数学必修4第一章前四节知识点
高中数学必修四第一章知识点梳理 1
高中数学必修四第一章知识点梳理一、角的概念的推广●任意角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置转到另一个位置所成的图形。
●正角、负角、零角按逆时针方向旋转成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所成的角叫做负角，一条射线没有作任何旋转所成的叫做零角。
可见，正确理解正角、负角和零角的概、关键是看射线旋转的方向是逆时针、顺时针还是没有转动。
●象限角、轴线角当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合时，那么角的终边在第几象限（终边的端点除外），就说这个角是第几象限角。
当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合时，终边落在坐标轴上的角叫做轴线角。
●终边相同角?360°,k∈α+kZ}，α终边相同的角，连同角α在内，可构成集合S={β|β= 所有与角即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。
二、弧度制●角度定义制1为一度的角，记做1°，规定周角的360这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，角度制为60进制。
●弧度制定义1、长度等于半径的弧度所对的圆心角叫做1弧度的角。
用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制。
1弧度记做1rad。
2、根据圆心角定理，对于任意一个圆心角α，它所对的弧长与半径的比与半径的大小无关，而是一个仅与角α有关的常数，故可以取为度量标准。
●弧度数一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果l?α||。
α的弧度数的绝对值是的圆的圆心角半径为rα所对的弧的长为l，那么，角rα的正负由角的终边的旋转方向决定，逆时针方向为正，顺时针方向为负。
α三、任意角的三角函数●任意角的三角函数的定义αα的终边上任意点P的坐标是（x,y设）是一个任意大小的角，，它与原点的距离r22?y?x0?r），那么（yy??sin?sinα。
1 叫做的正弦，记做，即、比值rrxx??cos?cosα。
的余弦，记做，即2叫做、比值rryy???tantanα3、比值叫做，即的正切，记做。
数学必修四第一章知识点总结
数学必修四第一章知识点总结第一章矩阵与行列式1.矩阵的定义：矩阵是由m∙n个数按照m行n列排列起来的一个数表。
2.矩阵的运算：(1)矩阵的加法：对应位置上的元素进行相加。
(2)矩阵的乘法：满足矩阵乘法规则的两个矩阵相乘，结果矩阵的元素等于第一个矩阵的相应行和第二个矩阵的相应列元素的乘积之和。
(3)数字与矩阵的乘法：数乘矩阵中的每一个元素。
3.矩阵的性质：(1)矩阵的加法满足交换律和结合律。
(2)矩阵的数乘满足结合律和分配律。
4.单位矩阵：n阶单位矩阵是一个n∙n的矩阵，主对角线上元素为1，其他元素为0。
5.方阵和对角阵：(1)方阵是行数和列数相等的矩阵。
(2)主对角线外的元素全为零的方阵是对角阵。
6.转置矩阵：矩阵的转置是指将矩阵的行与列互换得到的新矩阵。
7.矩阵的乘积：(1)若矩阵A的列数等于矩阵B的行数，则可以计算矩阵A与矩阵B 的乘积，得到一个新的矩阵C，其中矩阵C的行数等于矩阵A的行数，列数等于矩阵B的列数。
(2)矩阵乘积的运算性质：结合律，分配律，但一般不满足交换律。
8.克拉默法则：若n元线性方程组的系数矩阵的行列式不等于0，则n元线性方程组有唯一解，且解可以用各个未知量的系数作为分子和系数矩阵的行列式作为通分式的分母来表示。
9.行列式的定义：(1)一阶行列式：行列式的元素就是该元素本身。
(2)二阶行列式：行列式元素按主对角线方向相乘，再减去次对角线方向的元素相乘。
(3)三阶行列式：每个元素与与其所在行行标和列标分别相同、不相同的元素构成的二阶行列式之差相乘，最后再按正负号相加。
(4)多阶行列式：利用拉普拉斯定理进行计算。
10.行列式的性质：(1)行列式的转置等于行列式本身。
(2)若行列式有两行或两列完全相同，则行列式的值等于零。
(3)互换行列式的两行（两列），行列式值不变。
(4)行列式的其中一行（列）的元素都乘以一个数k，等于用数k乘以此行列式的值。
(5)行列式中有两行（两列）元素对应成比例，则行列式的值等于零。
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高中数学必修四第一章知识点梳理一、角的概念的推广●任意角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置转到另一个位置所成的图形。
●正角、负角、零角按逆时针方向旋转成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所成的角叫做负角，一条射线没有作任何旋转所成的叫做零角。
可见，正确理解正角、负角和零角的概、关键是看射线旋转的方向是逆时针、顺时针还是没有转动。
●象限角、轴线角当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合时，那么角的终边在第几象限〔终边的端点除外〕，就说这个角是第几象限角。
当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合时，终边落在坐标轴上的角叫做轴线角。
●终边相同角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成集合S={β|β=α+k?360°,k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。
二、弧度制●角度定义制规定周角的1为一度的角，记做1°，360这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，角度制为60进制。
●弧度制定义1、长度等于半径的弧度所对的圆心角叫做1弧度的角。
用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制。
1弧度记做1rad。
、根据圆心角定理，对于任意一个圆心角α，它所对的弧长与半径的比与半径的大小无关，而是一个仅与角α有关的常数，故可以取为度量标准。
●弧度数一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|lrα的正负由角α的终边的旋转方向决定，逆时针方向为正，顺时针方向为负。
三、任意角的三角函数●任意角的三角函数的定义设α是一个任意大小的角，α的终边上任意点P的坐标是〔x,y〕，它与原点的距离r〔r x2y20〕，那么1、比值y叫做α的正弦，记做sin，即sin y。
r r2、比值x叫做的余弦，记做cos ，即cos。
rα3、比值y 叫做α的正切，记做tan ，即tany。
必修4第一章知识点
不作时成的用 i 与角：.终边相同的角的集合:•■尺 hT 丁/ • 1・ ・第二象限角的集合为 第三象限角的集合为第四象限角的集合为. ..............................轴线角： ■ •• ▼ ■终边在X 轴上的角的集合为， ____________________________________终边在y 轴上的角的集合为第一章•三角函数 1 ■任意？高中数学必修4知识点 按逆时针方向錠转形成辦 技顺时针方向雄转死成葩角 象限角：第一象限角的集合为.■・一…S 「一 ........ —.3 •角》的顶点与原点重合，角的始边与X 轴的非负半轴重合■•终边落在第儿象限•贝IJ 称:•为第终边在坐标轴上的角的集合为4 •已矩•是第几象限角•确定二X*所在象限的方法：______________ __ _____________ ____________________• •• • • • • • • • ■ • ■n5 ＞长度等于半怪长的弧所对的圆心角叫做................... ＞角1所对弧的长为丨，则角〉的弧度数的绝对值是f 1 " ・半径为r的圆的圆丿心£为弧度制•「半怪为r,弧长为I周长为C ■面积为S風弧长公式L= ______________c = 2r b扇形面积公式S= __________ \k.p* . •■・■J8・弧度制与角度制的换算公式-2眞-360 t 180匕・・・冲1rad= 180 - 57.30 * =574 18\兀1 ^=21-0.01745(rad )1800»30Q45°16 0°oA090°120°135°150°.c018027 036 007122-Jt.9、三角函数定义: 设）是任意角•：的终边上任意一点r r= .x2 y2 0 '则1 j ：n= —―― —•COS：tana = ____________ (X 式0 ).m的坐标是X,y ＞它与原点的距离是10.