双曲线知识点总结例题

（二）双曲线知识点及巩固复习
1.双曲线的定义
如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线
若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支
F1，F2为两定点，P为一动点，(1)若||PF1|-|PF2||=2a
①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是
②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是
③2a=0则动点P的轨迹是
(2)若|PF1|-|PF2|=2a
①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是
②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是
③2a=0则动点P的轨迹是
2.双曲线的标准方程
3.双曲线的性质
（1）焦点在x轴上的双曲线
标准方程
x,y的范围
顶点焦点对称轴对称中心
实半轴的长虚半轴的长焦距
离心率e=范围e越大双曲线的开口越e越小双曲线的开口越
准线渐近线焦半径公式|PF1|=|PF2|=(F1，F2分别为双曲线的左右两焦点，P为椭圆上的一点)
焦点在y轴上的双曲线
标准方程
x,y的范围
顶点焦点对称轴对称中心
实半轴的长虚半轴的长焦距
离心率e=范围e越大双曲线的开口越e越小双曲线的开口越
准线渐近线焦半径公式|PF1|=|PF2|=(F1，F2分别为双曲线的下上两焦点，P为椭圆上的一点)
1.等轴双曲线：特点①实轴与虚轴长相等②渐近线互相垂直③离心率为
2.共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线
特点①有共同的渐近线②四焦点共圆
双曲线的共轭双曲线是
6.双曲线系
（1）共焦点的双曲线的方程为(0<k<c2,c为半焦距)
（2）共渐近线的双曲线的方程为
例题
在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清是指整条双曲线，还是双曲线的哪一支
考点1、双曲线定义
例1、已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程
【例2】若椭圆与双曲线有相同的焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是（）
A. B. C. D.
【例3】已知双曲线与点M（5，3），F为右焦点，若双曲线上有一点P，使最小，则P点的坐标为
考点2、求双曲线的方程
求双曲线标准方程的方法
1．定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a、b、c即可求得方程．
2．待定系数法
(2)待定系数法求双曲线方程的常用方法
①与双曲线－＝1有共同渐近线的双曲线方程可表示为－＝t(t≠0)；
②若双曲线的渐近线方程是y＝±x，则双曲线的方程可表示为－＝t(t≠0)；③与双曲线－＝1共焦点的方程可表示为－＝1(－b2＜k＜a2)；
④过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为＋＝1(mn＜0)；
⑤与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有共同焦点的双曲线方程可表示为＋＝1(b2＜λ＜a2)．
例4、求下列条件下的双曲线的标准方程．
(1)与双曲线－＝1有共同的渐近线，且过点(－3，2)；
(2)与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)．
1.在双曲线的标准方程中，若x2的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2的系数是正的，那么焦点在y轴上，且对于双曲线，a不一定大于b.
2．若不能确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，可设双曲线方程为：mx2＋ny2＝1(mn＜0)，以避免分类讨论．
考点3、双曲线的几何性质
双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切，解题时要深刻理解确定双曲线的形状、大小的几个主要特征量，如a、b、c、e的几何意义及它们的相互关系，充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程
例5、(12分)双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，x轴上有一点Q(2a,0)，若C上存在一点P，使·＝0，求此双曲线离心率的取值范围．
例6、【活学活用】3.(2012北京期末检测)若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点分别为F1、F2，P为双曲线上一点，且|PF1|＝3|PF2|，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．
【例7】直线过双曲线的右焦点，斜率k=2.若与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e 的范围是（）
A.e>
B.1<e<
C.1<e<
D.e>
【例8】设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若
，则的面积为（）A．B． C.D．
【评注】解题中发现△PF1F2是直角三角形，是事前
不曾想到的吧？可是，这一美妙的结果不是每个考生都能
临场发现的.
将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维
能力，这正是命题人的高明之处.
渐近线——双曲线与直线相约天涯
对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有.双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开.
双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中.
【例9】过点（1，3）且渐近线为的双曲线方程是
【评注】在双曲线中，令即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为，而无须考虑其实、虚轴的位置.
共轭双曲线——虚、实易位的孪生弟兄
将双曲线的实、虚轴互易，所得双曲线方程为：.这两个双曲线就是互相共轭的双曲线.它们有相同的焦距而焦点的位置不同；它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用.
【例10】两共轭双曲线的离心率分别为，证明：=1.
设而不求——与借舟弃舟同理
减少解析几何计算量的有效方法之一便是设而不求.请看下例：
【例11】双曲线的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为（）
A. B. C. D.
“设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它.
但是，“设而不求”的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子.请看：
【例12】在双曲线上，是否存在被点M（1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.
