高级微观经济学-课件4-chapter-1

三、The Consumer ’s Problem
本部分考察消费者选择理论的其他组成要素：Consumption Set 、Feasible Set 、
Behavior Assumption ，然后构建消费者选择理论的正式表述。

Assumption1.2消费者偏好:消费者偏好关系具有完备性、传递性、严格单调性和严格凸的，那由定理1.1和1.3可知，该偏好关系可以有一个连续的、严格增加的、严格拟凹的实值效用函数u 代表。

（考察两种商品情形） 消费者的行为假设：假设消费者根据其偏好关系在可行集中选择最偏好的消费束，即消费者选择能够支付得起的最优商品组合，即：
*B ∈x ，使得对于所有的B ∈x ，有*
x x f % （1.4） “支付得起”——预算集
“最优”——偏好关系 预算集：{}
R ,,0,0n
B y y +=∈≤>>≥x x px p
⏹ 消费者从预算集中选择最偏好的商品组合（点）*
x ： *B ∈x ，且对于所有的B ∈x ，有*
x x f %。

⏹ 消费者从预算集中选择最大化效用函数的点*x ： ()()
()**
arg max ,..u u u s t y ⇓
≥=≤x x x x px 144444424444443
给定假设1.2，并给定对消费者可行集的限制， 消费者问题（1.4）⇔受到约束的效用函数最大化问题； 即消费者问题转化为下面的优化问题：
()1
max ,..n
i i i u B s t y p x y
=∈≤⇒≤∑x x px （1.5） 接着需要考虑的问题是：此最大化问题是否有解？ 是否有唯一解？
定理A1.10：极值的存在性定理（解决了解的存在性问题） 设R n
S +
∈是非空紧集，:R f S →是连续的实值映射，则存在向量*
S ∈x 和向量S ∈x %，对于所有的S ∈x ，有
()()()*f f f ≤≤x x x % 该定理在（1.5）问题的应用：
()u x 连续 {}
R ,,0,0n B y y +=∈≤>>≥x x px p ：非空、闭集、有界集 （其中，闭集+有界集⇒紧集）
定理A2.14：目标函数严格凹（解决了解的唯一性问题）
如果*x 最大化严格凹函数f ，那么*x 就是该函数唯一的全局最大值点； 如果*x 最小化严格凸函数f ，那么*x 就是该函数唯一的全局最大值点； 定理1.4：消费者效用最大化问题一阶条件的充分性
假设()u x 是R n +
上的连续拟凹函数，而且(p,y)0>>，如果u 在*x 处可微，而且**(x ,)0λ>>满足效用最大化问题的一阶条件（1.10），那么*x 就是使得消费者在价格p 和收入y 处达到效用最大化的解。

消费者的问题：()max
,u y B ≤∈x px x 的解：
马歇尔需求函数()*,y =x x p
1、两维空间：预算线和无差异曲线之间的关系相交→相
切→不相交
x
预算线与无差异曲线相切： 预算线的斜率：12
p p - 无差异曲线的斜率：2112
dx MU MRS dx MU ==- 121212
p dx MU MRS p dx MU -===- 解得马歇尔需求函数()*
,y =x x p
2、假设效用函数()u x 连续可导，可以用拉格朗日方法求
消费者问题的解：()max
,u y B ≤∈x px x
（1）、根据偏好关系的严格单调性定理，约束条件必然为 y =px ：预算平衡性定理
构造拉格朗日函数：()()(),L u y λλ=+-x x px
一阶条件：()()(),0,0
L y L u λλλλ⎧=-=⎪⎨∇=∇-=⎪⎩x px x x p 二阶条件：加边海赛矩阵为负半定
解得马歇尔需求函数()*
,y =x x p
（2）、不等约束条件下的极值Kuhn －Tucker 定理： 构造拉格朗日函数：()()(),L u y λλ=+-x x px
一阶条件：()()()(),00,0
L y y L u λλλλλ⎧=-≥⎪-=⎨⎪∇=∇-=⎩x px px x x p
二阶条件：加边海赛矩阵为负半定
解得马歇尔需求函数()*
,y =x x p
例题：消费者的效用函数为()11212,u x x x x αα
-=，求马歇尔需求函数。