特殊角的三角圃鮭；c ，sin0 = sin3 0 = UQ sin 45 = sin6 0 = sin9 0 = cos 0"= cos3 0°= cos 45 a = cos6 0°= cos9 0°= tan 0" »nttS 0° =tan 45° =tan6 0° =tan9 0°仃、三角函数在各象限的符号:为正,拓•为正.12、三角函数线：sin? -\l? * cosi - d13,三角函的基本黄系:”m 平 ..…(2)商数矢系 _______________________4 a 4 2... 2 “sin 1 -cos :- 3cos - 1 ・sin z :sin : - tan : cos: ,cos :二 Itana J14、函数的诱导公式：口诀：函数名称奇变偶不变，符号看象限. (1 )sin(2k A) = ______________ c os(2k 江 )= _________________ ，tan(2k A+ «)= ________ 2 sin 二:= —… ….岁 cos 二•■二 * …..tan 二：二 ・..丫 …・..,cos = 4 sin 3i -a )= 6 sin •: 12 Jsin 严 (n,cos 一,2cos f?2 3- 第三彖限第一象限全为 ____________ 第四象限sin (- )= cos(- )二15、正弦函数■余弦函数和正切函数的图象与性质:16、三角函数图像变换一， …「伸畏（缩短）到原来的 倍（纵坐标不变）-得x 宀门〕的图象：再将函数y 二si ni •: x 亠门］的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）至U 原（2）函数y 二sinx 的图象上所有点的横坐标伸/ （缩短）至噸来的y =sin 「x 的图韋禺團働数y =sin 厂x 的图象上所有点向左.（右）W y-sin 「xW 〔的图象；再将函数y 二sin 「X 川⑺〔的图象上所有点的纵坐标伸长〈缩短）到原来的.CD 冈＜ / y=sinx 的图所有点向左（右）平移个单位长度•得到函数y 二sin （x 十申）的的倍（横坐标不变），得到函数ysin 「X 川中（的图象$象；再将函数y 二sin x 询图象上所有点的 到函数y =si ni ）-： 来倍（纵坐标不变》，得到函数______________ 个单位长度，得到函数17、周期函数定义：对于函数f X ＞如果存在一个养零常数＞那么函数fx 就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期•倍（榄坐标不变）得到函数y =_J: _sinjx 亠”的图象亍函数y 二zs in ■伙亠J 0厂0的性质：⑪|討|：:②周期：:④相位：励相’T.使得当X 取定义域内的每时«都频率:。
数学必修四第一章知识点总结
数学必修四第一章知识点总结第一章初等数论与数论方法一、整数研究了整数及其运算性质，引导学生辨识和解决在初中学习过程中遇到的有关整数的复杂问题。
1. 整数的概念整数是正整数、负整数和零的统称。
整数的绝对值是指它离原点的距离，是非负的整数。
2. 整数的四则运算（1）加法运算：正数相加、负数相加应用法则，可以化为正数相加或正负数相减的运算问题来解决。
（2）减法运算：整数减法法则就是整数加法法则的推广。
（3）乘法运算：两个数相乘的积的符号与它们的积的因数的符号有关。
（4）除法运算：零不能作为除数，有理数的除法也要遵循约分原则。
3. 整数的应用整数是在数轴上有序排列的，整数运算也是数轴上大小关系的推算。
在温度、债务、货币、海拔高度、海拔深度等相关实际生活中，需要使用整数。
二、整数的乘方及开方1. 乘方概念以数 a 为底 n 为指数的乘方运算通常记作aⁿ (a ≠ 0, n > 0), 它表示连续相同乘数 a 用 n-1个乘号与自己相乘的乘积。
2. 乘方的运算性质（1）乘方的运算性质: 同底数乘方相乘,指数相加；（2）乘方运算的简便法则：同一底数不同指数相乘可以利用指数运算法则；（3）指数运算法则：①乘方的运算法则：同底数的几个数的乘方, 底数相同, 指数相加；②除法可以转换为乘方；（4）零的乘方等于 1： 0 的任何正整数次幂都等于 1。
3. 开方的概念一个数的平方根就是对应的平方的运算过程，一个数的 n 次方根是对应的 n 次方的运算过程。
4. 定义（1）二次方程的解法：①因式分解法；②公式法；③配方法；（2）含一个未知数的方程；（3）一元二次方程：我国古代代数的发展，以求一元二次方程的解为目标；（4）一次方程：秦九韶二次方程的解法是把一次方程的求根问题化成二次方程的求根问题。
5. 一元二次方程（1）一元二次方程的定义：① 它是一元的；② 它的最高次项是二次项③ 它与一元二次函数有相联系的地方；一元二次方程及根的关系：一元二次方程的单解和两解，它对应的一元二次函数的图象几何方程的根与几何意义的关系；（2）整数系数的一元二次方程；（3）一元二次方程及根的关系；（4）一元二次方程数学题。
数学必修4知识点归纳总结
数学必修4知识点归纳总结第一章 三角函数周期现象与周期函数周期函数定义的理解要掌握三个条件，即存在不为0的常数T ；x 必须是定义域内的任意值； f(x ＋T)＝f(x)。
练习:（1）已知函数f(x)对定义域内的任意x 满足：存在非零常数T ，使得f(x ＋T)＝f(x)恒成立。
求：f(x ＋2T) ，f(x ＋3T)解：f(x ＋2T)＝f[(x ＋T)＋T]＝f(x ＋T)＝f(x)， f(x ＋3T)＝f[(x ＋2T)＋T]＝f(x ＋2T)＝f(x)(2)已知函数f(x)是R 上的周期为5的周期函数，且f(1)＝2005,求f(11) 解：f(11)＝f(6＋5)＝f(6)＝f(1＋5)＝f(1)＝2005(3)已知函数f(x)是R 上的奇函数，且f(1)＝2，f(x ＋3)＝f(x)，求f(8) 解：f(8)＝f(2＋2×3)＝f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2 角的概念的推广1、正角、负角、零角的概念一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向(或顺时针方向)旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点。
规定：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；如果一条射线没有作任何旋转，我们认为这时它也形成了一个角，并把这个角叫做零角,如果α是零角，那么α＝0°；钟表的时针和分针在旋转时所形成的角总是负角。
过去我们研究了0°～360°（00360α≤<）范围的角。
如果我们将角α=030的终边OB 继续按逆时针方向旋转一周、两周……而形成的角分别得到390°，750°……的角。
角的概念经过这样的推广以后就成为任意角，任意角包括正角、负角和零角． 2．象限角、坐标轴上的角的概念．由于角是一个平面图形，所以今后我们常在直角坐标系内讨论角，我们使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴(包括原点)重合，那么角的终边(除端点外)落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 300°、－60°角都是第四象限角；585°角是第三象限角。
必修4 数学最全 知识点梳理(完整版)
