最优化方法练习题答案修改建议版本--删减版

练习题一
1、建立优化模型应考虑哪些要素? 答：决策变量、目标函数和约束条件。

2、讨论优化模型最优解的存在性、迭代算法的收敛性及停止准则。

答：针对一般优化模型()()min ()
..
0,1,2, 0,1,,i j f x s t g x i m h x j p
≥===L L ，讨论解的可行域D ，若存在一点*X D ∈，对于X D ∀∈ 均有*()()f X f X ≤则称*X 为优化模型最优解，最优解存在；迭代算法的收敛性是指迭代所得到的序列(1)(2)(),,,K X X X L L ，满足(1)()()()K K f X f X +≤，则迭代法收敛；收敛的停止准则有
(1)()k k x x ε+-<，(1)()
()
k k k x x x ε+-<，()()(1)()k k f x f x ε+-<，
()()()
(1)()()k k k f x f x f x ε+-<，()()k f x ε∇<等
等。

练习题二
1、某公司看中了例2.1中厂家所拥有的3种资源R 1、R
2、和R 3，欲出价收购（可能用于生产附加值更高的产品）。

如果你是该公司的决策者，对这3种资源的收购报价是多少？（该问题称为例2.1的对偶问题）。

解：确定决策变量 对3种资源报价123,,y y y 作为本问题的决策变量。

确定目标函数 问题的目标很清楚——“收购价最小”。

确定约束条件 资源的报价至少应该高于原生产产品的利润，这样原厂家才可能卖。

因此有如下线性规划问题：123min 170100150w y y y =++
123123123
5210
..23518,,0y y y s t y y y y y y ++≥⎧⎪++≥⎨⎪≥⎩ *2、研究线性规划的对偶理论和方法（包括对偶规划模型形式、对偶理论和对偶单纯形法）。

答：略。

3、用单纯形法求解下列线性规划问题：
（1）⎪⎪
⎩⎪⎪⎨
⎧≥≤+-≤++≤-++-=0,,4322
2..min
321313213213
21x x x x x x x x x x x t s x x x z ； （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=+-=+-+-=)
5,,2,1(052222..4min
5324323213
2Λi x x x x x x x x x x t s x x z i
解：（1）引入松弛变量x 4，x 5，x 6
123456min 0*0*0*z x x x x x x =-++++
1234123
2 =2
2 5 =3..1
3 6=41,2,3,4,5,60
x x x x x x x x s t x x x x x x x x x +-+⎧⎪+++⎪
⎨-++⎪⎪≥⎩
因检验数σ2<0，故确定x 2为换入非基变量，以x 2的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量x 4作为换出的基变量。

因检验数σ3<0，故确定x 3为换入非基变量，以x 3的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量x 5作为换出的基变量。

因检验数σj >0，表明已求得最优解：*(0,8/3,1/3,0,0,11/3)X =，去除添加的松弛变量，原问题的
最优解为：*(0,8/3,1/3)X =。

（2）根据题意选取x 1，x 4，x 5，为基变量：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=≥=++=+-=+-+-=)
5,,2,1(052222..4min
5324323
213
2Λi x x x x x x x x x x t s x x z i
因检验数σ2<0最小，故确定x 2为换入非基变量，以x 2的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量x 4作为换出的基变量。

因检验数σ3<0最小，故确定x 3为换入非基变量，以x 1的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量x 5作为换出的基变量。