解：设商品1和商品2的价格分别为12,0p p >，消费者收
入为0y >。

消费者的决策为：
()1121212
1122max
,,..,u x x x x x x s t p x p x y
αα-=+= 构造拉格朗日函数： ()[]112121122,,L x x x x y p x p x ααλλ-=+--
最优解()12,,x x λ满足一阶条件：
()()()12111211
1121221
1122,,0,,0L x x x x p x L x x x x p x p x p x y
ααααδλαλδδλβλδ----=-==-=+= 解得马歇尔需求函数：
()()()1121
2122,,,,1y x p p y p y x p p y p αα==-
消费者的最大效用为：
()()max 1212
1112
,11u x x x x y p p αβαααααα--==- 间接效用函数为：
()()()
1121121max ,1,u x x y p p v y αααααα--=-=p
定理1.5
马歇尔需求函数()*
,y x p 的可导性： 作用：比较静态分析——参数或模型结构的变化对模型解的影响——价格变化或收入变化导致的解的变化：()*,i y p δδx p ，或()*,y y
δδx p 设()*
,y x p 是消费者最大化问题的解，需求函数可导性的条件是：
效用函数二阶可导；
某些或全部商品的边际效用大于零；
效用函数的海赛加边矩阵有非零行列式。

间接效用函数
直接效用函数：()u x
间接效用函数V ：R R R n
+++⨯→
()()max
,..v p y u s t y =≤x px x （1.12）
Notes ：
a 间接效用函数是与消费者效用最大化问题相对应的最值函数，当()u x 是连续的，上述最大化问题的解存在，那么就有(),v y p 。

B 如果进一步限制()u x 是严格拟凹的，那么解是唯一的，记为(),y x p ，那么有：
()()()()()*,,x ,v y u y u y ===p x x p p （1.13）
间接效用函数的特征：
间接效用函数
1) 在R R n ++
+⨯上连续
2) 在(),y p 上具有零阶齐次性
3) 在y 上严格递增
4) 在p 上严格递减
5) 在(),y p 上拟凸
6) 罗伊恒等式：如果(),v y p 在()00
,y p 上可导，并且()
00,0v y y δδ≠p ，有：
()()
()000000,,,
1,...,,i
i v y p x y i
n v y y δδδδ==p p p
间接效用函数()()max
,..v y u s t y =≤p x px x 的特征
1、间接效用函数在R R n ++
+⨯上连续
p.505最大值定理：如果目标函数和约束条件在参数上连续，定义域为紧集，则值函数在参数上连续。

2、间接效用函数在(),y p 上零阶齐次性
()()max
,..v y u s t y ==p x px x
间接效用函数在(),y p 上零阶齐次性：
()()()0
,,,,0v t ty t v y v y t ==>p p p ()()()()()ma max ,,..x ..,u v t u v t ty s ty v t t t y y s y
t ===⇒==x p p x px x p x
px
3、间接效用函数(),v y p 在y 上严格递增(),0v y y
δδ>p 应用包络定理：
构造拉格朗日函数()()(),L x u y λλ=+-x px
根据包络定理，()(),,v y L x y y
δδλλδδ==p ：λ的符号？ ()(){{()?00
,,000i i i L u v y p x x y δλδδλλδδδλ>>=-=⇒>⇒=>x x p 123
4、间接效用函数(),v y p 在价格上递减
设价格向量12≥p p ，求证()()12
,,v y v y ≤p p ()()()111111,max ,v y u u y y ⎧⎪≤⇒⇒⎨=⎪⎩
p x x p x x x p x ＝最优解 12≥p p 2111y ⇒≤=p x p x {}
12R ,n B y +≤⇒∈=∈x x x p x
()()()()222222,max ,v y u u u y y ⎧≥⎪≤⇒⇒⎨=⎪⎩p x x x p x x x p x ＝最优解 ()()()()2121
,,v y u u v y ≥=x p x p ＝ Notes ：性质3和性质4表明，消费者预算约束的放松不会导致消费者可得效用水平的下降，消费者预算约束的手紧不会让消费者可得的效用水平增加。

5、间接效用函数(),v y p 在(),y p 上拟凸
定理A1.18：拟凸性和劣集（quasiconvexity and inferior sets ） 当且仅当对于所有的R y ∈，劣集()I y 是凸集，函数
:R f D →是拟凸函数。

劣集（又称为下水平集）()I y 的定义：()(){},I y D f y ≡∈≤x x x
证明间接效用函数(),v y p 在(),y p 上拟凸，只需证明其劣集
()()(){}
,R ,R ,,,R n
I k y y v y k k +
+≡∈∈≤∈p p p 为凸集。

在()I k 中选两点，设()1
1
,v y k ≤p ，()2
2
,v y
k ≤p ，取
()()()()1
2
1
2
,1,1t
t
y t t ty t y =+-+-p p p ，我们要证明
(),t
t
v y k ≤p 。