高中数学必修4 知识点总结第一章：三角函数§1.1.1、任意角1、 正角、负角、零角、象限角的概念.2、 与角α终边相同的角的集合：{}Z k k ∈+=,2παββ.§1.1.2、弧度制1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2、 rl =α. 3、弧长公式：R Rn l απ==180. 4、扇形面积公式：lR R n S 213602==π.§1.2.1、任意角的三角函数1、 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么：xyx y ===αααtan ,cos ,sin 2、 设点(),A x y为角α终边上任意一点，那么：（设r =sin y r α=，cos x r α=，tan y xα= 3、 αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号和三角函数线的画法.正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT 4、 特殊角0°，30°，45°，60°，§1.2.2、同角三角函数的基本关系式 1、 平方关系：1cos sin 22=+αα. 2、 商数关系：αααcos sin tan =. §1.3、三角函数的诱导公式（概括为“奇变偶不变，符号看象限”Z k ∈）1、 诱导公式一： ()()().tan 2tan ,cos 2cos ,sin 2sin απααπααπα=+=+=+k k k （其中：Z k ∈） 2、 诱导公式二： ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ=+-=+-=+3、诱导公式三： ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin αααααα-=-=--=- 4、诱导公式四： ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ-=--=-=-5、诱导公式五： .sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛- 6、诱导公式六： .sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ-=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象：2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 3、会用五点法作图.sin y x =在[0,2]x π∈上的五个关键点为： 30010-12022ππππ（，）（，，）（，，）（，，）（，，）.§1.4.3、正切函数的图象与性质12、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.周期函数定义：对于函数()x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()，那么函数()x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质§1.5、函数()ϕω+=x A y sin 的图象 1、对于函数：()()sin 0,0y A x B A ωφω=++>>有：振幅A ，周期2T πω=，初相ϕ，相位ϕω+x ，频率πω21==Tf .2、能够讲出函数x y sin =的图象与()sin y A x B ωϕ=++的图象之间的平移伸缩变换关系.① 先平移后伸缩：sin y x = 平移||ϕ个单位 ()sin y x ϕ=+（左加右减） 横坐标不变 ()sin y A x ϕ=+纵坐标变为原来的A 倍纵坐标不变 ()sin y A x ωϕ=+横坐标变为原来的1||ω倍平移||B 个单位 ()sin y A x B ωϕ=++（上加下减）② 先伸缩后平移：sin y x = 横坐标不变 sin y A x =纵坐标变为原来的A 倍 纵坐标不变 sin y A x ω=横坐标变为原来的1||ω倍()sin y A x ωϕ=+平移||B 个单位()sin y A x B ωϕ=++（上加下减）3、三角函数的周期，对称轴和对称中心函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期2||T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期||T πω=. 对于sin()y A x ωϕ=+和cos()y A x ωϕ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系. 求函数sin()y A x ωϕ=+图像的对称轴与对称中心，只需令()2x k k Z πωϕπ+=+∈与()x k k Z ωϕπ+=∈解出x 即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.4、由图像确定三角函数的解析式 利用图像特征：max min 2A =，max min2y y B +=. ω要根据周期来求,ϕ要用图像的关键点来求.§1.6、三角函数模型的简单应用 1、 要求熟悉课本例题.第三章、三角恒等变换§3.1.1、两角差的余弦公式记住15°的三角函数值：§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1、()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+ 2、()βαβαβαsin cos cos sin sin -=- 3、()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+ 4、()βαβαβαsin sin cos cos cos +=-5、()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ+-+=. 6、()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ-+-=.§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、αααcos sin 22sin =， 变形： 12sin cos sin 2ααα=. 2、ααα22sin cos 2cos -=1cos 22-=α α2sin 21-=. 变形如下：升幂公式：221cos 22cos 1cos 22sin αααα⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 降幂公式：221cos (1cos 2)21sin (1cos 2)2αααα=+=-⎧⎪⎨⎪⎩ 3、ααα2tan 1tan 22tan -=.4、sin 21cos 2tan 1cos 2sin 2ααααα-==+ §3.2、简单的三角恒等变换1、 注意正切化弦、平方降次.2、辅助角公式)sin(cos sin 22ϕ++=+=x b a x b x a y（其中辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ= ).第二章：平面向量§2.1.1、向量的物理背景与概念1、 了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、 既有大小又有方向的量叫做向量. §2.1.2、向量的几何表示1、 带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.2、 向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作AB ；长度为零的向量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量.3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行. §2.1.3、相等向量与共线向量1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. §2.2.1、向量加法运算及其几何意义1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则.2++.§2.2.2、向量减法运算及其几何意义1、 与a 长度相等方向相反的向量叫做a 的相反向量.2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则.§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义1、 规定：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：a λ，它的长度和方向规定如下：⑴= ⑵当0>λ时, a λ的方向与a 的方向相同；当0<λ时, a λ的方向与a 的方向相反. 2、 平面向量共线定理：向量()≠与 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使λ=. §2.3.1、平面向量基本定理1、 平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量，有且只有一对实数21,λλ，使2211e e a λλ+=. §2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示 1、 ()y x y x ,=+=. §2.3.3、平面向量的坐标运算1、 设()()2211,,,y x b y x a ==，则： ⑴()2121,y y x x b a ++=+，⑵()2121,y y x x --=-， ⑶()11,y x λλλ=， ⑷1221//y x y x =⇔. 