如果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法：
练习
1．(2011安徽高考)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是()
A．2B．2C．4D．4
2．(2011山东高考)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
3.(2012嘉兴测试)如图，P是双曲线－y2＝1右支(在第一象限内)上的任意一点，A1，A2分别是左、右顶点，O是坐标原点，直线P A1，PO，P A2的斜率分别为k1，k2，k3，则斜率之积k1k2k3的取值范围是()
A．(0,1)B．(0，)C．(0，)D．(0，)
4．(金榜预测)在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－5,0)和C(5,0)，顶点B在双曲线－＝1上，则为()
A.B.C.D.
5．P为双曲线－＝1的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为()
A．6B．7C．8D．9
6．(2012南宁模拟)已知点F1，F2分别是双曲线的两个焦点，P为该曲线上一点，若△PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为()
A.＋1
B.＋1C．2D．2
7．方程＋＝1表示双曲线．那么m的取值范围是________．
8．(2012大连测试)在双曲线4x2－y2＝1的两条渐近线上分别取点A和B，使得|OA|·|OB|＝15，其中O为双曲线的中心，则AB中点的轨迹方程是________．
9．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率是2，则的最小值是________．
10(2012肇庆模拟)已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1(－3,0)，一条渐近线的方程是x－2y＝0.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若以k(k≠0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围．
11．(文用)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，－1)，求实数m的取值范围．
12已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，离心率e=的双曲线过点P(6，6)(1)求双曲线方程(2)动直线l经过△A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问是否存在直线l,使G平分线段MN，证明你的结论
13．已知双曲线,问过点A（1，1）能否作直线,使与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ 的中点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。

14已知点N（1，2），过点N的直线交双曲线于A、B两点，且（1）求直线AB的方程；（2）若过N的直线l交双曲线于C、D两点，且，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？
（二）双曲线知识点及巩固复习
1.双曲线的定义
如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线
若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支
F 1，F
2
为两定点，P为一动点，(1)若||PF
1
|-|PF
2
||=2a
①0<2a<|F
1F
2
|则动点P的轨迹是
②2a=|F
1F
2
|则动点P的轨迹是
③2a=0则动点P的轨迹是
(2)若|PF
1|-|PF
2
|=2a
①0<2a<|F
1F
2
|则动点P的轨迹是
②2a=|F
1F
2
|则动点P的轨迹是
③2a=0则动点P的轨迹是
2.双曲线的标准方程
3.双曲线的性质
（1）焦点在x轴上的双曲线
标准方程
x,y的范围
顶点焦点对称轴对称中心
实半轴的长虚半轴的长焦距
离心率e=范围e越大双曲线的开口越e越小双曲线的开口越
准线渐近线焦半径公式|PF
1|=|PF
2
|=(F
1
，F
2
分别为双曲线的左右两焦点，P为椭圆上的一
点)
焦点在y轴上的双曲线
标准方程
x,y的范围
顶点焦点对称轴对称中心
实半轴的长虚半轴的长焦距
离心率e=范围e越大双曲线的开口越e越小双曲线的开口越
准线渐近线焦半径公式|PF
1|=|PF
2
|=(F
1
，F
2
分别为双曲线的下上两焦点，P为椭圆上的一点)
3.等轴双曲线：特点①实轴与虚轴长相等②渐近线互相垂直③离心率为
4.共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线
特点①有共同的渐近线②四焦点共圆
双曲线的共轭双曲线是
6.双曲线系
（3）共焦点的双曲线的方程为(0<k<c2,c为半焦距)
共渐近线的双曲线的方程为
考点1。

双曲线的定义及应用
在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清是指整条双曲线，还是双曲线的哪一支
考点1、双曲线定义
例1、已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M 的轨迹方程
【自主解答】设动圆M的半径为r，则由已知
|MC1|＝r＋，|MC2|＝r－，
∴|MC1|－|MC2|＝2.
又C1(－4,0)，C2(4,0)，∴|C1C2|＝8，∴2＜|C1C2|.
根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(－4,0)、C2(4,0)为焦点的双曲线的右支．∵a＝，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14，∴点M的轨迹方程是：－＝1(x≥)．
【例1】若椭圆与双曲线有相同的焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是（）
A. B. C. D.
【解析】椭圆的长半轴为
双曲线的实半轴为
，故选A.
【评注】严格区分椭圆与双曲线的第一定义，是破解本题的关键.
【例2】已知双曲线与点M（5，3），F为右焦点，若双曲线上有一点P，使最小，则P点的坐标为
【分析】待求式中的是什么？是双曲线离心率的
倒数.由此可知，解本题须用双曲线的第二定义.
【解析】双曲线的右焦点F（6，0），离心率
右准线为.作于N，交双曲线右支于P，
连FP，则.此时
为最小.
