第五章 静电场(医用物理学)

（3）点电荷在封闭曲面之外
∫
S
v v E ⋅ dS = 0
v E2
q
v dS结论：在点电荷q 结论：在点电荷q的电场 通过包围q 中，通过包围q的闭合曲 面的电通量与闭合曲面的 形状无关， 形状无关，其值都等于 q/ε q/ε0
（4）由多个点电荷产生的电场
q1
q2
v Ev
dS
i =1
n
i
请思考： 请思考：1）哪些电荷对闭合曲面的
v 2）哪些电荷对闭合曲面的 E
Φe 有贡献 ？
有贡献 ？
讨论： 讨论：
1）高斯定理是库仑定律和场强迭加原理的综合 2）高斯定理揭示了场和场源之间的定量关系 3）高斯面上的电场强度为所有内外电荷的总电场强度 高斯面上的电场强度为所有内外电荷的总电场强度 所有 4）高斯面为假想的封闭曲面 5）仅高斯面内的电荷对高斯面的电场强度通量有贡献 仅高斯面内的电荷对高斯面的电场强度通量有贡献 通量 6）静电场是有源场 静电场是有源场
0
σ ε0
0
应用高斯定理求场强的步骤
对称性） （用高斯定理求解的静电场必须具有一定的对称性） 用高斯定理求解的静电场必须具有一定的对称性
对称性分析； 对称性分析； 根据对称性选择合适的高斯面； 根据对称性选择合适的高斯面； 应用高斯定理计算. 应用高斯定理计算.
例3 无限长均匀带电直线的电场强度 无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷， 无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即 处的电场强度. 电荷线密度为 λ，求距直线为 处的电场强度.
2.电势
Wa = ∫
∞
a
v v q0 E ⋅ dl
q0
v E
a
思考：哪个量与试探电荷无关？
v ∞ v ∞ Wa Ua = = ∫ E ⋅ dl = ∫ E cos θdl a a q0
Ua = ∫
∞
a
v v E ⋅ dl 表示了场强和电势的积分关系
电势差：电场中两点间电势之差称电势差或电压
U ab = U a − U b = ∫
q0
v E q 0
v E
v v F 1 Qv E= = r0 2 q0 4 πε 0 r
2. 点电荷系电场中的场强：
q1 q2 q3
v r1
v 合力 F =
v ∑ Fi
i
v r 2 v q0 r3
v F3 v F2
v F1
q0 处总强度
v v v F Fi E= = ∑ = ∑ Ei q0 i q0 i
三、电 势
1.电势能：电荷在静电场中具有电势能W，电场力做 功对应电势能的变化。
W a − W b = Aab =
∫
b a
v v q0 E ⋅ dl
令：Wb = W∞ = 0 v v ∞ 则：Wa = ∫ q0 E ⋅ dl
a
在电场中某点的电势能， 试验电荷 q0 在电场中某点的电势能，在数值上 就等于把它从该点移到零势能处静电场力所作的功. 就等于把它从该点移到零势能处静电场力所作的功.