2、 设()()2211,,,y x B y x A ，则： ()1212,y y x x AB --=. §2.3.4、平面向量共线的坐标表示 1、设()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，则⑴线段AB 中点坐标为()222121,y y x x ++， ⑵△ABC 的重心坐标为()33321321,y y y x x x ++++.§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义1、 θ=⋅.2、 在θcos .3、 2=.4、=.5、 0=⋅⇔⊥.§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1、 设()()2211,,,y x y x ==，则：⑴2121y y x x b a +=⋅2121y x +=⑶121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+= ⑷1221//0a b a b x y x y λ⇔=⇔-= 2、 设()()2211,,,y x B y x A ，则：()()212212y y x x -+-=.3、 两向量的夹角公式 2cos a b a bx θ⋅==+4、点的平移公式平移前的点为(,)P x y （原坐标），平移后的对应点为(,)P x y '''（新坐标），平移向量为(,)PP h k '=，则.x x hy y k '=+⎧⎨'=+⎩函数()y f x =的图像按向量(,)a h k =平移后的图像的解析式为().y k f x h -=-§2.5.1、平面几何中的向量方法 §2.5.2、向量在物理中的应用举例知识链接：空间向量空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳.1、直线的方向向量和平面的法向量 ⑴．直线的方向向量：若A 、B 是直线l 上的任意两点，则AB 为直线l 的一个方向向量；与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量. ⑵．平面的法向量：若向量n 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n α⊥，如果n α⊥，那么向量n 叫做平面α的法向量.⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）： ①建立适当的坐标系．②设平面α的法向量为(,,)n x y z =．③求出平面内两个不共线向量的坐标123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==． ④根据法向量定义建立方程组00n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩.⑤解方程组，取其中一组解，即得平面α的法向量. （如图）2 用向量方法判定空间中的平行关系设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、，则要证明1l ∥2l ，只需证明a ∥b ，即()a kb k R =∈. 即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线.⑵线面平行①（法一）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l ∥α，只需证明a u ⊥，即0a u ⋅=. 即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外②（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可. ⑶面面平行若平面α的法向量为u ，平面β的法向量为v ，要证α∥β，只需证u ∥v ，即证u v λ=. 即：两平面平行或重合两平面的法向量共线. 3、用向量方法判定空间的垂直关系 ⑴线线垂直设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、，则要证明12l l ⊥，只需证明a b ⊥，即0a b ⋅=. 即：两直线垂直两直线的方向向量垂直.⑵线面垂直①（法一）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l α⊥，只需证明a ∥u ，即a u λ=.②（法二）设直线l 的方向向量是a ，平面α内的两个相交向量分别为m n 、，若0,.0a m l a n α⎧⋅=⎪⊥⎨⋅=⎪⎩则 即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直. ⑶面面垂直若平面α的法向量为u ，平面β的法向量为v ，要证αβ⊥，只需证u v ⊥，即证0u v ⋅=. 即：两平面垂直两平面的法向量垂直. 4、利用向量求空间角 ⑴求异面直线所成的角A ，C 与B ，D 分别是,a b 上的任意两点，,a b 所成的角为θ，则cos .AC BD AC BDθ⋅=⑵求直线和平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角②求法：设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的夹角为ϕ， 则θ为ϕ的余角或ϕ的补角 的余角.即有：cos s .ina ua uϕθ⋅==①定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面二面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线l BO l AO ⊥⊥,，则AOB ∠为二面角βα--l 的平面角.如图：②求法：设二面角l αβ--的两个半平面的法向量分别为m n 、，再设m n 、的夹角为ϕ，二面角l αβ--的平面角为θ，则二面角θ为m n 、的夹角ϕ或其补角.πϕ- 根据具体图形确定θ是锐角或是钝角： ◆如果θ是锐角，则cos cos m n m nθϕ⋅==；◆ 如果θ是钝角，则cos cos m n m nθϕ⋅=-=-.5、利用法向量求空间距离⑴点Q 到直线l 距离若Q 为直线l 外的一点,P 在直线l 上，a 为直线l 的方向向量，b =PQ ，则点Q 到直线l 距离为1(||||h a b a =⑵点A 到平面α的距离若点P 为平面α外一点，点M 为平面α内任一点，平面α的法向量为n ，则P 到平面α的距离就等于MP 在法向量n 方向上的投影的绝对值.即cos ,d MP n MP =n MP MP n MP⋅=⋅n MP n⋅=⑶直线a 与平面α之间的距离当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等.由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离.即.n MP d n⋅=⑷两平行平面,αβ之间的距离利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离.即.n MP d n⋅=⑸异面直线间的距离高中数学必修四 知识梳理 10设向量n 与两异面直线,a b 都垂直，,,M a P b ∈∈则两异面直线,a b 间的距离d 就是MP 在向量n 方向上投影的绝对值.即.n MP d n⋅=6、三垂线定理及其逆定理⑴三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直推理模式：,,PO O PA A a PA a a OA αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭概括为：垂直于射影就垂直于斜线.⑵三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直推理模式：,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭概括为：垂直于斜线就垂直于射影.7、三余弦定理设AC 是平面α内的任一条直线，AD 是α的一条斜线AB 在α内的射影，且BD ⊥AD ，垂足为D.设AB 与α (AD)所成的角为1θ， AD 与AC 所成的角为2θ， AB 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=.8、 面积射影定理已知平面β内一个多边形的面积为()S S 原，它在平面α内的射影图形的面积为()S S '射，平面α与平面β所成的二面角的大小为锐二面角θ，则'cos =.S S S S θ=射原9、一个结论长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、,则有2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++= 222123sin sin sin 2θθθ⇔++=.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.。