也就是说，对于任何满足t t
t
y ≤p x 的最优解
t
x ，我们得证明()
t u k ≤x 。

t t t
y ≤p x
()()12
1
2
11t
t
t t t t +-≤+-p x p x y y
三种可能性：
()()11
1
1
v ,t
t
y u p y k ≤⇒≤<p x x
22
t
y ≤p x
11t y ≤p x 和22
t y
≤p x
6、间接效用函数(),v y p 的Roy Identity
由间接效用函数的定义可得：v(p,y)u(x(p,y))≡，
上式两边同时对l
p 求导可得：1L
i
i l i l
x v u p x p =∂∂∂=∂∂∂∑ 由效用最大化的一阶条件有：i i
u
p x λ∂=∂， 而且我们知道：v
y λ∂=∂ （WHY ？问题1）
那么有：11
1L L
L i i i i i i i i i l l l l x x x v
v p p p p p p y p λλ===∂∂∂∂∂===∂∂∂∂∂∑∑∑；
又因为：1
(,)L
i
l i i l x x p y p p =∂=-∂∑（问题2）；
所以有：(,)l l v v x p y p y
∂∂=-∂∂，即：(,)l
l v
p x p y v y ∂∂=-∂∂。

问题1：u(x(p,y))
y
v y λ∂∂==
∂∂ 证明：i L i
i 1i x u(x(p,y))u y x y
==∂∂∂=∂∂∂∑
根据效用最大化的一阶条件i i
u
p x λ∂=∂，代入上式可得： ⇒i L i L
i i i i i 1i 1
x x u(x(p,y))
p p y y y λλ====∂∂∂==∂∂∂∑∑；
又因为：px(p,y)y =，两边对y 求导得到：i L
i
i i 1
x p 1y ==∂=∂∑，代
入上式可得：
u(x(p,y))
y
λ∂=∂。

问题2：1
(,)L
i
l i i l x x p y p p =∂=-∂∑
由px(p,y)y =两边对l
p 求导得到：1
(,)0L
i
l i
i l x x p y p p =∂+=∂∑，变形即得上式。

例题：
证明()()12
,y
v y p p αβαβ
αβαβ
αβαβ++=+p 满足间接效用函数的特征
支出函数
为什么需要讨论支出最小化问题？ A ：间接效用函数和福利评价
'p p →⇒'
v(p,y)v(p ,y)→；
价格变动的影响是：'
v(p,y)v(p ,y)-
但效用是序数概念而不是基数概念，因而'
v(p,y)v(p ,y)-没有任何本质涵义。

如果
'v(p,y)v(p ,y)0->，它只告诉我们消费者相对于(p,y)而言更喜欢'
(p ,y)。

而且，更重要的是，如果考虑到不同消费者之间的比较，那么v(p,y)就更无能为力了。

B ：一个解决问题的思路
在（p,y ）组合下，如果'
p p →，我们考虑的问题是：
在保证消费者的效用水平不变的前提下，为了弥补价格的变化，收入应该如何调整？即：在'
'
v(p,y)v(p ,y )=的前提下，'
y y -给出了价格变化影响的货币价值度量，
其重要优点是：'
y
y -是可以观测的。

支出函数
给定价格p 实现某一效用水平u 所需的最小支出：
()min ,..,s t u u ≥px x x
最优解为希克斯需求函数(),h
u x p ，最小支出为(),h
u px p 支出函数:R R R n e ++
⨯→为：
()()(){}
()(){}
,,,R ,,R
min ,..,,R ,,R
h
h
n
n
e u u u u u s t u u
u u u +
+
=∈∈≥∈=
≥≤∈∈≥∈p px p x x x x px x x
px x x x x
两元空间支出最小化：
()()()
()()()111222121112221212
12,,,,,min ,,,,,,..,
,h
h e u p x p p u p x p p u p x p p u p x p p u x x s t u x x u =+=+≥p
2x 2h
x 1
希克斯需求函数（补偿需求函数，或实际收入不变的需求函数）：效用函数()u x 严格单调递增，所以有唯一的无差异曲线与u 相对应，因此可以把所要实现的效用水平u 写作()u x 。

()min
,..,s t u u ≥px x x
可以写为：
()()min
,..,s t u u ≥px x x x
支出函数可以表述为在给定价格p 下，实现消费束x 所带来的效用，所需的最小支出。

