四川大学 信号与系统部分习题答案

j7πn
(d) x[−n + 2] ⎧ -n+2<-2 ⎨ ⎩Or -n+2>4
2 ;周 N = k = 7 = 2 期 ω0 7
2π
1.12 x[n] =1- ∑δ[n-1- k] =1- ∑δ[n- k] =∑δ[n-k]
k=3 k=4 k=-∞
∞
∞
3
=u[n +3] 所 M =1, n0 =−3 以
1.27: （a) 线性、稳定 （c) 线性
(d) 线性、因果、稳定
(e) 时不变、线性、因果、稳定 (f) 线性、稳定 (g) 时不变、线性、因果
1.28: （a) 线性、稳定
(b)时不变、线性、因果、稳定
（c) 无记忆、线性、因果 (d) 线性、稳定 (e) 线性、、稳定 (f)无记忆、线性、因果、稳定 (g) 线性、稳定
t -3 −3τ t -3 −3(t −3)
t<3 t−5 t−3 0 t−5 0 t−3
τ
3<t ≤5 t>5
τ
(1− e−6 )e−3(t −5) y(t ) = ∫ e−3τ dτ = t −5 3
0 t−5 t−3
τ
(b) ： x '(t ) = δ (t − 3) − δ (t − 5) Q
(a) 由题有h2 [n] = δ [n] + δ [n − 1] ∴ h2 [n] ∗ h2 [n] = δ [n] + 2δ [n − 1] + δ [n − 2] Q h[n] = h1[n] ∗ h2 [n] ∗ h2 [n] = h1[n] ∗ (h2 [n] ∗ h2 [n]) = h1[n] ∗ (δ [n] + 2δ [n − 1] + δ [n − 2]) = h1[n] + 2h1[n − 1] + h1[n − 2]
n ∞
2.5:解：
y[ n ] = x[ n ] ∗ h[ n ] =
k = −∞
x[k]
1
∑
9
∞
x[ k ]h [ n − k ]
0
= ∑ h [n − k ]
k =0
4
h[n-k]
9
k
−N + n
n
0
k
h[4-k]
−N + 4 0
4
k
x[k]
1
0
4
9
k
h[14-k],n=14
0
−N + n
n
因为系统为因果系统,所以 h1[n] = 0, n < 0 Q h[ n ] = h1 [ n ] + 2 h[ n − 1] + h[ n − 2]
∴ h[0] = h1 [0] ⇒ h1 [0] = 1 h[1] = h1 [1] + 2 h[0] ⇒ h1 [1] = 3 h[2] = h1 [2] + 2 h[1] + h[0] ⇒ h1 [2] = 3 h[3] = h1 [3] + 2 h[2] + h[1] ⇒ h1 [3] = 2 h[4] = h1 [4] + 2 h[3] + h[2] ⇒ h1 [4] = 1 h[5] = h1 [5] + 2 h[4] + h[3] ⇒ h1 [5] = 0
1
α =1/ 4, β =1
2
2
(b):设S1和S2的单位脉冲响应分别为h1[n]和h2[n].
