正方形的边CD 沿DE 折叠到D
F ，延长EF 交AB 于点
G ，连接DG ．现有如下4个结论：①AG ＝GF ；②AG 与EC 一定不相等；③45GDE ∠=︒；④BGE △的周长是一个定值．其中正确的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
11．如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在AB 上，且:1:2AE BE =，连接AD ，CE 交于点F ，若60ABC S =△，则DBEF S =四边形（ ）
A ．15
B ．18
C ．20
D ．25
12．如图，已知平行四边形ABCD 中，4B A ∠=∠，则C ∠=（ ）
A ．18°
B ．36°
C ．72°
D ．144°
二、填空题
13．一个三角形的三边长分别为 6，8，10，则这个三角形最长边上的中线为_____． 14．已知梯形的上底长是5cm ，中位线长是7cm ，那么下底长是_____cm ． 15．如图，直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，AF 平分CAB ∠交CD 于点E ，交BC 于点F ，//EG AB 交CB 于点G ，FH AB ⊥于H ，以下4个结论：①ACD B ∠=∠；②CEF △是等边三角形；③CD FH DE =+；④BG CE =中正确的是______（将正确结论的序号填空）
16．如图，将长方形纸片ABCD 沿着对角线BD 翻折，点C 落在点C '处，BC '与AD 交于点E ．若20AD cm =，5AB cm =，则DE =_______cm ．
17．如图，90MON ∠=︒，矩形ABCD 的顶点A ，B 分别在边OM ，ON 上，当点B 在边ON 上移动时，点A 随之在边OM 上移动，2AB =，1BC =，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为______．
18．如图，点E 是平行四边形ABCD 的边BC 上一点，连结AE ，并延长AE 与DC 的延长线交于点F ，若AB AE =，50F ∠=︒，则D ∠=______︒．
19．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是斜边AB 中点，若∠B ＝30°，AC ＝2，则CD ＝_____．
20．如图（1）所示为长方形纸带，将纸带沿EF 折叠成图（2），再沿BF 折叠成图（3），继续沿EF 折叠成图（4），按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住EFG ；整个过程共折叠了8次，问图（1）中DEF ∠的度数是_________．
三、解答题
21．在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 是AB 的中点，点E 是直线BC 上一点（不与点B ，C 重合），连结CD ，DE ．
（1）如图
①若90CDE ∠=︒，求证：A E ∠=∠．
②若BD 平分CDE ∠，且24E ∠=︒，求A ∠的度数．
（2）设()45A αα∠=>︒，DEC β∠=，若CD CE =，求β关于α的函数关系式，并说明理由．
22．在ABC 中，AC BC =，点E 在边AB 所在的直线上，过点E 作//DE BC 交直线AC 于点D ，//EF AC 交直线BC 于点F ，构造出平行四边形CDEF ．
（1）若点E 在线段AB 上时．
①求证：FE FB =．
②求证：DE EF BC +=．
（2）点E 在边AB 所在的直线上，若8BC =，2EF =，请作出简单示意图并直接写出DE 的长度．
23．如图，BD 为ABC 的角平分线，E 为AB 上一点，BE BC =，连结DE ． （1）求证：BDC BDE ≅△△；
（2）若7AB =，2CD =，90︒∠=C ，求ABD △的面积．
24．已知：如图，ABCD 中，AE 、CF 分别是BAD ∠和BCD ∠的角平分线，分别交边DC 、AB 于点E 、F ，求证：AE CF =．
25．如图，在直角ABC 中，90BAC ∠=︒，点D 是BC 上一点，连接AD ，把AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到AE ，连接DE 交AC 于点M ．
（1）如图1，若2,30,AB C AD BC =∠=︒⊥，求CD 的长；