因检验数σj >0，表明已求得最优解：*(9,4,1,0,0)X =。

8、某地区有A 、B 、C 三个化肥厂，供应本地甲、乙、丙、丁四个产粮区。

已知各化肥厂可供应化肥的数量和各产粮区对化肥的需要量，以及各厂到各区每吨化肥的运价如表2-28所示。

试制定一个使总运费最少的化肥调拨方案。

表2- 1
解：设A 、B 、C 三个化肥厂为A 1、A 2、A 3，甲、乙、丙、丁四个产粮区为B 1、B 2、B 3、B 4；c ij 为由A i 运化肥至B j 的运价，单位是元/吨；x ij 为由A i 运往B j 的化肥数量（i=1,2,3;j=1,2,3,4）单位是吨；z 表示总运费，单位为元，依题意问题的数学模型为：
3
4
11min ij ij i j z c x ===∑∑
112131122232
13233314243411121314
2122232431323334663..3
787
x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎪⎪++=⎪
++=⎨⎪+++=⎪⎪+++=⎪
+++=⎩ 该题可以用单纯形法或matlab 自带工具箱命令（linprog ）求解。

*9、求解下列不平衡运输问题（各数据表中，方框内的数字为单位价格ij c ，框外右侧的一列数为各发点的供应量i a ，框底下一行数是各收点的需求量j b ）：
（1） 5 1 7 10 要求收点3的需求必须正好满足。

6 4 6 80 3 2 5 15
75 20 50
（2） 5 1 0 20 要求收点1的需求必须由发点4供应。

3 2 4 10
7 5 2 15 9 6 0 15
5 10 15 解答略。

练习题三
1、用0.618法求解问题
12)(min 30
+-=≥t t t t ϕ
的近似最优解，已知)(t ϕ的单谷区间为]3,0[，要求最后区间精度0.5ε=。

答：t=0.8115；最小值-0.0886.（调用golds.m 函数） 2、求无约束非线性规划问题
min ),,(321x x x f =12322
2124x x x x -++ 的最优解
解一：由极值存在的必要条件求出稳定点：
1122f x x ∂=-∂，228f x x ∂=∂，33
2f
x x ∂=∂，则由()0f x ∇=得11x =，20x =，30x = 再用充分条件进行检验：
22
12f x ∂=∂，2228f x ∂=∂，2232f x ∂=∂，212
0f
x x ∂=∂∂，2130f x x ∂=∂∂，2230f x x ∂=∂∂ 即2200080002f ⎛⎫
⎪
∇= ⎪ ⎪⎝⎭
为正定矩阵得极小点为T *(1,0,0)x =，最优值为-1。

解二：目标函数改写成
min ),,(321x x x f =222
12
3(1)41x x x -++- 易知最优解为（1,0,0），最优值为-1。

3、用最速下降法求解无约束非线性规划问题。

2
221212122)(m in x x x x x x X f +++-=
其中T x x X ),(21=，给定初始点T X )0,0(0=。

解一：目标函数()f x 的梯度112
122()()142()122()()f x x x x f x x x f x x ∂⎡⎤
⎢⎥∂++⎡⎤
⎢⎥∇==⎢⎥-++∂⎢⎥⎣⎦⎢⎥∂⎣⎦
(0)1()1f X ⎡⎤∇=⎢⎥-⎣⎦令搜索方向(1)(0)1()1d f X -⎡⎤
=-∇=⎢⎥⎣⎦再从(0)X 出发，沿(1)d 方向作一维寻优，令步长变
量为λ，最优步长为1λ，则有(0)
(1)
0101X
d
λλλλ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤
+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
故(0)(1)2221()()()2()2()2()f x f X d λλλλλλλλλϕλ=+=--+-+-+=-=
令'1()220ϕλλ=-=可得11λ= (1)(0)(1)1011011X X d λ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 求出(1)X 点之后，与上类似地，
进行第二次迭代：(1)
1()1f X -⎡⎤∇=⎢⎥-⎣⎦ 令(2)(1)
1()1d f X ⎡⎤=-∇=⎢⎥⎣⎦
令步长变量为λ，最优步长为2λ，则有
(1)(2)111111X d λλλλ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤
+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
+⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 故
(1)(2)2222()()(1)(1)2(1)2(1)(1)(1)521()
f x f X d λλλλλλλλλϕλ=+=--++-+-+++=--=令
'
2
()1020ϕλλ=-=可得 215λ= (2)(1)(2)
2110.8111 1.25X X d λ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ (2)0.2()0.2f X ⎡⎤
∇=⎢⎥-⎣⎦ 此时所达到的精度(2)()0.2828f X ∇≈ 本题最优解11.5X *-⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，()1,25f X *=-
练习题四
1、石油输送管道铺设最优方案的选择问题：考察网络图4-6，设A 为出发地，F 为目的地，B ，C ，D ，E 分别为四个必须建立油泵加压站的地区。