在中，令，得取.所求P点的坐标为.
考点2、求双曲线的方程
求双曲线标准方程的方法
1．定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a、b、c即可求得方程．
2．待定系数法
(2)待定系数法求双曲线方程的常用方法
①与双曲线－＝1有共同渐近线的双曲线方程可表示为－＝t(t≠0)；
②若双曲线的渐近线方程是y＝±x，则双曲线的方程可表示为－＝t(t≠0)；③与双曲线－＝1共焦点的方程可表示为－＝1(－b2＜k＜a2)；
④过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为＋＝1(mn＜0)；
⑤与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有共同焦点的双曲线方程可表示为＋＝1(b2＜λ＜a2)．
例2、求下列条件下的双曲线的标准方程．
(1)与双曲线－＝1有共同的渐近线，且过点(－3，2)；
(2)与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)．
【自主解答】(1)解法一：经检验知双曲线焦点在x轴上，故设双曲线的方程为－＝1，由题意，得解得a2＝，b2＝4，
所以双曲线的方程为－＝1.
(2)解法一：设双曲线方程为－＝1，由题意易求c＝2，又双曲线过点(3，2)，∴－＝1.又∵a2＋b2＝(2)2，∴a2＝12，b2＝8.－＝1.
解法二：设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，将点(－3,2)代入得λ＝.
所以双曲线方程为－＝，即－＝1.
解法二：设双曲线方程为－＝1，且16－k＞0,4＋k＞0.
将点(3，2)代入得k＝4，且满足上面的不等式，所以双曲线方程为－＝1.
1.在双曲线的标准方程中，若x2的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2的系数是正的，那么焦点在y轴上，且对于双曲线，a不一定大于b.
2．若不能确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，可设双曲线方程为：mx2＋ny2＝1(mn＜0)，以避免分类讨论．
考点3、双曲线的几何性质
双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切，解题时要深刻理解确定双曲线的形状、大小的几个主要特征量，如a、b、c、e的几何意义及它们的相互关系，充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程
例3、(12分)双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，x轴上有一点Q(2a,0)，若C上存在一点P，使·＝0，求此双曲线离心率的取值范围．
【规范解答】设P点坐标为(x，y)，
则由·＝0，得AP⊥PQ，
即P点在以AQ为直径的圆上，
∴(x－)2＋y2＝()2.①又P点在双曲线上，得－＝1.②
(a2＋b2)x2－3a3x＋2a4－a2b2＝0.
即[(a2＋b2)x－(2a3－ab2)](x－a)＝0.6分
当x＝a时，P与A重合，不符合题意，舍去当x＝时，满足题意的P点存在，需x＝＞a，化简得a2＞2b2，即3a2＞2c2，＜.10分∴离心率e＝∈(1，).12分
例4、【活学活用】3.(2012北京期末检测)若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点分别为F1、F2，P为双曲线上一点，且|PF1|＝3|PF2|，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．解析：依题意得，
由此解得|PF2|＝a≥c－a，即c≤2a，e＝≤2，
即该双曲线的离心率不超过2.
又双曲线的离心率大于1，
因此该双曲线的离心率e的取值范围是(1,2]．
【例5】直线过双曲线的右焦点，斜率k=2.若与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e 的范围是（）
A.e>
B.1<e<
C.1<e<
D.e>
【分析】就题论题的去解这道题，确实难以下手，那就
考虑转换吧.其一，直线和双曲线的两支都有交点不好掌握，
但是和两条渐近线都有交点却很好掌握.其二，因为已知直线
的斜率为2，所以双曲线的两条渐近线中，倾斜角为钝角的
渐近线肯定与之相交，只须考虑倾斜角为锐角的渐近线也与
之相交.故有如下妙解.
【解析】如图设直线的倾斜角为α，双曲线渐近线
的倾斜角为β.显然。

当β＞α时直线与双曲线的两
个交点分别在左右两支上.由
.
∵双曲线中，故取e>.选D.
【例6】设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（）
A．B． C.D．
【解析】双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是：.设；
于是
，
故知△PF1F2是直角三角形，∠F1PF2=90°.
∴.选B.
【评注】解题中发现△PF1F2是直角三角形，是事前
不曾想到的吧？可是，这一美妙的结果不是每个考生都能
临场发现的.
将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维
能力，这正是命题人的高明之处.
渐近线——双曲线与直线相约天涯
对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有.双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开.
双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中.
【例7】过点（1，3）且渐近线为的双曲线方程是
【解析】设所求双曲线为
点（1，3）代入：.代入（1）：
即为所求.
【评注】在双曲线中，令即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为，而无须考虑其实、虚轴的位置.