（2）如图2，若45ADB ∠=︒，点N 为ME 上一点，12
MN BC =，求证：AN EN CD =+；
（3）如图3，若30C ∠=︒，点D 为直线BC 上一动点，直线DE 与直线AC 交于点M ，当ADM △为等腰三角形时，请直接写出此时CDM ∠的度数．
26．如图，AD 为ABC ∆的中线，BE 为ABD ∆的中线．
（1）15ABE ∠=︒，40BAD ∠=︒，求 BED ∠的度数；
（2）若ABC ∆的面积为40，5BD =，则E 到BC 边的距离为多少．
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABD ＝∠ADB ＝45°，再求出∠DAE 的度数，根据三角形的内角和定理求∠AED ，从而得到∠DAE ＝∠AED ，再根据等角对等边的性质得到AD ＝DE ，然后求出正方形的对角线BD ，再求出BE ，最后根据等腰直角三角形的直角边等于
倍计算即可得解．
斜边的
2
【详解】
解：在正方形ABCD中，∠ABD＝∠ADB＝45°，
∵∠BAE＝22.5°，
∴∠DAE＝90°﹣∠BAE＝90°﹣22.5°＝67.5°，
在△ADE中，∠AED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠DAE＝∠AED，
∴AD＝DE＝4，
∵正方形的边长为4，
∴BD＝
∴BE＝BD﹣DE＝
﹣4，
∵EF⊥AB，∠ABD＝45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴EF
×（﹣4）＝4﹣．
故选：A．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等角对等边的性质，正方形的对角线与边长的关系，等腰直角三角形的判定与性质，根据角的度数的相等求出相等的角，再求出DE=AD是解题的关键，也是本题的难点．
2．C
解析：C
【分析】
根据三角形中位线定理求出DE，根据题意求出EF，根据直角三角形的性质计算即可．【详解】
解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=1
BC=6，
2
∵DE=3DF，
∴EF=4，
∵∠AFC=90°，E是AC的中点，
∴AC=2EF=8，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
3．A
解析：A
【分析】
根据平行四边形的对角相等求出∠B 即可得解．
【详解】
解：□ABCD 中，∠B ＝∠D ，
∵∠B +∠D ＝100°，
∴∠B ＝12
×100°＝50°， 故选：A ．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，主要利用了平行四边形的对角相等是基础题． 4．B
解析：B
【分析】
根据正方形的判定：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角进行分析即可．
【详解】
解：A.有一个角是直角的平行四边形是正方形，说法错误，应是矩形，不符合题意；
B.对角线互相垂直的矩形是正方形，说法正确，符合题意；
C.一组邻边相等的矩形是正方形，说法错误，不合题意；
D.各边都相等的四边形是菱形，不是正方形，不合题意．
故选B ．
【点睛】
本题主要考查了正方形的判定，关键是掌握正方形的判定方法．
5．C
解析：C
【分析】
由平行四边形的性质得出//AD BC ，AD BC =，AB CD =，B D ∠=∠，得出180D C ∠+∠=︒，求出180EAF C ∠+∠=︒，得出B D EAF α∠=∠=∠=；由平行四边形ABCD 的面积得出::a b CD BC =；若60α=︒，则60B D ∠=∠=︒，求出
30BAE DAF ∠=∠=︒，由直角三角形的性质得出BE AE =
=，
DF ，得出2AB BE =，2AD DF ==，求出平行四边形
ABCD 的周长2())AB AD a b =+=
+；求出ABE ∆的面积212BE AE =⨯=，
ADF ∆的面积2=，平行四边形ABCD 的面积BC AE a =⨯=⨯=，得出
四边形AECF 的面积=平行四边形ABCD 的面积ABE -∆的面积ADF -∆的面积
22)a b =+≠平行四边形ABCD 面积的一半；即可得出结论． 【详解】 解：四边形ABCD 是平行四边形，
//AD BC ∴，AD BC =，AB CD =，B D ∠=∠，