必修4第一章知识点
第一章、三角函数2、 与角:-终边相同的角的集合： ____________________ . _________________3、 角〉的顶点与原点重合，角的始边与 X 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称:-为第几象限角.象限角：第一象限角的集合为 ________________________________________________________ 第二象限角的集合为 ______________________________________________________ 第三象限角的集合为 _______________________________________________________ 第四象限角的集合为 _______________________________________________________轴线角：终边在x 轴上的角的集合为 ________________________________终边在y 轴上的角的集合为 _____________________________________________________ 终边在坐标轴上的角的集合为 _______________________________________________________4、 已知：•是第几象限角，确定 二X*所在象限的方法： ________________________________________________n5、 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 ____________ .6、 半径为r 的圆的圆心角:所对弧的长为I ，则角〉的弧度数的绝对值是 ___________________7、 若扇形的圆心角为：；［：£为弧度制，半径为r ,弧长为I ,周长为C ,面积为S ,则弧长公式L= _________C = 2r I ，扇形面积公式 S= _______ = ___________________8、 弧度制与角度制的换算公式： 2廡-360 , 180° =…， 1rad = 180 °~ 57.30 ° =57° 18'.1 °=二~0.01745 (rad )兀180003004506 00900120013501500c0 18027 0 36 071 22兀9、三角函数定义： 设〉是任意角，:的终边上任意一点 m 的坐标是 x,y ，它与原点的距离是r r= .x 2y 2， 则 s j ： n=---- ---- , COS ： = _________________tana = ___________ （x 式 0 ）.高中数学必修4知识点按逆时针方向錠转形成辦技顺时针方向雄转死成葩角 不作任何旋转堆成的用1、任意？第一象限全为_________ 第三象限为第二象限________ 为正, 第四象限为正.12、三角函数线：sin ? -\l? , cosi - d , tan13、三角函数的基本关系：(1)平方关系____________________(2)商数关系__________________ d . 2 人 2 . 2 . sin 1 -cos :- ,cos - 1 -sin ：；sin : - tan : cos: ,cos :二sin j I14、函数的诱导公式：口诀：函数名称奇变偶不变，符号看象限.(1 )sin(2k^ ) = ________ cos(2k江)= ___________ , tan(2k^+。
高中数学必修4第一章知识点总结
高中数学必修4第一章知识点总结一、数列的定义与表示方法：1.数列的定义：由一列按照一定规律排列的有序数构成的集合称为数列。
2.数列的表示方法：可以通过用元素的代号表示每一项，如a₁,a₂,a₃,...,aₙ表示数列的前n项；或者使用通项公式表示数列的一般项。
二、数列的分类：1.根据数列的前后项之间的关系，可以将数列分为等差数列、等比数列和等差数列的和。
2.等差数列：若一个数列中任意两项之差都相等，则称该数列为等差数列。
等差数列的通项公式为aₙ=a₁+(n-1)d，其中a₁为首项，d为公差，n为项数。
3.等比数列：若一个数列中任意两项之比都相等，则称该数列为等比数列。
等比数列的通项公式为aₙ=a₁*q^(n-1)，其中a₁为首项，q为公比，n为项数。
4.等差数列的和：等差数列的和是等差数列前n项和，记为Sₙ，可由通项公式推导出来。
三、常用的数列公式：1.前n项和公式：-等差数列的前n项和公式为Sₙ=(a₁+aₙ)*n/2-等比数列的前n项和公式为Sₙ=a₁*(1-q^n)/(1-q)，其中q≠12.末项公式：-等差数列的末项公式为aₙ=a₁+(n-1)d。
-等比数列的末项公式为aₙ=a₁*q^(n-1)。
四、数列的性质：1.数列的递增和递减性：若数列的相邻两项之差为正数，称该数列为递增数列；若相邻两项之差为负数，称该数列为递减数列。
2.数列的有界性：若数列的所有项都不小于一个常数M，称该数列是下有界的；若数列的所有项都不大于一个常数N，称该数列是上有界的。
3.数列的单调性：若数列的前后项之间的关系始终保持一致，称该数列是单调数列。
4.数列的极限：如果数列中的项无限增大或无限逼近一些常数，那么这个常数称为该数列的极限。
五、常见的数列应用问题：1.求等差数列的前n项和、末项或项数的方法。
2.求等比数列的前n项和、末项或项数的方法。
3.判断数列的递增性、递减性、有界性或单调性。
4.使用数列的公式解决实际问题，如等差电费问题、等比人口增长问题等。
(完整版)人教高中数学必修四第一章三角函数知识点归纳
三角函数一、随意角、弧度制及随意角的三角函数1．随意角(1)角的观点的推行①按旋转方向不一样分为正角、负角、零角．正角 : 按逆时针方向旋转形成的角随意角 负角: 按顺时针方向旋转形成的角零角 : 不作任何旋转形成的角②按终边地点不一样分为象限角和轴线角．角 的极点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称 为第几象限角．第一象限角的会合为 k 360ok 360o 90o , k第二象限角的会合为 k 360o 90o k 360o 180o , k第三象限角的会合为 k 360o 180o k 360o 270o , k第四象限角的会合为k 360o 270ok 360o360o , k终边在 x 轴上的角的会合为 k 180o , k终边在 y 轴上的角的会合为 k 180o 90o , k终边在座标轴上的角的会合为k 90o ,k(2)终边与角 α同样的角可写成 α＋ k ·360 °(k ∈ Z)．终边与角 同样的角的会合为k 360o, k(3)弧度制① 1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角．②弧度与角度的换算： 360°＝ 2π弧度； 180°＝ π弧度．③ 半径为 r 的圆的圆心角所对弧的长为 l ，则角的弧度数的绝对值是lr④ 若扇形的圆心角为 为弧度制 ，半径为 r ，弧长为 l ，周长为 C ，面积为 S ，则 lr，C2r l ，S1 lr 1 r2 ． 222 ．随意角的三角函数定义设 α是一个随意角，角 α的终边上随意一点P(x ， y)，它与原点的距离为 r rx 2 y 2 ，那么角 α的正弦、余弦、rrx（三角函数值在各象限的符号规律归纳为：一全正、二正弦、三正切分别是： sin α＝ y ， cos α＝ x ， tan α＝ y．正切、四余弦）3．特别角的三角函数值角度030456090120135150180270360函数角 a 的弧度0π /6π/4π /3π /22π /33π /45π/6π3π /22πsina01/2√ 2/2√ 3/21√ 3/2√ 2/21/20-10 cosa1√ 3/2√ 2/21/20-1/2-√ 2/2-√ 3/2-101 tana0√ 3/31√ 3-√ 3-1-√ 3/300二、同角三角函数的基本关系与引诱公式A.基础梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系： sin2α＋ cos2α＝ 1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号）sin α(2)商数关系：＝tanα.