图中的线段表示管道可铺设的位置，线段旁的数字表示铺设这些管线所需的费用。

问如何铺设管道才能使总费用最小？
图4- 1
解：
第五阶段：E1—F 4；E2—F 3；
第四阶段：D1—E1 —F 7；D2—E2—F 5；D3—E1—F 5；
第三阶段：C1—D1—E1 —F 12；C2—D2—E2—F 10；C3—D2—E2—F 8；C4—D3—E1—F 9； 第二阶段：B1—C2—D2—E2—F 13； B2—C3—D2—E2—F 15； 第一阶段：A —B1—C2—D2—E2—F 17； 最优解：A —B1—C2—D2—E2—F 最优值：17
2、 用动态规划方法求解非线性规划
123
123123max ()27
,,0
f x x x x x x x x x x =++++=⎧⎨
≥⎩
解：1239,9,9x x x ===，最优值为9。

3、用动态规划方法求解非线性规划
22
112121212max 765..
21039,0z x x x s t x x x x x x ⎧=++⎪
+≤⎪⎨
-≤⎪
⎪≥⎩
解：用顺序算法
阶段：分成两个阶段，且阶段1 、2 分别对应12,x x 。

决策变量：12,x x
状态变量：,i i v w 分别为第j 阶段第一、第二约束条件可供分配的右段数值。

11
11
*22211111111100(,)max {76}min{76,76}x v x w f v w x x v v w w ≤≤≤≤=+=++
*111min{,}x v w =
22*2*22221222205
22222222222205
(,)max{5(2,3)}
max{5min{7(2)6(2),7(3)6(3)}}
x x f v w x f v x w x x v x v x w x w x ≤≤≤≤=+-+=+-+-+++
由于2210,9v w ==，2**222222222205
(,)(10,9)max{min{33292760,68396621}x f v w f x x x x ≤≤==-+++
可解的129.6,0.2x x ==，最优值为702.92。

4、设四个城市之间的公路网如图4-7。

两点连线旁的数字表示两地间的距离。

使用迭代法求各地到城市4的最短路线及相应的最短距离。

21
4
3
58
67
4
图4- 2 城市公路网
解：城市1到城市4路线——1-3-4 距离10；
城市2到城市4路线——2-4 距离8；城市3到城市4路线——3-4 距离4。

5、某公司打算在3个不同的地区设置4个销售点，根据市场部门估计，在不同地区设置不同数量的销售点每月可得到的利润如表4-19所示。

试问在各地区如何设置销售点可使每月总利润最大。

表4- 1
解：
将问题分为3个阶段，k =1，2，3；
决策变量x k 表示分配给第k 个地区的销售点数；
状态变量为s k 表示分配给第k 个至第3个地区的销售点总数； 状态转移方程：s k +1=s k －x k ，其中s 1=4；
允许决策集合：
D k （s k ）=｛x k |0≤x k ≤s k ｝
阶段指标函数：g k （x k ）表示x k 个销售点分配给第k 个地区所获得的利润；
最优指标函数f k （s k ）表示将数量为s k 的销售点分配给第k 个至第3个地区所得到的最大利润，动态规划基本方程为：
1044()max [()()] 3,2,1()0
k k
k k k k k k k x s f s g x f s x k f s +≤≤=+-=⎧⎪⎨
=⎪⎩ k =3时，33
3333()max[()]x s f s g x ==
1101
4 17
17
4
31616
321414
210
00
04
3210x 3*f 3(s 3) g 3（x 3）
k =2时，22
22223220()max [()()]x s f s g x f s x ≤≤=+-
00002,3
31
22+0
21+10 17+14 12+16 0+17 4
22721+017+1012+140+16312217+012+100+14211212+0
0+10
104
3
2
1x 2*f 2(s 2) g 2(x 2)+f 3(s 2－x 2)
k =1时，11
11112110()max[()()]x s f s g x f s x ≤≤=+-，111112104
()max[()(4)]x f s g x f x ≤≤=+-
最优解为：x 1*=2，x 2*=1，x 3*=1，f 1(4)=47，即在第1个地区设置2个销售点，第2个地区设置1个销售点，第3个地区设置1个销售点，每月可获利润47。

