对偶空间

g j (i ) (b1 j f1 b2 j f2 bnj fn )(a1i1 a2i2
b1 ja1i b2 ja2i
bnjani
1, 0,
i i
j j
.
anin )
所以，B' A E. 即 B' A1或 B ( A1)' ( A')1.
2、线性函数空间的同构
§10.2 对偶空间
一、对偶空间与对偶基 二、对偶空间的有关结果 三、例题讲析
一、对偶空间与对偶基
1、 对偶空间
定义 设V是数域 P上的 n维线性空间，L(V , P)表示 V上全体线性函数的集合，在 L(V , P)中定义加法 和数乘运算： f , g L(V , P), V ,k P
( f g)( ) f ( ) g( ), (kf )( ) kf ( )
c1 p1( x) c2 p2( x) cn pn( x) 0. 用 ai 依次代入上式则得: ci 0, i 1, 2, , n. p1( x), p2( x), , pn( x) 线性无关.
② dim P[ x]n n. p1( x) p2( x) pn( x) 为基.
设 Li V *(i 1,2, ,n) 是在ai 点的取值函数： Li ( p( x)) p(ai ), p( x) V , (i 1,2, , n)
n
g( i ) fi ( )
i1
n
g g(i ) fi g(1) f1 g(2 ) f2
i 1
g( n ) fn
综合②与③即得
定理2 取定线性空间V的一组基 1, 2 , , n ,
若V上的n个线性函数 f1, f2 , , fn 满足
fi ( j )
1, 0,
i i
③ V *中任意线性函数可由 f1, f2 , , fn 线性表出.
证明：g V * L(V , P)，对 V，设 x11 x2 2 xn n
则 g( ) x1g(1 ) x2 g( 2 ) xn g( n )
fi ( ) xi , i 1, 2, , n
g( ) f1( )g(1) f2( )g( 2 ) fn( )g( n ) g(1 ) f1( ) g( 2 ) f2( ) g( n ) fn( )
(1,2 , ,n ) (1, 2 , , n ) A,
则 f1, f2 , , fn到 g1, g2 , , gn的过渡矩阵为 ( A')1. 即， ( g1, g2, , gn ) ( f1, f2, , fn )( A')1.
证明：设V数域P上的一个n维线性空间，1, 2 , , n 与 1,2 , ,n 是V的两组基，它们的对偶基分别是
xn n V ,
有， fi ( ) xi , i 1, 2, , n
即， f1( )1 f2( ) 2 fn( ) n .
② f1, f2 , , fn 线性无关.
证明：设 k1 f1 k2 f2 kn fn 0
两端作用 i 得 ki 0, i 1,2, ,n.
f1, f2 , , fn 线性无关.
其中，
a11 a12
A
a21
a22
an1 an2
a1n
ann
,
ann
b11 b12
B
b21
b22
bn1 bn2
b1n bnn
bnn
于是有 i a1i1 a2i 2 ani n , i 1, 2, , n
g j b1 j f1 b2 j f2 bnj fn , j 1, 2, ,n
f1, f2 , , fn ; g1, g2 , , gn , 即，
fi( j )
1, i 0, i
j j
,
gi ( j )
1, i 0, i
j j
,
i 1,2,
,n
再设
(1,2 , ,n ) (1, 2 , , n ) A,
( g1, g2 , , gn ) ( f1, f2, , fn )B,
j j
,
i, j 1,2,
,n
则 f1, f2 , , fn 为V * L(V , P)的一组基.
称之为 1, 2 , , n 的对偶基.
3、例题讲析
例. R 上线性空间V P[ x]n ,任意 n 个不同实数
a1,a2 , ,an , 根据拉格朗日插值公式，有多项式
pi
(
x)
( x a1) (ai a1 )
则 L(V , P) 构成数域 P上的线性空间，称之为V 的对偶空间，记为 V *.
2、 对偶基
设 1, 2 , , n为数域 P上线性空间V 的一组基，
作映射
fi ( j )
1, 0,
i i
j j
,
i, j 1,2,
,n
则 fi L(V , P) V *，且
① 对任意 x11 x2 2
则线性函数满足
Li ( pj ( x))
pj (ai )
1, 0,
i j i j
因此L1, L2 , , Ln 是 p1( x), p2( x), , pn( x) 的对偶基.
二、对偶空间的有关结果
1、定理3 设1, 2 , , n 与 1,2 , ,n 为线性
空间V的两组基，其的对偶基分别为 f1, f2 , , fn 与 g1, g2 , , gn . 如果
f ( ) f ( ) f ( ) **( f ) **( f ) ( )( f ) ( )( f ) ( )( f ) ( ) ( ) 同理 (k ) k( ) (k )( f ) (k )**( f ) f (k ) kf ( )
( x ai1 )( x ai1 ) (ai ai1 )(ai ai1 )
( x an ) , (ai an )
Baidu Nhomakorabea
i 1,2, ,n
则
pi (a j )
1, 0,
ji ji
i 1,2, ,n
且 p1( x), p2( x), , pn( x) 为 P[ x]n的一组基.
这是因为: ① p1( x) p2( x) pn( x) 线性无关. 事实上，若有
定理4 设V为线性空间， V ** 是V的对偶空间
V * 的对偶空间，即 V ** L(V *, P), 定义映射
:V V **
** :V * P
V
f **( f ) f ( )
则 为同构映射. 即 V V **.
证： , V ,f V *, k P ( )( f ) ( )**( f )