（3）倒数关系：tan cot 1cos α2．引诱公式公式一： sin( α＋ 2kπ)＝sin α， cos(α＋ 2kπ)＝cos_α，tan(2k )tan此中 k∈Z .公式二： sin( π＋α)＝－ sin_α， cos( π＋α)＝－ cos_α， tan( π＋α)＝ tan α.公式三： sin( π－α)＝ sin α， cos( π－α)＝－ cos_α，tan tan．公式四： sin( －α)＝－ sin_α， cos(－α)＝ cos_α，tan tan .ππ公式五： sin －α＝ cos_α， cos－α＝ sin α.22ππ公式六： sin 2＋α＝ cos_α， cos2＋α＝－ sin_α.π口诀：奇变偶不变，符号看象限．此中的奇、偶是指π引诱公式可归纳为 k· ±α的各三角函数值的化简公式．的奇数22倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．假如奇数倍，则函数名称要变( 正弦变余弦，余弦变正弦 ) ；假如偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把πα当作锐角时，依据 k· ±α在哪个象限判断原三角函数值的符号，最后作为结．．．．2．．．果符号．B. 方法与重点一个口诀1、引诱公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：sin α(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦．cos α(2)和积变换法：利用 (sin θ±cos θ)2＝1 ±2sin θcos θ的关系进行变形、转变．（ sin cos、sin cos、sin cos三个式子知一可求二）(3)巧用 “1”的变换： 1＝ sin 2θ＋ cos 2θ= sinπ＝tan 42（4）齐次式化切法：已知 tank ，则 a sinbcos a tan b ak bm sinn cos m tan n mk n三、三角函数的图像与性质学习目标：1 会求三角函数的定义域、值域2 会求三角函数的周期 ：定义法，公式法，图像法（如y sin x 与 y cosx 的周期是）。
高中数学必修四知识点大全
知识点串讲必修四第一章：三角函数 1.1．1 任意角1、角的有关概念: ①角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称：③角的分类：2、象限角的概念：①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合,那么角的终边(端点除外）在第几象限,我们就说这个角是第几象限角． 终边相同的角的表示：所有与角α终边相同的角，连同α在内,可构成一个集合S ＝{ β ｜ β = α + k ·360 ° ， k ∈Z }，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 注意：⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角；⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个,它们相差 360°的整数倍；⑷ 角α + k ·720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角． 3、写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示） ． 解:｛α | α = 90°+ n ·180°，n ∈Z ｝．4、已知α角是第三象限角,则2α，2α各是第几象限角？ 解:α 角属于第三象限，∴ k ·360°+180°＜α＜k ·360°+270°（k ∈Z ） 因此，2k ·360°+360°＜2α＜2k ·360°+540°(k ∈Z ） 即(2k +1）360°＜2α＜（2k +1)360°+180°(k ∈Z ） 故2α是第一、二象限或终边在y 轴的非负半轴上的角．又k ·180°+90°＜2α＜k ·180°+135°（k ∈Z) ． 当k 为偶数时，令k =2n (n ∈Z ），则n ·360°+90°＜2α＜n ·360°+135°(n ∈Z ） ,当k 为奇数时，令k =2n +1 (n ∈Z ）,则n ·360°+270°＜2α＜n ·360°+315°(n ∈Z) ，负角：按顺时针方向旋转形成的角 始边终边顶点AO B 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角:射线没有任何旋转形成的角因此2α属于第二或第四象限角． 1。
数学必修四第一章知识点总结
任意角 的概念
知识结构
应用
弧度制 与角度制
任意角的 三角函数 同角三角函 数基本关系式 诱导 公式
三角函数的 图像和性质
应用
一、角的有关概念
1、角的概念的推广
y
的终边
正角 零角
x
o
负角
的终边 2、角度与弧度的互化
180
180 1弧度 ( ) 57.30 5718, π π 1 180
x 2k 时， ymin 1 x 2k 时， ymin 2
y [1,1] y [1,1] x 2k 时， ymax 1 x 2k 时，ymax 1 2
x x k , k Z 2
yR
1
3
3 2 1 2
2
1
2 3
3 4
5 6 1 2
0
3 2 2
-1
3 2
2 2
0
1
cos 1
tan 0
3 2 3 3
0
不 存 在
1 2 3 -1 2 2 2
0
不 存 在
3
3 0 3 -1 3
0
5、弧度制：
(2)弧长公式： 弧度制： l =
l = r
r O 1rad r
y=Asin(x+)
九、五点法作图 y sin x, x [0, 2 ]
最高点：
1-
y
(
2
,1)
(0,0)
-1
与x轴的交点： (2 ,0) ( ,0)
2
o
6
高中数学必修4知识点(完美版)
高中数学必修4知识点(完美版)高中数学必修4第一章三角函数角是指由两条射线（或直线）共同端点所组成的图形。
按照旋转方向，角可以分为正角、负角和零角。
其中，正角是按逆时针方向旋转形成的角，负角是按顺时针方向旋转形成的角，零角是不作任何旋转形成的角。
如果一个角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，就称这个角为第几象限角。
各象限角的集合可以表示为：第一象限角的集合为：α ∈ {α | k360° < α < k360° + 90°，k∈Z}；第二象限角的集合为：α ∈ {α | αk360° + 90° < α < k360° + 180°，k∈Z}；第三象限角的集合为：α ∈ {α | αk360° + 180° < α < αk360° + 270°，k∈Z}；第四象限角的集合为：α ∈ {α | αk360° + 270° < α < αk360° + 360°，k∈Z}；终边在x轴上的角的集合为：α ∈{α | α = k180°，k∈Z}；终边在y轴上的角的集合为：α ∈ {α | α = k180° + 90°，k∈Z}；终边在坐标轴上的角的集合为：α ∈ {α | α = k90°，k∈Z}。
根据终边所在的象限，可以将角分为四个象限。
第一象限角的终边落在第一象限，第二象限角的终边落在第二象限，以此类推。
在第一象限，角的值在0°到90°之间；在第二象限，角的值在90°到180°之间；在第三象限，角的值在180°到270°之间；在第四象限，角的值在270°到360°之间。