由方程有 : h1[n] − 0.5h1[n −1] = δ [n] h1[n] = 0, n < 0 h1[0] = 0.5 h1[n] − 0.5h1[n −1] = 0, n ≥ 1 ∴h1[n] = 0.5h1[n −1] = 0.5n , n ≥ 0 = 0.5n u[n]
2.19:
解: (a)
对于S 2 , 有： y[n] = α y[n − 1] + β w[n] α 1 即 : w[n] = y[n] − y[n − 1]
β
β
...(1)
将上方程输入和输出延迟一单元 ,有:
α w[n − 1] = y[n − 1] − y[n − 2] β β
1 (1)-0.5 × (2),有: 1
t −3τ
解2：
Qy(t) = x(t) ∗h(t) = ∫ h(τ )x(t −τ )dτ =∫ e−3τ [u(t −τ −3) −u(t −τ −5)]dτ
−∞ 0
∞
∞
Qu(t −τ −3) −u(t −τ −5) ≠ 0, t −5 <τ < t −3
对于 < 3 t y(t) = 0
对于 < t ≤ 5 3 1− e y(t ) = ∫ e dτ = 0 3 对于 > 5, 积分为 t
1.30: （a) （d) (e) (g)(h)(i)(l)(n)是可逆系统
第二章
1n 2.3:解： 令x1(n) = ( ) u[n], h1(n) = u[n], 2 则: x(n) = x1(n − 2), h(n) = h1(n + 2),
∴y(n) = x(n) ∗h(n) = x1(n − 2) ∗h1(n + 2) = x1(n) ∗δ (n − 2) ∗h1(n) ∗δ (n + 2) 1m = x1(n) ∗h1(n) = ∑ ( ) u(m)u(n − m) m=−∞ 2 1 m ⎡ 1 n⎤ = ∑( ) = ⎢2 − ( ) ⎥ u[n] ⎣ 2 ⎦ m=0 2
1 对于S2 ,由方程有: h2[n] − h1[n −1] = δ [n] 4 1n 同理可得: h2[n] = ( ) u[n] 4
级联后系统的单位脉冲响应为: 1n 1n h[n] = h1[n]∗ h2[n] = ( ) u[n]∗( ) u[n] 2 4 ∞ 1k 1 n−k = ∑ ( ) u[k]( ) u[n − k] 4 k =−∞ 2 n 1 k 1 n−k 1 n n 1 k 1 −k 1n 1n = ∑( ) ( ) = ( ) ∑( ) ( ) = [2( ) − ( ) ]u[n] 4 4 k=0 2 4 2 4 k =0 2
1.13 x (t ) = δ (t + 2) − δ (t − 2) y (t )= ∫ x (τ )dτ =u (t + 2) − u (t − 2)
-∞ ∞ t
E∞ = ∫ | x (t )| dt = ∫ 1 ⋅ dt = 4
2 -∞ -2
2
1.15
y[ n ] = 2 x[ n − 2] + 5 x[ n − 3] + 2 x[ n − 4]
k
− N + n = 10 ⇒ N = 4
2.11:(a)解1： 令x1(t) = u(t), 则: y(t) = [x1(t −3) − x1(t −5)]∗h(t)
Q y1(t) = x1(t) ∗ h(t) = ∫ h(τ )dτ =∫ e−3τ u(τ )dτ
−∞ −∞
t
t
1 = ∫ e u(τ )dτ = (1− e−3t )u(t) 0 3 1 1 −3(t −3) )u(t − 3) − (1− e−3(t−5) )u(t − 5) 则: y(t) = y1(t − 3) − y1(t − 5) = (1− e 3 3 ⎧ ⎪0, −∞< t ≤ 3 ⎪ ⎪1 = ⎨ [1− e−3(t−3) ], 3 < t ≤ 5 ⎪3 ⎪1 (1− e−6 )e−3(t−5) ,5 < t ≤∞ ⎪3 ⎩
2.16(a)True (b)False (c) True (d)True 2.19:
x[n] w[n] S1 S2
x[ n ] = δ [ n ] ...(1 )
y[n]
解: (a)令 输 入
对 于 S2,有 ： y [0 ] = α y [ − 1] + β w [0 ] = β w [0 ] 对 于 S1 , 有 ： 1 w [0 ] = w [ − 1] + x由已知有： [0 ] = 1 2 1 3 代 入 （1 ） 式 有 ： y[n] = − y[n − 2] + y[n −1] + x[n] 8 4 y [0 ] = β
2.21:
(a) y[n] = x[n] ∗ h[n] =
k =−∞