180D C ∴∠+∠=︒，
AE BC ⊥于点E ，AF CD ⊥于点F ，
360290180EAF C ∴∠+∠=︒-⨯︒=︒，
B D EAF α∴∠=∠=∠=；
平行四边形ABCD 的面积BC AE CD AF =⨯=⨯，AE a =，AF b =，
BC a CD b ∴⨯=⨯，
::a b CD BC ∴=；若60α=︒，
则60B D ∠=∠=︒，
30BAE DAF ∴∠=∠=︒，
BE AE ∴==，DF =，
2AB BE ∴==，2AD DF ==，
∴平行四边形ABCD 的周长2())AB AD a b =+=+；
ABE ∆的面积21122BE AE a =⨯=⨯=，ADF ∆的面积
21122DF AF b =⨯=⨯，平行四边形ABCD 的面积
BC AE a =⨯=
⨯=， ∴四边形AECF 的面积=平行四边形ABCD 的面积ABE -∆的面积ADF -∆的面积
22)a b =+≠平行四边形ABCD 面积的一半； 综上所述，选项A 、B 、D 不符合题意，选项C 符合题意；
故选：C ．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、三角形面积等知识；熟练掌握平行四边形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．
6．B
解析：B
【分析】
根据矩形的性质及正方形的判定进行分析即可．
【详解】
解：四边形ABCD是矩形，AC BD
⊥，
∴矩形ABCD是正方形；
四边形ABCD是矩形，
//
AD BC
∴，
DAC BCA
∴∠=∠，
AC平分BAD
∠，
BAC DAC
∴∠=∠，
BAC ACB
∴∠=∠，
∴AB BC
=，
∴矩形ABCD是正方形；
ADB ABD
∠=∠，
∴AB AD
=，
∴四边形ABCD是矩形，
∴矩形ABCD是正方形；
故选：B．
【点睛】
本题考查矩形的判定，解题的关键是掌握正方形的判定方法．7．C
解析：C
【分析】
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半解答．
【详解】
解：∵BD＝4，AC＝3BD，
∴AC＝12，
∴菱形ABCD的面积为1
2AC×BD＝
1
124
2
⨯⨯＝24．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查菱形的性质，利用对角线求面积的方法，在求菱形的面积中用得较多，需要熟练掌握．
8．D
解析：D
利用三角形中位线定理,矩形对角线的性质,菱形的判定判断即可.
【详解】
如图，设矩形ABCD各边的中点依次为E，F，G，H，
∴EF，FG，GH，HE分别是△ABC，△BCD，△CDA，△DAB的中位线，
∴EF=1
2AC，FG=
1
2
BD，GH=
1
2
AC，EH=
1
2
BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形，
故选D.
【点睛】
本题在矩形背景考查了三角形中位线定理，菱形的判定，矩形的性质，熟练运用三角形中位线定理，矩形的性质，菱形的判定是解题的关键.
9．C
解析：C
【分析】
根据矩形和菱形的性质即可得出答案．
【详解】
解：A：因为矩形的对角线相等，故此选项不符合题意；
B：因为菱形和矩形的对角线都互相平分，故此选项不符合题意；
C：因为对角线互相垂直是菱形具有的性质，故此选项符合题意；
D：因为矩形和菱形的对边都相等且平分，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查矩形和菱形的性质，掌握矩形和菱形性质的区别是解题关键．
10．C
解析：C
【分析】
根据HL证明△ADG≌△FDG，根据角的平分线的意义求∠GDE，根据GE=GF+EF=EC+AG，确定△BGE的周长为AB+AC.
根据折叠的意义，得△DEC≌△DEF，∴EF=EC，DF=DC，∠CDE=∠FDE，∵DA=DF，DG=DG，
∴Rt△ADG≌Rt△FDG，
∴AG=FG，∠ADG=∠FDG，
∴∠GDE=∠FDG+∠FDE
=1
2
（∠ADF+∠CDF）
=45°，
∵△BGE的周长=BG+BE+GE，GE=GF+EF=EC+AG，
∴△BGE的周长=BG+BE+ EC+AG
=AB+AC，
是定值，
∴正确的结论有①③④，
故选C.
【点睛】
本题考查了正方形中的折叠变化，直角三角形的全等及其性质，角的平分线，三角形的周长，熟练掌握折叠的全等性是解题的关键.