6、设某厂计划全年生产某种产品A 。

其四个季度的订货量分别为600公斤，700公斤，500公斤和1200公斤。

已知生产产品A 的生产费用与产品的平方成正比，系数为0.005。

厂内有仓库可存放产品，存储费为每公斤每季度1元。

求最佳的生产安排使年总成本最小。

解：四个季度为四个阶段，采用阶段编号与季度顺序一致。

设 s k 为第k 季初的库存量，则边界条件为 s 1=s 5=0
设 x k 为第k 季的生产量，设 y k 为第k 季的订货量；s k ，x k ，y k 都取实数，状态转移方程为 s k +1=s k +x k - y k 仍采用反向递推，但注意阶段编号是正向的目标函数为：
1234
4
21,,,1
()min
(0.005)i
i x x x x i f x x
s ==+∑
第一步：(第四季度) 总效果 f 4(s 4,x 4)=0.005 x 42+s 4
由边界条件有： s 5= s 4 + x 4 – y 4=0，解得：x 4*=1200 – s 4 将x 4*代入 f 4(s 4,x 4)得：
f 4*(s 4)=0.005(1200 – s 4)2+s 4=7200 –11 s 4+0.005 s 42 第二步：(第三、四季度) 总效果 f 3(s 3,x 3)=0.005 x 32+s 3+ f 4*(s 4) 将 s 4= s 3 + x 3 – 500 代入 f 3(s 3,x 3) 得：
2
33333332
3322
333333333333333332
3333
(,)0.005720011(500)
0.005(500)0.010.01160.0051513950
(,)
0.020.011608000.5,
(,)()755070.0025f s x x s x s x s x x s x s s f s x x s x x s f s x f s s s **=++-+-++-=+-+-+∂=+-=∂=-=-+解得
代入得
第三步：(第二、三、四季度) 总效果 f 2(s 2,x 2)=0.005 x 22+s 2+ f 3*(s 3)
将 s 3= s 2 + x 2 -700 代入 f 2(s 2,x 2) 得：
2
22222222
22222222222222
2222
(,)0.00575507(700)
0.0025(700)(,)
0.0150.005(700)70700(1,
(,)()100006(0.005f s x x s x s x s f s x x s x x s f s x f s s s **=++-+-++-∂=+--=∂=-=-+解得
代入得
第四步：(第一、二、三、四季度) 总效果 f 1(s 1,x 1)=0.005 x 12+s 1+ f 2*(s 2)
将 s 2= s 1 + x 1 – 600= x 1 – 600 代入 f 1(s 1,x 1) 得：
21111112
111111111112(,)0.005100006(600)
(0.0053)(600)(,)
(0.043)80600,
(,)()11800
f s x x s x x f s x x x x f s x f s **=++--+-∂=-=∂==解得
代入得
由此回溯：得最优生产–库存方案
x 1*=600，s 2*=0； x 2*=700，s 3*=0； x 3*=800，s 4*=300； x 4*=900。