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高中数学必修 4第一章 三角函数⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．5、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l rα=． 6、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭． 7、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．8、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()0r r >，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0yx xα=≠． 9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．10、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 11、角三角函数的基本关系()221sin cos 1αα+=()2222sin1cos ,cos 1sin αααα=-=-()sin 2tan cos ααα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．12、函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．()6sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．13、①的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．②数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 14、函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质： ①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ． 函数()sin y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()m a x m i n 12y y A =-，()max min 12y y B =+，()21122x x x x T=-<．15 周期问题◆()()()()()()ωπωϕωωπωϕωωπωϕωωπωϕωωπωϕωπωϕω2T , 0b , 0 , 0A , b 2T , 0 b , 0 , 0A , b T , 0 , 0A , T , 0 , 0A , 2T , 0 , 0A , 2T , 0 , 0A , =≠>>++==≠>>++==>>+==>>+==>>+==>>+=x ACos y x ASin y x ACos y x ASin y x ACos y x ASin y()()()()ωπωϕωωπωϕωωπωϕωωπωϕω=>>+==>>+==>>+==>>+=T , 0 , 0A , cot T , 0 , 0A , tan T, 0 , 0A , cot T , 0 , 0A , tan x A y x A y x A y x A yR ,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭第二章平面向量16、向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为0的向量．单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量．17、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连．⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑷运算性质：①交换律：a b b a+=+；②结合律：()()a b c a b c++=++；③00a a a+=+=．⑸坐标运算：设()11,a x y=，()22,b x y=，则()1212,a b x x y y+=++．18、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．baCBA⑵坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--．19、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=；②当0λ>时，a λ 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ 的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=．⑵运算律：①()()a a λμλμ= ；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+ ．⑶坐标运算：设(),a x y = ，则()(),,a x y x y λλλλ==．20、向量共线定理：向量()0a a ≠ 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．设()11,a x y =，()22,b x y = ，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a、()0b b ≠共线．21、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底）22、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP 时，⑶运算律：①a b b a ⋅=⋅；②()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅ ；③()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅ ．⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y = ，()22,b x y =，则1212a b x x y y ⋅=+．测试题一、选择题1．若三点(2,3),(3,),(4,)A B a C b 共线，则有（ ）A ．3,5a b ==-B ．10a b -+=C ．23a b -=D ．20a b -= 2．设πθ20<≤，已知两个向量()θθsin ,cos 1=，()θθcos 2,sin 22-+=OP ，则向量21P P 长度的最大值是（ ）A .2B .3C .23D .32 3．下列命题正确的是（ ）A ．单位向量都相等B ．若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量（ ）C ．|||b -=+，则0a b ⋅=D ．若0a 与0b 是单位向量，则001a b ⋅=4．已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为060，那么3a b += （ ）A ．7B ．10C ．13D ．45．已知向量a ，b 满足1,4,a b ==且2a b ⋅= ,则a 与b 的夹角为A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 6．若平面向量b 与向量)1,2(=a 平行，且52||=b ，则=b ( )A ．)2,4(B ．)2,4(--C ．)3,6(-D ．)2,4(或)2,4(-- 二、填空题1．若||1,||2,a b c a b ===+ ，且c a ⊥ ，则向量a 与b的夹角为 ．2．已知向量(1,2)a →=，(2,3)b →=-，(4,1)c →=，若用→a 和→b 表示→c ，则→c =____。
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1.11、“旋转”形成角，一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到另一位置OB ，就形成角α．旋转开始时的射线OA 叫做角α的始边，旋转终止的射线OB 叫做角α的终边，射线的端点O 叫做角α的顶点．2、“正角”、“负角”与“0°角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，3．“象限角”角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x {}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、与角α{}360,k k ββα=⋅+∈Z1．弧度角的定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角，它的单位是rad 读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．2．平角、周角的弧度数：平角=π rad 、周角=2π rad3．正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0. 4．角α的弧度数的绝对值 rl=α（l 为弧长，r 为半径） 二．角度制与弧度制的换算：1．∵ 360︒=2π rad ∴180︒=π rad ； ∴ 1︒=rad rad 01745.0180≈π2．用弧度制表示弧长及扇形面积，公式： ① 弧长公式：α⋅=r l ，由公式：⇒=r l α α⋅=r l 比公式180r n l π=简单 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积。