实际购买力用商品数量表示，
所以支出函数又可以表述为在给定价格p下，实现实际购
买力x所带来的效用，所需的最小支出。

因此，希克斯需求函数又可以称为“实际购买力固定的需求函数”。

在效用最大化中，货币收入不变，马歇尔需求函数又被称为“货币收入固定的需求函数”。

支出函数(),e u p 的特征
1. 在u 取最低效用水平时，支出函数(),e u p 为零
2. 在定义域:R R R n e ++⨯→上连续
3. 对于所有的>>p 0，支出函数在u 上递增并且无上界
4. 在价格p 上递增
5. 在价格p 上一阶齐次性
6. 在价格p 上为凹函数
7. 如果效用函数严格拟凹，有谢菲尔德引理：
()()
0000,,h i i e u x u p δδ=p p
证明：
1、 在u 取最低效用水平时，支出函数(),e u p 为零 u 取最低效用水平：()0u u =，即=x 0
支出函数(),e u ===p px p00
n e
++⨯→上连续
2、在定义域:R R R
3、对于所有的>>p 0，支出函数在u 上递增并且无上界
(),0e u u
δδ>p 根据包络定理：
()min
,..,s t u u ≥px x x
拉格朗日函数：()()(),L u u λλ=+-x px x ()(){{()000
,,0i i i i e u L u p x x x δδλδλδδδ>>>==-=p x x 123
（一阶条件） ()(),,e u L u u
δδλλδδ==p x
4、在价格p 上递增
(),0i
e u p δδ≥p
5、在价格p上一阶齐次性
()()
p p
=
,,
e t u te u
2x 2h x 1
6、(),e u p 在价格p 上为凹函数 固定效用为u ，取价格,,''''''p p p ，()1αα''''''=+-p p p ，设在价格为'''p 时最优解为x ，支出函数为
()()()()(),1,1,e u e u e u αααα''''''='''=+-'''≥+-p p x
p x p x
p p
7、 如果效用函数严格拟凹，有谢菲尔德引理：
()()
0000,,h i i
e u x u p δδ=p p 根据包络定理
例子：消费者的效用函数为()11212,u x x x x αα
-=，求希克斯需求函数和支出函数。

解：()11122121212
max ..,,,p x p x s t u x x x x u x x αα-+=≥ 构造拉格朗日函数，利用一阶条件，解得希克斯需求函数：
()()121121,,1h p x p p u u p ααα-⎛⎫= ⎪-⎝⎭，
()()121221,,h p x p p u u p α
αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭
()()()111212,,1e p p u p p u αααααα----⎡⎤=-⎣⎦
2x
马歇尔需求函数与希克斯需求函数的关系：
Suppose that ()x u is a continuous utility function representing a locally nonsatiated preference relation f % defined on the consumption set R n X += and the price vector is >>p 0. We have
①If *x is optimal in the utility maximization problem when wealth is 0y >, then *x is optimal in the expenditure minimization problem when the required utility level is ()*u x . Moreover, the minimized expenditure level in this expenditure minimization problem is exactly y .
②if *x is optimal in the expenditure minimization problem when the required utility level is ()
>0, then
u u
*
x is optimal in the utility maximization problem when wealth is *
px. Moreover, the maximized utility level in this utility maximization problem is exactly u.
假设()x
u是满足假设1.2的效用函数，我们有：
①如果在收入为0
y>时，*x是效用最大化问题的最优解，那么在支出最小化问题中，当所要实现的效用水平为()*
u x时，*x是最优解。

而且，在这一支出最小化问题中，最小的支出水平正好为y。

②如果在支出最小化问题中，当所要实现的效用水平为
()
>0时，*x是最优解，那么在效用最大化问题中，当u u
收入为*
px时，*x是最优解。

而且，在效用最大化问题中，最大效用水平正好为u。

证明：①
假设*
x 不是支出最小化问题的解。

设'x 是其解，有
*y '<≤px px 和()()*u u '≥x x 。

根据弱单调性公理，在'x 的
任何邻域中，存在''x ，()()u u '''≥x x ，且有y ''<px 。

就是说，{}B y ''∈=≤x x px ，又因为()()()*u u u '''≥≥x x x ，所以，''x 是更优的点。

这与前提条件相矛盾，因此，*
x 是在所要实现的效用水平为()*u x 时，支出最小化问题的最优解。

在收入为0y >时，*x 是UMP 的最优解，则*x 是马歇尔需求函数()*,y =x x p ，此时，()()*,u v y =x p ，*y =px ；在EMP 中，当所要实现的效用水平为()*u x 时，*x 是最优解，则*x 是希克斯需求函数()()()()**,,,h h u v y ==x x p x
x p p ，也就是说，我们有()()(),,,h y v y =x p x p p ，支出函数为
()()()()**,,,e u e v y y ===p x
p p px ，即()(),,e v y y =p p 。

证毕。