7、某种机器可在高低两种不同的负荷下进行生产。

设机器在高负荷下生产的产量函数为g =8u 1，其中u 1为投入生产的机器数量，年完好率a =0.7；在低负荷下生产的产量函数为h =5y ，其中y 为投入生产的机器数量，年完好率为b =0.9。

假定开始生产时完好机器的数量s 1=1000。

试问每年如何安排机器在高、低负荷下的生产，使在5年内生产的产品总产量最高。

解：
构造这个问题的动态规划模型： 设阶段序数k 表示年度。

状态变量s k 为第k 年度初拥有的完好机器数量，同时也是第k−1年度末时的完好机器数量。

决策变量u k 为第k 年度中分配高负荷下生产的机器数量，于是s k −u k 为该年度中分配在低负荷下生产的机器数量。

这里s k 和u k 均取连续变量，它们的非整数值可以这样理解，如s k =0.6，就表示一台机器在k 年度中
正常工作时间只占6/10；u k =0.3，就表示一台机器在该年度只有3/10的时间能在高负荷下工作。

状态转移方程为：1()0.70.9(), 1,2,,5k k k k k k k s au b s u u s u k +=+-=+-=L k 段允许决策集合为：{}()0k k k k k D s u u s =≤≤ 设(,)k k k v s u 为第k 年度的产量，则85()k k k k v u s u =+- 故指标函数为：1
5
1,5(,)k k k k V v s u ==∑
令最优值函数f k (s k )表示由资源量s k 出发，从第k 年开始到第5年结束时所生产的产品的总产量最大值。

因而有逆推关系式：
[]{}661()
()0()max 85()0.70.9() 1,2,3,4,5
k k k k k k k k k k k k u D s f s f s u s u f u s u k +∈⎧=⎪⎪
=+-++-⎨⎪=⎪⎩ 从第5年度开始，向前逆推计算。

当k=5时，有：
[]{}
{}{}
555
55555655505555055505()max 85()0.70.9()max 85(5)max 35u s u s u s f s u s u f u s u u s u u s ≤≤≤≤≤≤=+-++-=+-=+
因f 5是u 5的线性单调增函数，故得最大解u 5*，相应的有：
555()8f s s =
当k=4时，有：
[]{}
[]{}{}{}
44444444
444445444044444404440440()max 85()0.70.9()max 85()80.70.9()max 13.612.2()max 1.412.2u s u s u s u s f s u s u f u s u u s u u s u u s u u s ≤≤≤≤≤≤≤≤=+-++-=+-++-=+-=+
故得最大解，u 4*=s 4，相应的有
444()13.6f s s =
依此类推，可求得
*33333*
2222*
1111
()17.50()20.80()23.7u s f s s u f s s u f s s ⎧==⎪==⎨⎪==⎩, 相应的 , 相应的 , 相应的 因s 1=1000，故：11()23700f s = 计算结果表明：最优策略为
*****123344550,0,,,u u u s u s u s =====
即前两年应把年初全部完好机器投入低负荷生产，后三年应把年初全部完好机器投入高负荷生产。

这样所得的产量最高，其最高产量为23700台。

在得到整个问题的最优指标函数值和最优策略后，还需反过来确定每年年初的状态，即从始端向终端递推计算出每年年初完好机器数。

已知s 1=1000台，于是可得：
**
21111**32222**43333**54444**655550.70.9()0.9900()0.70.2()0.9810()0.70.9()0.7567()0.70.9()0.7397()0.70.9()0.7278()
s u s u s s u s u s s u s u s s u s u s s u s u s =+-===+-===+-===+-===+-==台台台台台
8、有一辆最大货运量为10t 的卡车，用以装载3种货物，每种货物的单位重量及相应单位价值如表4-20所示。

应如何装载可使总价值最大？
表4- 2
解：123,,x x x 建模设三种物品各装件
123123max(456)345100,,1,2,3
j j x x x x x x x x I j ++++≤⎧⎨
≥∈=⎩
利用动态规划的逆序解法求此问题。