∑ α u[k ]β
k
∞
n−k
u[n − k ]
α k β −α = β ∑( ) = β −α k =0 β
n n +1 n
n +1
u[n]
(d ) 按竖式乘法有：
2.22: (c ) h(t ) = 2u (t − 1) − 2u (t − 3) y (t ) = x (t ) ∗ h(t ) = x (t ) ∗ 2u (t − 1) − x (t ) ∗ 2u (t − 3) 令y1 (t ) = x (t ) ∗ 2u (t ); 则 y (t ) = y1 (t − 1) − y1 (t − 3)
1.25
cos(4π t )u(t ) + cos(4π t )u(−t ) (d) y(t ) = = cos(4π t ) 2
(f) x(t ) =
n=−∞
∑e
∞
− (2t −n )
非周期信号
1.26
n (b) x(n) = cos( − π )非周期信号 8 (c) 周期N=8
(b) 无记忆、线性、因果、稳定
∴ g(t ) = x '(t ) ∗ h(t ) = e−3(t −3)u(t − 3) − e−3(t −5)u(t − 5)
2.12：
y(t ) = ...+ e
−t
−(t +6)
u(t + 6) + e u(t − 3) + e
−(t +3)
u(t + 3)
+ e u(t ) + e
−(t −3)
1 n 1 n −1 ( ) u [ n ] − A ( ) u [ n − 1] = δ [ n ] 5 5 令 n = 1, 有 1 1 0 1 ( ) − A( ) = 0 ⇒ A = ( ) 5 5 5
( b )设 逆 系 统 的 单 位 脉 冲 响 应 为 h1 [ n ], 由 (a )有 : h ( n ) ∗ (δ [ n ] − A δ [ n − 1]) = δ [ n ] h1 ( n ) = δ [ n ] − A δ [ n − 1]; A=1/5 ∴
...(2)
α 1 α w[n] − 0.5w[n − 1] = y[n] − ( + ) y[n − 1] + y[n − 2] 2β β β 2β
由已知有：w[n] − 0.5w[n −1] = x[n]
α 1 α w[n] − 0.5w[n −1] = y[n] − ( + ) y[n −1] + y[n − 2] β β 2β 2β α 1 1 ∴ y[n] − ( + ) y[n −1] + y[n − 2] = x[n] 2β β β 2β 1 α y[n] = − y[n − 2] + (α + ) y[n −1] + β x[n]
y1 (t ) = x (t ) ∗ 2u (t ) = 2 ∫ x (τ ) dτ = 2 ∫
−∞ t t −∞
sin(πτ ) dτ
⎧ 0,t<0 ⎪ ⎪ t = ⎨ 2 ∫ sin(πτ ) dτ , 2>t ≥ 0 0 ⎪ 2 ⎪ 2 ∫0 sin(πτ )dτ , t > 2 ⎩
2.24:
−(t −6)
u(t − 6) + ...
在0 ≤ t < 3内, y(t )为: y(t ) = ...+ e−(t +6)u(t + 6) + e−(t +3)u(t + 3) + e−t u(t ) = ...+ e
−t −(t +6)
+e
−(t +3)
+e
−t
1 =e −3 1− e
2.13：解 : ( a ) Q h[ n ] − Ah[ n − 1] = δ [ n ], 代 入 :
1 3 ∴ y[0] = − y[−2] + y[−1] + δ [0] = 1 8 4 则β＝1
同 理 ： y [1] = α y [0 ] + β wຫໍສະໝຸດ Baidu[1] 1 1 w [1] = w [0 ] + x [1] = 代 入 上 式 有 ： 2 2 1 y [1] = α + 2
由已知有： 1 3 y[n] = − y[n − 2] + y[n −1] + x[n] 8 4 1 3 3 ∴ y[1] = − y[−1] + y[0] + δ [1] = 8 4 4 则 α＝1/4
∴ hn] =δ[n]+3δ[n−1]+3δ[n−2]+2δ[n−3]+δ[n−4] [
第一章
1.4 (b) x[n + 4] ⎧ n+4<-2 ⎨ ⎩Or n+4>4
1.5 (b) x(1− t ) + x(2 − t ) ⎧1- t <3 ⇒ t > −1 ⎨ ⎩ 2-t<3
1.9 (b) 非 期 号 (c)x3[n] = e 周 信 (d)x4[n] =3ej3πn/5 ⋅ej3π /10 10 周 N = k = 3=10 期 3 ω0 2π