9．(2013·苏锡常镇、连云港、徐州六市调研(二))已知等差数列{a n }的公差d 不为0，且a 3＝a 27，a 2＝a 4＋a 6.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，求满足S n －2a n －20>0的所有正整数n 的集合．
10．(2014·南京学情调研)已知数列{a n }的首项a 1＝a ，S n 是数列{a n }的前n 项和，且满
足S 2n ＝3n 2a n ＋S 2n －1，a n ≠0，n ≥2，n ∈N *
.
(1)若数列{a n }是等差数列，求a 的值；
(2)确定a 的取值集合M ，使a ∈M 时，数列{a n }是递增数列．
第Ⅱ卷：提能增分卷
1．(2013·苏锡常镇、连云港、徐州六市调研(二))设S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }
的前n 项和，已知S n T n ＝2n ＋14n －2，n ∈N *，则a 10b 3＋b 18＋a 11
b 6＋b 15
＝________.
2．(2014·盐城二模)在等差数列{a n }中，a 2＝5，a 6＝21，记数列{1
a n
}的前n 项和为S n ，
若S 2n ＋1－S n ≤m
15
对n ∈N *恒成立，则正整数m 的最小值为________．
3．(2014·南通一模)已知数列{a n }中，a 2＝1，前n 项和为S n ，且S n ＝n (a n －a 1)
2.
(1)求a 1；
(2)求证：数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式；
(3)设lg b n ＝a n ＋1
3n ，试问是否存在正整数p ，q (其中1
若存在，求出所有满足条件的数组(p ，q )；若不存在，请说明理由．
4．(2013·南京、淮安二模)已知数列{a n }的各项都为正数，且对任意n ∈N *，a 2n ＋1＝a n a n
＋2
＋k (k 为常数)．
(1)若k ＝(a 2－a 1)2，求证：a 1，a 2，a 3成等差数列； (2)若k ＝0，且a 2，a 4，a 5成等差数列，求a 2
a 1
的值；
(3)已知a 1＝a ，a 2＝b (a ，b 为常数)，是否存在常数λ，使得a n ＋a n ＋2＝λa n ＋1对任意n ∈
N *都成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．
答 案
第Ⅰ卷：夯基保分卷
1．『解析』等差数列{a n }中，由a 3＋a 9＋a 27＝12得3a 13＝12，所以a 13＝4.
『答案』4
2．『解析』由S n －S n －3＝51得，a n －2＋a n －1＋a n ＝51，所以a n －1＝17， 又a 2＝3，S n ＝
n a 2＋a n －1
2
＝100，解得n ＝10.
『答案』10
3．『解析』由a 4＋a 6＝10，得2a 5＝10，所以a 5＝5.由S 5＝5a 3＝5，得a 3＝1， 所以d ＝a 5－a 32＝5－12
＝2.
『答案』2
4．『解析』在等差数列{a n }中，由S 10>0，S 11＝0得， S 10＝
10
a 1＋a 102
>0⇒a 1＋a 10>0⇒a 5＋a 6>0，S 11＝
11
a 1＋a 11
2
＝0⇒a 1＋a 11＝2a 6＝0，
故可知等差数列{a n }是递减数列且a 6＝0，所以S 5＝S 6≥S n ，其中n ∈N *，所以k ＝5或6.
『答案』{5,6}
5．『解析』由条件可知，a 2＝5，从而a 1＋a 3＝10，a 1a 3＝16，得a 1＝2，a 3＝8，公差为3，所以a 11＋a 12＋a 13＝2×3＋(10＋11＋12)×3＝105.
『答案』105
6．『解析』法一：点(x n ，y n )满足⎩⎪⎨⎪⎧
tx ＋x n －1y ＝tx n －1，t 2s
x －y ＝0，得到x n ＝2sx n －12s ＋x n －1，y n ＝tx n －12s ＋x n －1，
所以x n －y n ＝2s －t x n －1
2s ＋x n －1
.点(x 1，y 1)满足
⎩⎨⎧
t
2s
x ＋y －t ＝0，t
2s x －y ＝0，
解得x 1＝s ，y 1＝t 2，所以x 2＝23s ，y 2＝t 3；x 3＝12s ，y 3＝14t ；x 4＝25s ，y 4＝1
5t ，…
猜想：x n ＝2s n ＋1，y n ＝t n ＋1.所以x n －y n ＝2s n ＋1－t
n ＋1＝2s －t n ＋1.
法二：由法一知x 1＝s ，y 1＝t
2，x n ＝2sx n －12s ＋x n －1，y n ＝tx n －12s ＋x n －1
由2sx n ＋x n x n －1＝2sx n －1可化为2s x n －2s x n －1＝1，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫2s x n 是以2s
x 1＝2为首项，1为公差的等差数列．
所以2s x n ＝2＋(n －1)，得x n ＝2s n ＋1，将其代入y n 得y n ＝t
n ＋1，故x n －y n ＝2s －t n ＋1
.