S
λh ∫ EdS = ε 0 s ( 柱面）
z
λh 2 π rhE = ε0
+ +
v E
o
y
λ E= 2 π ε 0r
h
x
r
+ + +
§5.2
电势
一、静电场力所做的功 电势——描述静电场能的性质的物理量 二、电势 描述静电场能的性质的物理量 三、点电荷电场中的电势 四、电势叠加原理 五、等势面 六、电势与场强的微分关系
1. 电场(electric field)：带电体周围客观 电场(electric field)： 存在的特殊物质 2.电场两种重要性质：电场对放入其中的电荷 电场两种重要性质： 电场两种重要性质 具有力的作用；电场具有能量，即当电荷在电 力 ； 能量， 能量 场中移动时，电场对电荷要做功。 3. 静电场：相对于观察者静止的电荷所激发 静电场： 的电场叫做静电场。 。
qx E= 2 2 32 4π ε 0 ( x + R )
讨论 （1） x >> R
y dq = λdl
E≈
q
2
q R
o
r
θ
4π ε0 x
x
（点电荷电场强度） 点电荷电场强度） （2 ）
z
P x v E
x ≈ 0 , E0 ≈ 0
电场线(electric 五、 电场线(electric field line)
v E
v dS
θ
v E
Φe =
∫s
v v E ⋅ dS
七、
高斯定理
1. 条件：真空中的静电场。 2. 推导：
（1）点电荷位于球面中心 ）
r
结论：通过包围点电 荷q的同心球面的电通 量等于q/ε0
v dS
+
（2）点电荷位于任意闭合曲面 内 ）点电荷位于任意闭合曲面s内
结论：通过包围点电荷q的任意闭合曲面s的电通量都 等于q/ε0 。
v v E = ∫ dE
y dq = λdl
q R
o
r
q (λ = ) 2π R
x
P
x
z
v 1 λdl v dE = r 2 0 4 πε0 r
y
q ) dq = λdl (λ = 2π R
q R
o
r
x
θ
P
θ
x
z
v v E = ∫ dE
v 1 λdl v dE = r 2 0 4 πε0 r
λdl x ⋅ E = ∫ dE x = ∫ dE cosθ = ∫ 2 4πε 0r r l l 2π R xλ dl qx =∫ = 3 2 2 32 0 4 π ε 0r 4π ε0 (x + R )
r
s2
v v ∫ E ⋅ dS = 0
S
+ + +
+
S1 +
→= E 0
+ + +
O R
r ++
+
+
（2） r > R ）
S
v v Q ∫ E ⋅ dS =
ε0 Q E= 2 4π r E =
Q 2 4π ε0R
E
Q 4π ε 0r
2
ε0
o
R
r
例2 无限大均匀带电平面的电场强度 无限大均匀带电平面，单位面积上的电荷， 无限大均匀带电平面，单位面积上的电荷，即电 处的电场强度. 荷面密度为 ，求距平面为 处的电场强度. 解：对称性分析：E垂直平面 对称性分析： 选取闭合的柱形高斯面
∞
a
v v v ∞v v b v E ⋅ dl − ∫ E ⋅ dl = ∫ E ⋅ dl
b a
U ab = ∫
σ
r
v v σS ' E ⋅ dS = ∫
S
σ S＇ E 2 S＇ = ε0 E = σ 2ε 0
ε0
v E
v S＇
S＇
v E v
S＇
σ E = 2ε 0
+σ
E
O
(σ > 0)
−σ
v E
v v E E
v E
讨论
+σ
σ ε0
+σ
σ ε0
0
+σ
无 限 大 带 电 平 面
的 电 场 叠 加 问 题
−σ
1 令 k= 为真空电容率） （ ε 0 为真空电容率） 4π ε 0 1 ε0 = = 8 .8542 × 10 −12 C 2 ⋅ N −1 ⋅ m − 2 4π k = 8 .8542 × 10 −12 F ⋅ m −1
r F =
q1 q 2 r 1 r0 2 4πε 0 r
三、 电场的概念
点电荷的电场线
正 点 电 荷 负 点 电 荷
+
一对等量异号点电荷的电场线
+
一对等量正点电荷的电场线
+
+
带电平行板电容器的电场线 + + + + + + + + + + + +
v 1、均匀电场 ， 垂直平面 、 E Φe = ES v 2、均匀电场 ， 与平面夹角 、 θ E Φ e = ES cos θ r r Φe = E ⋅ S
Aaa = ∫
b
a ( L1 )
v v a q0 E ⋅ dl + ∫
b ( L2 )
v v v v q0 E ⋅ dl = q0 E ⋅ dl = 0 ∫
L
v v ∴ ∫ E ⋅ dl = 0
L
静电场中场强沿任意闭合 路经的线积分总等于零。 路经的线积分总等于零。
思考： 电场线为什麽不构成闭合曲线？ 思考： 电场线为什麽不构成闭合曲线？
电通量(electric 六、 电通量(electric flux) 通过电场中某一个面的电场线数叫做通过这个面 的电通量. 的电通量.
S
v E
θ
S
θ
v en
v E
3、非均匀电场强度电通量 、
v v dS = dS ⋅ en
v v dΦe = E ⋅ dS
Φe = ∫ d Φe =
v en
∫s E cos θ d S
四、电场强度（场强） 电场强度（场强）
场源电荷 试验电荷
+Q + q0
+ Q + q0
v F
（试验电荷要求足够小） 试验电荷要求足够小）