11．D
解析：D
【分析】
过D作DG∥AB，交CE于G，连接DE，根据三角形中位线的定理可得CG＝EG，通过
△DGF≅△AEF，可得AF=DF，再利用三角形的面积可求解．
【详解】
过D作DG∥AB，交CE于G，连接DE，
∵D为BC的中点，
∴DG为△BCE的中位线，
∴BE＝2GD，CG＝EG，
∵:1:2
AE BE ，
∴AE=GD，
∵DG ∥AB ，
∴∠AEF=∠DGF ，∠EAF=∠GDF ，
∴△DGF ≅△AEF ，
∴AF=DF ，
∵60ABC S △，
∴S △ABD ＝30，S △AED ＝10，
∴S △AEF ＝5，
∴S 四边形DCEF ＝S △ABD −S △AEF ＝30−5＝25，
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查三角形的面积，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．
12．B
解析：B
【分析】
利用平行四边形的性质解决问题即可
【详解】
解：在平行四边形ABCD 中，
∵BC ∥AD ，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠B=4∠A ，
∴∠A=36°，
∴∠C=∠A=36°，
故选：B ．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
二、填空题
13．5【分析】根据勾股定理逆定理判断出三角形是直角三角形然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可【详解】解：∵62+82＝100＝102∴该三角形是直角三角形∴×10＝5故答案为：5【点睛】
解析：5
【分析】
根据勾股定理逆定理判断出三角形是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【详解】
解：∵62+82＝100＝102，
∴该三角形是直角三角形，
∴1
×10＝5．
2
故答案为：5
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的逆定理，判断出直角三角形是解题的关键．
14．9【分析】根据梯形中位线的长等于上底与下底和的一半可求得其下底【详解】解：由已知得下底=2×7-5=9cm故答案为9【点睛】主要考查了梯形中位线定理的数量关系：梯形中位线的长等于上底与下底和的一半
解析：9
【分析】
根据“梯形中位线的长等于上底与下底和的一半”可求得其下底．
【详解】
解：由已知得，下底=2×7-5=9cm．
故答案为9．
【点睛】
主要考查了梯形中位线定理的数量关系：梯形中位线的长等于上底与下底和的一半．15．①③④【分析】连接EH得出平行四边形EHBG推出BG=EH求出
∠CEF=∠AFC得出CE=CF证△CAE≌△HAE推出CE=EH即可得出答案【详解】解：如图连接EH∵∠ACB=90°∴∠3+∠4=9
解析：①③④
【分析】
连接EH，得出平行四边形EHBG，推出BG=EH，求出∠CEF=∠AFC，得出CE=CF，证
△CAE≌△HAE，推出CE=EH，即可得出答案．
【详解】
解：如图，连接EH，
∵∠ACB=90°，
∴∠3+∠4=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∴∠B+∠4=90°，
∴∠3=∠B ，故①正确；
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴∠1+∠AFC=90°，∠2+∠AED=90°，
∵AE 平分∠CAB ，
∴∠1=∠2，
∵∠AED=∠CEF ，
∴∠CEF=∠AFC ，
∴CE=CF ，
∴△CEF 是等腰三角形，故②错误；
∵AF 平分∠CAB ，FH ⊥AB ，FC ⊥AC ，
∴FH=FC ，
在Rt △CAF 和Rt △HAF 中，
AF AF CF FH
=⎧⎨=⎩， ∴Rt △CAF ≌Rt △HAF （HL ），
∴AC=AH ，
在△CAE 和△HAE 中，
12AC AH AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△CAE ≌△HAE （SAS ），
∴∠3=∠AHE ，CE=EH ，
∵∠3=∠B ，
∴∠AHE=∠B ，
∴EH ∥BC ，
∵CD ⊥AB ，FH ⊥AB ，
∴CD ∥FH ，
∴四边形CEHF 是平行四边形，
∴CE=FH ，
∴CD=CE+DE=FH+DE ，故③正确；
∵EG ∥AB ，EH ∥BC ，
∴四边形EHBG 是平行四边形，
∴EH=BG ，
∵CE=EH ，
∴BG=CE ．故④正确．
所以正确的是①③④．
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，有一定的难度．
16．【分析】根据题意得到BE＝DE然后根据勾股定理得到关于线段ABAEBE的方程解方程即可【详解】解：设ED＝x则AE＝20﹣x∵四边形ABCD为矩形
∴AD∥BC∴∠EDB＝∠DBC；由题意得：∠EBD
解析：85
8
【分析】
根据题意得到BE＝DE，然后根据勾股定理得到关于线段AB、AE、BE的方程，解方程即可．
【详解】
解：设ED＝x，则AE＝20﹣x，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC；
由题意得：∠EBD＝∠DBC，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴EB＝ED＝x；
由勾股定理得：
BE2＝AB2+AE2，
即x2＝52+（20﹣x）2，
解得：x＝85
8
，
∴ED＝85
8
．
【点睛】
本题主要考查了几何变换中的翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质，结合全等三角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答．
17．【分析】取AB的中点E则OE=1DE=利用三角形原理可确定最大值【详解】如图取AB的中点E连接OEDE∵OE是直角三角形ABO斜边上的中线
AB=2∴OE=1在直角三角形DAE中根据勾股定理得DE==
1
【分析】
取AB的中点E，则OE=1，.