②扇形面积公式 lR S 21=，其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径。
1.2任意角的三角函数：（1）确立任意角α在直角坐标系中的位置；（2）在其终边上任取一点P (x ,y )，设点P 到原点的距离为r ，OP =r （r ≠0），根据三角形的相似知识得：l rx =，m ry =，lm xy =，由此得l rx =，m r y =，l mx y =oR Sl（3）任意角三角函数定义：正弦函数；余弦函数；正切函数；余切函数；正割函数；余割函数.r x 叫做角α的余弦，记作cos α ,即cos α=r x ； r y 叫做角α的正弦，记作sin α，即sin α=ry ； x y 叫做角α的正切，记作tan α，即tan α=xy；角α的其他三种函数： 角α的正割：sec α=αcos 1=x r ；角α的余割：ααsin 1csc ==yr；角α的余切：==ααtan 1cot =yx 角是“任意角”，当β=2kπ+α(k ∈Z)时，β与α的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值都相等 二．三角函数值的符号：1．角是“任意角”， 由三角函数定义可知，0>r 而x , y 的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定. 2．三角函数在各象限内的符号规律：第一象限：0,0.>>y x ∴sin α>0, cos α>0, tan α>0, cot α>0, sec α>0, csc α>0 第二象限：0,0.><y x ∴sin α>0, cos α<0, tan α<0, cot α<0, sec α<0, csc α>0 第三象限：0,0.<<y x ∴sin α<0, cos α<0, tan α>0, cot α>0, sec α<0, csc α<0 第四象限：0,0.<>y x ∴sin α<0, cos α>0, tan α<0, cot α<0, sec α>0, csc α<0 二．几何表示法：1．单位圆的概念：以原点为圆心，单位长为半径的圆称为单位圆.单位圆是三角函数线建立的基石，离开单位圆就谈不上三角函数线，因此单位圆概念的建立是前提。
单位圆的概念要着重理解“一个单位”的含义。
2．三角函数线：在平面直角坐标系内，作单位圆，设任意角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P (x ，ｙ），x 轴的正半轴与单位圆相交于A （1，0），过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过A 作单位圆的切线，这条切线必平行于ｙ轴，设它与角α的终边或其反向延长线交于点T .cos α与sec α的符号__++y xOsin α与csc α的符号tan α与cot α的符号显然，线段OM 的长度为｜x ｜，线段MP 的长度为｜ｙ｜，它们都只能取非负值. 当角α的终边不在坐标轴上时，我们可以把OM 、MP 都看作带有方向的线段．．．．．．。
这两条与单位圆有关的有向线段MP 、OM 分别叫做角α的正弦线、余弦线。
单位圆中的三角函数线是用轴上的向量表示的，要明确轴上向量是既有大小又有方向的线段，用轴上向量的数量表示三角函数值，其长度表示三角函数的绝对值，其方向表示三角函数的正负号。
3．注意事项：(1)当角α的终边在ｙ轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在.；(2)当角α的终边在x 轴上时，正弦线、正切线都变成点.；(3)正弦线、余弦线、正切线都是与单位圆有关的有向线段，所以作某角的三角函数线时，一定要先作单位圆.；(4)线段有两个端点，在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时，要先写起点字母，再写终点字母，不能颠倒；或者说，含原点的线段，以原点为起点，不含原点的线段，以此线段与x 轴的公共点为起点；(5)三种有向线段的正负与坐标轴正反方向一致，三种有向线段的数量与三种三角函数值相同。
正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线.1.3二．同角三角函数的基本关系式：1cos sin 22=+αα；αααtan cos sin =是两个最基本的关系式。
还可以推出其它若干关系式。
二．角α与α+k · 2π(k ∈Z )的三角函数间的关系： 公式(一)απαsin )sin(=∙+2k ；απαcos )cos(=∙+2k ；απαtan )tan(=∙+2k （其中k ∈Z ）诱导公式（一）的作用：把绝对值大于360º的任意角的正弦、余弦、正切的三角函数值转化为绝对值小于360º角的正弦、余弦、正切三角函数值。
三．角α与－α的三角函数间的关系：公式（二）sin(sin αα-=-）；ααcos cos(=-）； ααtan tan(-=-）；（其中k ∈Z ）它说明角-α与角α的正弦值互为相反数，而它们的余弦值相等． 四．角α与α+(2k +1)π (k ∈Z )的三角函数间的关系：公式(三)[]απαcos 2(cos -=++1)k []απαsin 2(sin -=++1)k[]απαtan 2(tan =++1)k可以看出：sin sin()sin n n n ααπα⎧+=⎨-⎩为偶数为奇数cos cos()cos n n n ααπα⎧+=⎨-⎩为偶数为奇数απαtan )tan(=+n．公式（四）απαsin )2cos(-=+；απαcos )2sin(=+；απαcot )2tan(-=+；απαtan )2cot(-=+；απαsin )2cos(=+-；απαcos )2sin(=+-；απαcot )2tan(=+-；απαtan )2cot(=+-四组诱导公式的作用： 任意一个角都可以表示为)4(2πααπ≤+∙其中k 的形式。
这样由前面的公式就可以把任意角的三角函数求值问题转化为0到4π之间角的三角函数求值问题。
知识点1：正弦函数余弦函数的图象 （1）函数y=sinx 的图象第一步：在直角坐标系的x 轴上任取一点1O ，以1O 为圆心作单位圆，从这个圆与x 轴的交点A 起把圆分成n(这里n=12)等份.把x 轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份.（预备：取自变量x 值—弧度制下角与实数的对应）. 第二步：在单位圆中画出对应于角6,0π，3π，2π,…，2π的正弦线正弦线（等价于“列表” ）.把角x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）.第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象．根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx ，x ∈R 的图象.把角x ()x R ∈的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx 的图象.（2）余弦函数y=cosx 的图象用几何法作余弦函数的图象，可以用“反射法”将角x 的余弦线“竖立”[把坐标轴向下平移，过1O 作与x 轴的正半轴成4π角的直线，又过余弦线1O A 的终点A 作x 轴的垂线，它与前面所作的直线交于A ′，那么1O A 与AA ′长度相等且方向同时为正，我们就把余弦线1O A “竖立”起来成为AA ′，用同样的方法，将其它的余弦线也都“竖立”起来．再将它们平移，使起点与x 轴上相应的点x 重合，则终点就是余弦函数图象上的点．]也可以用“旋转法”把角 的余弦线“竖立”（把角x 的余弦线O 1M 按逆时针方向旋转2π到O 1M 1位置，则O 1M 1与O 1M 长度相等，方向相同.）根据诱导公式cos sin()2x x π=+,还可以把正弦函数x=sinx 的图象向左平移2π单位即得余弦函数y=cosx 的图象. （1） 正切函数y=tanx 的图像：知识点2：五点法作图用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0) 余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的五个点关键是(0,1) (2π,0) (π,-1) (23π,0) (2π,1)只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握． 知识点3：奇偶性请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？ (1)余弦函数当自变量取一对相反数时，函数y 取同一值。