五一节平面向量的概念及其线性运算PPT课件

考点一 向量的有关概念
给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则 a＝b； ②若 A，B，C，D 是不共线的四点，则 AB＝ DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若 a＝b，b＝c，则 a＝c；
④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；
⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.
其中正确命题的序号是
A．②③
B．①②
C．③④
D．④⑤
()
[自主解答] ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一 定相同． ②正确．∵ AB＝ DC ，∴| AB|＝| DC |且 AB∥ DC ， 又 A，B，C，D 是不共线的四点，∴四边形 ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则 AB∥ DC 且| AB|＝| DC |， 因此 AB＝ DC . ③正确，∵a＝b，∴a，b 的长度相等且方向相同； 又 b＝c，∴b，c 的长度相等且方向相同， ∴a，c 的长度相等且方向相同，故 a＝c.
解：(1)不正确．因为向量是不同于数量的一种量，它由 两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较 大小，故(1)不正确． (2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能 判断方向． (3)正确．∵|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件 可得a＝b.
(4)不正确．由零向量性质可得0与任一向量平行，可知(4) 不正确． (5)正确．对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可 以任意平行移动的．
答案： A
4．化简( AB－CD)－( AC －BD)＝________.
解析：( AB－CD)－( AC －BD) ＝( AB＋ BD)－( AC ＋CD)＝ AD－ AD＝0.
答案：0
5．设向量 e1，e2 不共线， AB＝3(e1＋e2)，CB＝e2－e1，CD＝ 2e1＋e2，给出下列结论：①A、B、C 共线；②A、B、D 共 线；③B、C、D 共线；④A、C、D 共线，其中所有正确结 论的序号为________．
数乘
求实数λ 与向量a
(2)当λ＞0时，λa与a 的方向相同 ；当λ＜
λ(μ a)＝ (λ μ) a ；(λ＋ μ)a＝ λa＋μ a ；
的积的运 算
0时，λa与a的方
向
Байду номын сангаас相反
λ(a＋b)＝ ；当λ＝0时，
λa＋λb
.
λa＝ . 0
3．共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的 充要条件是存在唯一一个实数 λ，使得 b＝λ.a
单位 长度等于 1 个单位的向量． 向量
名称
定义
平行 方向相同或相反的 非零向量，平行向量又叫
向量 共线 向量．规定： 0 与任一向量 平行 ．
相等 长度 相等且方向 相同 的向量．
向量
相反 长度 相等 且方向 相反 的向量.
向量
2.向量的线性运算
向量 运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
求两个向 加法 量和的运
④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不 能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件， 而是必要不充分条件． ⑤不正确．考虑b＝0这种特殊情况． 综上所述，正确命题的序号是②③. [答案] A
判断下列命题是否正确，不正确的说明理由． (1)若向量a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞b； (2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反； (3)对于任意向量|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b； (4)由于零向量0方向不确定，故0不能与任意向量平行； (5)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量．
算
三角形法则
(1)交换律： a＋b＝ b＋a .
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝ a＋(b＋c) ． 平行四边形法则
向量运算 定义
法则(或几何 意义)
运算律
求a与b的相
减法
反向量－b的 a－b＝a＋(－b)
和的运算叫 三角形法则
做a与b的差
向量 定义
运算
法则(或几何意义)
运算律
(1)|λa|＝ |λ||a| .
解析：①④正确，②③⑤不正确．
答案：B
2．(2011·四川乐山模拟)若△ABC 满足|CB |＝| AB＋ AC |，则△
ABC 的形状必定为
()
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
解析：∵△ABC 满足|CB |＝| AB＋ AC |， ∴由矩形的对角线相等且互相平分可知，△ABC 形状必定为直角 三角形．
考点二
向量的线性运算
在△ABC中， AD＝23 AB，DE∥BC 交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N. 设 AB＝a， AC ＝b，用a、b表示向量 AE 、BC 、 DE 、 DN 、 AM 、 AN .
DE ∥ BC ，
[自主解答]
AD＝23
AB
1．给出下列命题： ①向量 AB与向量 BA的长度相等，方向相反； ② AB＋ BA＝0； ③a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反；
④两个相等向量的起点相同，则其终点必相同；
⑤ AB与CD是共线向量，则 A、B、C、D 四点共线．
其中不．正确的个数是 A．2
B．3
()
C．4
D．5
解析： AC ＝ AB－CB＝4e1＋2e2， BD＝CD－CB＝3e1，由向量 共线的充要条件 b＝λa(a≠0)可得 A、C、D 共线，而其他 λ 无解．
答案：④
1．向量的有关概念
名称
定义
即有 大小 又有 方向 的量叫做向量，向量的大小 向量
叫做向量的 长度 (或称 模 )． 长度为0 的向量叫做零向量，其方向是任意 的， 零向量 零向量记作 0 .
答案：B
3．设 D、E、F 分别是△ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点，且 DC
＝2BD， CE ＝2 EA，AF ＝2 FB，则向量 AD＋BE ＋CF 与
BC A．反向平行 C．互相垂直
B．同向平行 D．既不平行也不垂直
()
解析：由题意，得 DC ＝ DA＋ AC ，BD＝BA＋ AD.又 DC ＝2 BD， 所以 DA＋ AC ＝2(BA＋ AD)，所以 AD＝13 AC ＋23 AB. 同理，得 BE ＝13 BC ＋23BA，CF ＝13 CA＋23 CB. 将以上三式相加，得 AD＋ BE ＋CF ＝－13BC .