【详解】
如图，取AB的中点E，
连接OE，DE，
∵OE是直角三角形ABO斜边上的中线，AB=2，
∴OE=1，
在直角三角形DAE中，
根据勾股定理，得DE=22
+=2，
DA AE
∴当O，D，E三点共线时，DO最大，
且最大值为2+1，
故应该填21
+.
【点睛】
本题考查了线段的最值，构造斜边上的中线，灵活运用三角形原理是解题的关键. 18．65【分析】利用平行四边形的性质以及平行线的性质得出∠F=∠BAE=50°进而由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得∠B=∠AEB=65°利用平行四边形对角相等得出即可【详解】解：如图所示∵四边形
解析：65
【分析】
利用平行四边形的性质以及平行线的性质得出∠F=∠BAE=50°，进而由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得∠B=∠AEB=65°，利用平行四边形对角相等得出即可．
【详解】
解：如图所示，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠F=∠BAE=50°，．
∵AB=AE，
∴∠B=∠AEB=65°，
∴∠D=∠B=65°．
故答案是：65．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质，熟练应用平行四边形的性质得出是解题关键．19．【分析】先由所对的直角边是斜边的一半求解再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案【详解】解：∠ACB＝90°∠B＝30°AC＝2D是斜边
AB 中点故答案为：【点睛】本题考查的是含的直角三角形
解析：2.
【分析】
先由30所对的直角边是斜边的一半求解,AB 再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．
【详解】 解： ∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝2，
24AB AC ∴==，
D 是斜边AB 中点，
1 2.2
CD AB ∴== 故答案为：2.
【点睛】
本题考查的是含30的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握以上知识是解题的关键．
20．20°【分析】根据最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG ；整个过程共折叠了8次可得CF 与GF 重合依据平行线的性质即可得到∠DEF 的度数【详解】解：设∠DEF=α在图（1）中∵是长方形纸带∴AD//BC ∴
解析：20°
【分析】
根据最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG ；整个过程共折叠了8次，可得CF 与GF 重合，依据平行线的性质，即可得到∠DEF 的度数．
【详解】
解：设∠DEF=α，
在图（1）中∵是长方形纸带，
∴AD//BC ，
∴∠EFB=∠DEF =α，
∵折叠8次后CF 与GF 重合，
∴∠CFE=8∠EFB=8α，
∵CF ∥DE ，
∴∠DEF+∠CFE=180°，
∴α+8α=180°，
∴α=20°，
即∠DEF=20°．
故答案为：20°．
【点睛】
本题考查了翻折变换以及矩形的性质．在本题中应理解∠DEF+∠CFE=180°．解决该题型题目时，根据翻折变换找出相等的边角关系是关键．
三、解答题
21．（1）①见解析；②22°；（2）1452βα=
+︒或1452βα=-+︒，见解析 【分析】
（1）①由直角三角形斜边上中线的性质得AD DC BD ==，再根据等腰三角形的性质，由等角的余角相等，即可证明结论；
②设DBC x ∠=︒，则24BDE x ∠=︒-︒，根据角平分线的性质以及三角形的内角和列式求出x 的值即可；
