高三一轮数学理复习第30讲数列的概念与通项公式[可修改版ppt]

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4.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sn=3+2n,则数
列{an}的通项公式为
.
解析:当 n=1 时,S1=a1=3+21=5, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n-1. 又 a1=5 不适合上式,
5 n=1 故 an=2n-1 n≥2 .
5.已知数列{an}满足 a1=0,an+1= a3n-an+31(n∈N*),则
三 根据递推关系求数列的通项公式
【例 3】(2012·山东苍山县上期期末检测)已知数列{an}的 前 n 项和为 Sn,a1=3 且满足 an=2Sn-1+3,n≥2,n∈N*.
(1)求 a2,a3,a4; (2)求数列{an}的通项公式.
解析:(1)因为 an=2Sn-1+3,a1=3,则 a2=2S1+3=2a1+3=9, a3=2S2+3=2(a1+a2)+3=27, a4=2S3+3=2(a1+a2+a3)+3=81.
项公式.
分析:可根据递推公式写出数列的前 4 项,然后分析每 一项与该项的序号之间的关系,归纳概括出 an 与 n 之间的 一般规律,从而做出猜想,写出满足前 4 项的该数列的一个 通项公式.
解析:因为 a1=a,an+1=12+anan, 4a
所以 a2=12+aa,a3=1+2a2a2=1+1+12+aaa=1+4a3a,
又 n=1 时,2×1+1=3 成立,所以 an=2n+1(n∈N*).
(2)bn=2n·(an-12)=2n·(2n-11),
由bbnn≤≤bbnn+-11
2n·2n-11≤2n+1·2n-9 ⇒2n·2n-11≤2n-1·2n-13
解析:(1)an=(-1)n+1 或 an=cos(n+1)π. (2)将数列各项分别减去 1,则得数列 1,4,9,16,…, 则 an=n2+1. (3)an=(-1)n2n2-n 3.
【拓展演练 1】 有一数列{an},a1=a,由递推公式 an+1=12+anan,写出这个 数列的前 4 项,并根据前 4 项观察规律,写出该数列的一个通
a4=
.
解析:a1=0, a2= a31-a1+31=-1 3=- 3, a3= 3-×-3-33+1=--223= 3, a4= 3×3-3+3 1=0.
一 用观察法写数列的通项公式
【例 1】根据下列数列的前几项,写出它们的通项公式: (1)1,-1,1,-1,…; (2)2,5,10,17,…; (3)12,14,-58,1136,-2392,….
高三一轮数学理复 习第30讲数列的概
念与通项公式
1
1.(改编)数列 2,6,14,26,x,62,…中的 x 等于( B )
A.38
B.42
C.43
D.57
解析:因为 6=2+4×1,14=6+4×2,26=14+4×3, 所以 x=26+4×4=42.
2.(改编)已知数列{an}的通项公式 an=nn1+3(n∈N*), 那么1130是这个数列的第 项.
(2)由题知 an=2Sn-1+3(n≥2,wenku.baidu.com∈N*),① an+1=2Sn+3(n∈N*),② ②-①,得 an+1-an=2(Sn-Sn-1)=2an, 即 an+1=3an(n≥2,n∈N*).③ 因为 a2=3a1 也满足③式,即 an+1=3an(n∈N*), 所以{an}是以 3 为首项,3 为公比的等比数列, 所以 an=3n(n∈N*).
解析:令 an=1130,即nn1+3=1130=10×1 13,得 n=10.
3.(2012·浙江名校新高考研究联盟第二次联考)数列{an}
前 n 项和为 Sn,则“a2>0”是“数列{Sn}为递增数列”的( B )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:当数列{Sn}为递增数列时,S2-S1=a2>0 成立; 但当 a2>0 时,不能推出“数列{Sn}为递增数列”,如数列 3,1,-1,-3,所以“a2>0”是“数列{Sn}为递增数列”的必 要不充分条件,故选 B.
【拓展演练 3】 (2012·山东省济宁市第三次模拟)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2+2n(n∈N*). (1)求通项 an; (2)若 bn=2n·(an-12)(n∈N*),求数列{bn}的最小项.
解析:(1)当 n=1 时,a1=S1=3; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(n2+2n)-[(n-1)2+2(n-1)] =2n+1.
(2)当 n=1 时,a1=S1=18(a1+2)2,解得 a1=2. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=18(an+2)2-18(an-1+2)2, 所以(an-2)2-(an-1+2)2=0, 所以(an+an-1)(an-an-1-4)=0, 又 an>0,所以 an-an-1=4, 可知{an}为等差数列,公差为 4, 所以 an=a1+(n-1)d=2+(n-1)·4=4n-2. 故 an=4n-2.
(1)Sn=3n-2; (2)Sn=18(an+2)2(an>0).
解析:(1)当 n=1 时,a1=S1=1; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3n-2-(3n-1-2) =2·3n-1.
由于 a1=1 不适合上式,因此数列{an}的通项公式为
1
n=1
an=2·3n-1 n∈N*,且n≥2 .
8a a4=12+a3a3=1+1+1+43aa3a=1+8a7a.
观察规律:an=1+xaya形式,其中 x 与 n 的关系可由 n =1,2,3,4 得出 x=2n-1.而 y 比 x 小 1,
所以 an=1+22nn--11a-1a.
二 利用数列前n项和公式求通项
【例 2】已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,分别求其通项公 式.
【拓展演练 2】
已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=3n2-2n,则数列{an}的通
项公式是
.
解析:当 n=1 时,S1=a1=3×12-2×1=1, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)] =6n-5, 又 a1=1 适合上式,故 an=6n-5(n∈N*).
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