一些无穷级数和积分的关系

一些无穷级数和积分的关系

上海黄之

先给出一些有趣的无穷级数的积分表达.

1.;

2.;

3.;

4..

这些式子在描述着某种连续与离散的内在关联,下面来证明这些看上去很奇妙的连续与离散的关系.

一.首先求一个积分:,其中t为非负整数,r为非负实数.当时,

,

由此递推关系得

.

二.再求积分:,其中m为实数,r为正实数,t为非负整数.

由前面的积分,容易得到

.

所以

.

三.现在来证明本文开头的式子.

在E(m,r,t)中,

1.取m=r=t=1即得到1;

2.取m=-1,r=t=1即得到2;

3.取m=t=1,r=2即得到3;

4.取r=t=1即得到4,显然2是4的特例.

(I)若取m=t=1,r>0则得到

,

其分母为一个首项为1,公差为r的算术序列中的项的幂.

(I I)若取m=-1,t=1,r>0则得到:

.

例如

(I I I)若取m=1,t=3,r>0则得到:

.

并且由(I I)顺便得到:

在r>0时单调递增且有

,

有极限:

,.其中,最后的一个极限比较有趣.