（2）分情况讨论，当点E 在线段BC 上，或当点E 在线段BC 的延长线上，由等腰三角形的性质即可求出结果．
【详解】
（1）①证明：∵90ACB ∠=︒，
∴90A ABC ∠+∠=︒，
∵点D 是AB 的中点，
∴AD DC BD ==，
∴DCB ABC ∠=∠．
∵90CDE ∠=︒，
∴90E DCB ∠+∠=︒，
∴A E ∠=∠；
②解：设DBC x ∠=︒，则24BDE x ∠=︒-︒，
∵BD 平分CDE ∠，
∴24CDB BDE x ∠=∠=︒-︒．
∵DB DC =，
∴DCB DBC x ∠=∠=︒，
∴24180x x x ︒+︒+︒-︒=︒，解得68x =，
∴906822A ∠=︒-︒=︒；
（2）①如图，当CD CE =时，
∴CDE CED β∠=∠=．
∵A α∠=，AD DC =，
∴ACD α∠=，
∴90DCB α∠=︒-，
∴290180βα+︒-=︒，得1452
βα=+︒；
②如图，当CD CE =时
∴CDE E β∠=∠=，
∴290βα=︒-，得1452
βα=-+︒．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，解题的关键是熟练掌握这些几何的性质定理．
22．（1）①见解析；②见解析；（2）10或6
【分析】
（1）①根据平行线的性质得到∠FEB=∠A ，根据等边对等角得到∠B=∠A ，可得∠FEB=∠B ，从而可证；
②证明四边形CDEF 是平行四边形，得到CF=DE ，结合FE=FB 可得结论；
（2）点E 在边AB 所在的直线上，分三种情况讨论，即可得出DE 的长度．
【详解】
解：（1）①∵EF ∥AC ，
∴∠FEB=∠A ，
又∵AC=BC ，
∴∠B=∠A ，
∴∠FEB=∠B ，
∴FE=FB ；
②∵EF ∥AC ，DE ∥BC ，
∴四边形CDEF 是平行四边形．
∴CF=DE ，
∵EF=BF ，
∴DE+EF=CF+BF=BC ；
（2）如图，同理可得：BF=EF ，
∴DE=BC+BF=BC+EF=8+2=10．
如图，同理可得：BF=EF ，
DE=CF=BF-BC=EF-BC=2-8=-6（不合题意）．
如图④，
DE=BC-BF=BC-EF=8-2=6．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的判定，等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 23．（1）证明见解析；（2）7
【分析】
（1）根据角平分线的性质可得DBC DBE ∠=∠，再根据已知条件BE BC =，BD BD =，即可证明；
（2）根据（1）中结果，得2DE CD ==，90DEB C ∠=∠=︒，即可求得ABD △的面积．
【详解】
（1）∵BD 平分ABC ∠，
∴DBC DBE ∠=∠，
∴在BDC 和BDE 中，
BD BD =，DBC DBE ∠=∠，BE BC =，
∴BDC ≌BDE ；
（2）∵BDC ≌BDE ，
∴2DE CD ==，90DEB C ∠=∠=︒， ∴1172722
ABD S AB DE =
⋅=⨯⨯=△． 【点睛】
本题考查了角平分线的性质、全等三角形的证明和性质、三角形面积等知识，解题的关键是熟练掌握运用以上知识点．
24．见解析
【分析】
根据平行四边形的性质及角平分线的定义，证明ADE CBF ∆≅∆即可判断AE CF =．
【详解】 解：四边形ABCD 是平行四边形， DAB DCB ∴∠=∠，D B ∠=∠，AD BC =．
AE ∵、CF 分别是BAD ∠和BCD ∠的角平分线，
DAE BCF ∴∠=∠．
()ADE CBF ASA ∴∆≅∆．
AE CF ∴=．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质．证明线段相等的技巧一般是找到两个线段的相关三角形，通过全等求解．
25．（1）3；（2）见解析；（3）60︒或15︒或37.5︒
【分析】
（1）根据含30°角的直角三角形的性质可得BC=2AB=4，BD=