111111,(){|0}
s c D s x x s ==≤≤
21122222,(){|0}
s s x D s x x s =-=≤≤
32233333,(){|0}
s s x D s x x s =-=≤≤
状态转移方程为： 1(,),3,2,1k k k k k k s T s x s x k +==-=
该题是三阶段决策过程，故可假想存在第四个阶段，而40x =，于是动态规划的基本方程为：
11()
44()max [,()],3,2,1()0
k K k k k k k k x D s f s x f s k f s ++∈==⎧⎪⎨
=⎪⎩ 3,k =
{}333330,1,,[/5]
()max
6x s f s x ==L
2,k =
2
222222330,1,,[
]4
23220,1,,[
]4
()max [5()]
max [5(4)]
s x s x f s x f s x f s x ===
+=
+-L L
1,k =
11111220,1,2,3
12110,1,2,3
()max [4()]
max [4(3)]
x x f s x f s x f s x ===+=+-
计算最终结果为12
32,1,0x x x ***===，最大价值为13 。

9、设有 A ，B ，C 三部机器串联生产某种产品，由于工艺技术问题，产品常出现次品。

统计结果表明，机器 A ，B ，C 产生次品的概率分别为 p A =30%, P B =40%, P C =20%, 而产品必须经过三部机器顺序加工才能完成。

为了降低产品的次品率，决定拨款 5 万元进行技术改造，以便最大限度地提高产品的成品率指标。

现提出如下四种改进方案：
方案1：不拨款，机器保持原状；
方案2：加装监视设备，每部机器需款 1 万元； 方案3：加装设备，每部机器需款 2 万元；
方案4：同时加装监视及控制设备，每部机器需款 3 万元； 采用各方案后，各部机器的次品率如表4-21。

表4- 3
问如何配置拨款才能使串联系统的可靠性最大？
解：为三台机器分配改造拨款，设拨款顺序为A, B, C，阶段序号反向编号为k，即第一阶段计算给机器 C 拨款的效果。

设s k为第k阶段剩余款，则边界条件为s3=5；
设x k为第k阶段的拨款额；
状态转移方程为s k-1=s k-x k；
目标函数为max R=(1-P A)(1-P B)(1-P C)
仍采用反向递推
第一阶段：对机器C 拨款的效果
R1(s1,x1)=d1(s1,x1)⨯R0(s0,x0)= d1(s1,x1)
第二阶段：对机器B, C 拨款的效果
由于机器A 最多只需3 万元，故s2≥ 2
递推公式：
R2(s2,x2)=d2(s2,x2)⨯R1(s1,x1*)
例：R2(3,2)=d2(3,2)⨯R1(1,1)=(1-0.2) ⨯0.9=0.72
得第二阶段最优决策表
第三阶段：对机器A, B, C 拨款的效果
边界条件：s3 = 5
递推公式：
R3(s3,x3)=d3(s3,x3)⨯R2(s2,x2*)
例：R3(5,3)=d3(5,3)⨯R2(2,2)=(1-0.05) ⨯0.64=0.608 得第三阶段最优决策表
5 0.567 0.648 0.648 0.608 1,2 0.648
回溯 ：有多组最优解。

I ：x 3=1, x 2=3, x 1=1, R 3=0.8 ⨯0.9 ⨯0.9=0.648 II ：x 3=2, x 2=2, x 1=1, R 3= 0.9⨯0.8⨯0.9=0.648 III ： x 3=2, x 2=3, x 1=0, R 3= 0.9⨯0.9⨯0.8=0.648 练习题五
1、考察多目标规划问题
其中2122,21(),()1,121,2x x f x x f x x x x -+-≤≤⎧⎪
==<≤⎨
⎪->⎩，试画出个目标函数的图形，并求出12,,,,ab pa wp R R R R R ，这里i R 是24
min ()i x f x -≤≤的最优解集。

解：。