高三一轮数学理复习第30讲数列的概念与通项公式[可修改版ppt]

4．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 Sn＝3＋2n，则数
列{an}的通项公式为
.
解析：当 n＝1 时，S1＝a1＝3＋21＝5， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1. 又 a1＝5 不适合上式，
5 n＝1 故 an＝2n－1 n≥2 .
5．已知数列{an}满足 a1＝0，an＋1＝ a3n－an＋31(n∈N*)，则
三 根据递推关系求数列的通项公式
【例 3】(2012·山东苍山县上期期末检测)已知数列{an}的 前 n 项和为 Sn，a1＝3 且满足 an＝2Sn－1＋3，n≥2，n∈N*.
(1)求 a2，a3，a4； (2)求数列{an}的通项公式．
解析：(1)因为 an＝2Sn－1＋3，a1＝3，则 a2＝2S1＋3＝2a1＋3＝9， a3＝2S2＋3＝2(a1＋a2)＋3＝27， a4＝2S3＋3＝2(a1＋a2＋a3)＋3＝81.
项公式．
分析：可根据递推公式写出数列的前 4 项，然后分析每 一项与该项的序号之间的关系，归纳概括出 an 与 n 之间的 一般规律，从而做出猜想，写出满足前 4 项的该数列的一个 通项公式．
解析：因为 a1＝a，an＋1＝12＋anan， 4a
所以 a2＝12＋aa，a3＝1＋2a2a2＝1＋1＋12＋aaa＝1＋4a3a，
又 n＝1 时，2×1＋1＝3 成立，所以 an＝2n＋1(n∈N*)．
(2)bn＝2n·(an－12)＝2n·(2n－11)，
由bbnn≤≤bbnn＋－11
2n·2n－11≤2n＋1·2n－9 ⇒2n·2n－11≤2n－1·2n－13
解析：(1)an＝(－1)n＋1 或 an＝cos(n＋1)π. (2)将数列各项分别减去 1，则得数列 1,4,9,16，…， 则 an＝n2＋1. (3)an＝(－1)n2n2－n 3.
【拓展演练 1】 有一数列{an}，a1＝a，由递推公式 an＋1＝12＋anan，写出这个 数列的前 4 项，并根据前 4 项观察规律，写出该数列的一个通
a4＝
.
解析：a1＝0， a2＝ a31－a1＋31＝－1 3＝－ 3， a3＝ 3－×－3－33＋1＝－－223＝ 3， a4＝ 3×3－3＋3 1＝0.
一 用观察法写数列的通项公式
【例 1】根据下列数列的前几项，写出它们的通项公式： (1)1，－1,1，－1，…； (2)2,5,10,17，…； (3)12，14，－58，1136，－2392，….
高三一轮数学理复 习第30讲数列的概
念与通项公式
1
1．(改编)数列 2,6,14,26，x,62，…中的 x 等于( B )
A．38
B．42
C．43
D．57
解析：因为 6＝2＋4×1,14＝6＋4×2,26＝14＋4×3， 所以 x＝26＋4×4＝42.
2．(改编)已知数列{an}的通项公式 an＝nn1＋3(n∈N*)， 那么1130是这个数列的第 项．
(2)由题知 an＝2Sn－1＋3(n≥2，wenku.baidu.com∈N*)，① an＋1＝2Sn＋3(n∈N*)，② ②－①，得 an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)＝2an， 即 an＋1＝3an(n≥2，n∈N*)．③ 因为 a2＝3a1 也满足③式，即 an＋1＝3an(n∈N*)， 所以{an}是以 3 为首项，3 为公比的等比数列， 所以 an＝3n(n∈N*)．
解析：令 an＝1130，即nn1＋3＝1130＝10×1 13，得 n＝10.
3．(2012·浙江名校新高考研究联盟第二次联考)数列{an}
前 n 项和为 Sn，则“a2>0”是“数列{Sn}为递增数列”的( B )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当数列{Sn}为递增数列时，S2－S1＝a2>0 成立； 但当 a2>0 时，不能推出“数列{Sn}为递增数列”，如数列 3,1，－1，－3，所以“a2>0”是“数列{Sn}为递增数列”的必 要不充分条件，故选 B.
【拓展演练 3】 (2012·山东省济宁市第三次模拟)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2＋2n(n∈N*)． (1)求通项 an； (2)若 bn＝2n·(an－12)(n∈N*)，求数列{bn}的最小项．
解析：(1)当 n＝1 时，a1＝S1＝3； 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋2n)－[(n－1)2＋2(n－1)] ＝2n＋1.
(2)当 n＝1 时，a1＝S1＝18(a1＋2)2，解得 a1＝2. 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝18(an＋2)2－18(an－1＋2)2， 所以(an－2)2－(an－1＋2)2＝0， 所以(an＋an－1)(an－an－1－4)＝0， 又 an>0，所以 an－an－1＝4， 可知{an}为等差数列，公差为 4， 所以 an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)·4＝4n－2. 故 an＝4n－2.
(1)Sn＝3n－2； (2)Sn＝18(an＋2)2(an>0)．
解析：(1)当 n＝1 时，a1＝S1＝1； 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝3n－2－(3n－1－2) ＝2·3n－1.
由于 a1＝1 不适合上式，因此数列{an}的通项公式为
1
n＝1
an＝2·3n－1 n∈N*，且n≥2 .
8a a4＝12＋a3a3＝1＋1＋1＋43aa3a＝1＋8a7a.
观察规律：an＝1＋xaya形式，其中 x 与 n 的关系可由 n ＝1,2,3,4 得出 x＝2n－1.而 y 比 x 小 1，
所以 an＝1＋22nn－－11a－1a.
二 利用数列前n项和公式求通项
【例 2】已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，分别求其通项公 式．
【拓展演练 2】
已知数列{an}的前 n 项和为 Sn＝3n2－2n，则数列{an}的通
项公式是
.
解析：当 n＝1 时，S1＝a1＝3×12－2×1＝1， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)] ＝6n－5， 又 a1＝1 适合上式，故 an＝6n－5(n∈N*)．