12AB=1，即可得出CD 的长；
（2）在BD 上截取DF=EN ，可证出AEN ADF △≌△，由全等三角形的性质得AN=AF ，,EAN DAF ANE AFD ∠=∠∠=∠，可得出,MAN BAF ANM AFB ∠=∠∠=∠，则
AMN ABF △≌△，可得12
BF MN BC ==，即F 是BC 的中点，可得出AN=AF=FC=DF+CD=EN+CD ；
（3）由题意可得AD=AE ，90EAD ∠=︒，45EDA AED ∠=∠=︒，分三种情况：①AM=MD ，②AM=AD ，③AD=MD ，根据等腰三角形的性质求出AMD ∠的度数，再根据三角形外角的性质即可求解．
【详解】
解：（1）∵90BAC ∠=︒，2,30AB C =∠=︒，
∴BC=2AB=4，60B ∠=︒，
∵AD BC ⊥
∴90,30ADB BAD ∠=︒∠=︒，
∴BD=12
AB=1， ∴CD =BC-BD=4-1=3；
（2）证明：如图2，在BD 上截取DF=EN ，
∵把AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到AE ，
∴AD=AE ，90EAD ∠=︒，45EDA AED ∠=∠=︒，
∵45ADB ∠=︒，
∴45ADF AEN ∠=∠=︒，
∴AEN ADF △≌△，
∴AN=AF ，,EAN DAF ANE AFD ∠=∠∠=∠，
∵90EAD ∠=︒，EAN DAF ∠=∠，
∴90NAF ∠=︒，
∵90BAC ∠=︒，ANE AFD ∠=∠，
∴,MAN BAF ANM AFB ∠=∠∠=∠，
∵AN=AF ，
∴AMN ABF △≌△，
∴12
BF MN BC ==
，即F 是BC 的中点， ∴AF=FC=DF+CD=EN+CD ，
∵AN=AF ，
∴AN EN CD =+；
（3）解：由题意可得AD=AE ，90EAD ∠=︒， ∴45EDA AED ∠=∠=︒，
分三种情况：
①AM=MD 时，
∵AM=MD ，
∴45EDA MAD ∠=∠=︒，
∴90AMD ∠=︒，
∵30C ∠=︒，
∴CDM AMD C ∠=∠-∠=60︒；
②AM=AD 时，
∵AM=AD ，
∴45EDA AMD ∠=∠=︒，
∵30C ∠=︒，
∴CDM AMD C ∠=∠-∠=15︒；
③AD=MD 时，
∵AD=MD ，
∴AMD MAD ∠=∠，
∴45EDA ∠=︒， ∴1804567.52
AMD MAD ︒-︒∠=∠=
=︒， ∵30C ∠=︒，
∴CDM AMD C ∠=∠-∠=37.5︒．
∴当ADM △为等腰三角形时，CDM ∠的度数为60︒或15︒或37.5︒．
【点睛】
本题主要考查了几何变换综合题，需要熟练掌握旋转的性质，直角三角形的性质，直角三角形斜边上中线的性质以及全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找全等三角形解决问题．
26．（1）55︒；（2）4．
【分析】
（1）根据三角形内角与外角的性质解答即可；
（2）过E 作BC 边的垂线即可得：E 到BC 边的距离为EF 的长，然后过A 作BC 边的
垂线AG ，再根据三角形中位线定理求解即可．
【详解】
解：（1）
BED ∠是ABE ∆的外角， 154055BED ABE BAD ；
（2）过E 作BC 边的垂线，F 为垂足，则EF 为所求的E 到BC 边的距离，
过A 作BC 边的垂线AG ，
AD ∴为ABC ∆的中线，5BD =，
22510BC BD ∴==⨯=，
ABC ∆的面积为40， ∴1
402BC AG ，即110402AG ，解得8AG =，
∵AD 为ABC ∆的中线， ∴1140202
2ABD ABC S S ， 又∵BE 为ABD ∆的中线， ∴1120102
2EBD ABD S S ， 则有：1151022BD EF
EF 4EF ∴=．
即E 到BC 边的距离为4．
【点睛】
本题考查了三角形外角的性质、三角形中位线的性质及三角形的面积公式，添加适当的辅助线是解题的关键．。