共轭双曲线——虚、实易位的孪生弟兄
将双曲线的实、虚轴互易，所得双曲线方程为：.这两个双曲线就是互相共轭的双曲线.它们有相同的焦距而焦点的位置不同；它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用.
【例8】两共轭双曲线的离心率分别为，证明：=1.
【证明】双曲线的离心率；
双曲线的离心率.
∴.
考点5、直线与双曲线位置关系
设而不求——与借舟弃舟同理
减少解析几何计算量的有效方法之一便是设而不求.请看下例：
【例9】双曲线的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为（）
A. B. C. D.
【解析】设弦的两端分别为.则有：
.
∵弦中点为（2，1），∴.故直线的斜率.
则所求直线方程为：，故选C.
“设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它.
但是，“设而不求”的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子.请看：
【例10】在双曲线上，是否存在被点M（1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.
如果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法：
【错解】假定存在符合条件的弦AB，其两端分别为：A（x1，y1），B（x2，y2）.那么：
.
∵M（1，1）为弦AB的中点，
∴
故存在符合条件的直线AB，其方程为：.
这个结论对不对呢？我们只须注意如下两点就够了：
其一：将点M（1，1）代入方程，发现左式=1-＜1，故点M（1，1）在双曲线的外部；其二：所求直线
AB的斜率，而双曲线的渐近线为.这里，说明所求直线不可能与双曲线相交，当然所得结论也是荒唐的.
问题出在解题过程中忽视了直线与双曲线有公共点的条件.
【正解】在上述解法的基础上应当加以验证.由
这里，故方程（2）无实根，也就是所求直线不合条件.
此外，上述解法还疏忽了一点：只有当时才可能求出k=2.若.说明这时直线与双曲线只
有一个公共点，仍不符合题设条件.
结论；不存在符合题设条件的直线.
练习
1．(2011安徽高考)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是()
A．2B．2
C．4D．4
解析：2x2－y2＝8化为标准形式：－＝1，∴a2＝4.∴a＝2.∴实轴长2a＝4.
2．(2011山东高考)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
解析：由题意得，－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线方程为y＝±x，
即bx±ay＝0，又圆C的标准方程为：(x－3)2＋y2＝4，半径为2，圆心坐标为(3,0)．
∴a2＋b2＝32＝9，且＝2，解得a2＝5，b2＝4.∴该双曲线的方程为－＝1.
3.(2012嘉兴测试)如图，P是双曲线－y2＝1右支(在第一象限内)上的任意一点，A1，
A2分别是左、右顶点，O是坐标原点，直线P A1，PO，P A2的斜率分别为k1，k2，k3，则
斜率之积k1k2k3的取值范围是()
A．(0,1)B．(0，)C．(0，)D．(0，)
解析：设P(x，y)，则∈(0，)，且x2－4＝4y2(x＞0，y＞0)，∴k1k2k3＝＝∈(0，)．
4．(金榜预测)在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－5,0)和C(5,0)，顶点B在双曲线－＝1上，则为()
A.B.C.D.
解析：由题意得a＝4，b＝3，c＝5.A、C为双曲线的焦点，∴||BC|－|BA||＝8，|AC|＝10.
由正弦定理得＝＝＝.
5．P为双曲线－＝1的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为()
A．6B．7C．8D．9
解析：易知两圆圆心为F1(－5,0)，F2(5,0)．由双曲线方程知a＝3，b＝4，则c ＝5，故两圆心恰好为双曲线的两个焦点．
|PM|－|PN|的最大值为如图所示的情况，
即|PM|－|PN|≤|PF1|＋|F1M|－(|PF2|－|NF2|)＝|PF1|＋2－|PF2|＋1＝2a＋3＝2×3＋3＝9.
6．(2012南宁模拟)已知点F1，F2分别是双曲线的两个焦点，P为该曲线上一点，若△PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为()
A.＋1
B.＋1
C．2D．2
解析：不妨设P点在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2a.
∵△PF1F2是等腰直角三角形，
∴只能是∠PF2F1＝90°，∴|PF2|＝|F1F2|＝2c，
∴|PF1|＝2a＋|PF2|＝2a＋2c，∴(2a＋2c)2＝2·(2c)2，
即c2－2ac－a2＝0，两边同除以a2，得e2－2e－1＝0.∵e＞1，∴e＝＋1.
7．方程＋＝1表示双曲线．那么m的取值范围是________．
解析：注意分两种情况．一是实轴在x轴上，二是实轴在y轴上．依题意有或得m＞3或－3＜m＜2.
8．(2012大连测试)在双曲线4x2－y2＝1的两条渐近线上分别取点A和B，使得|OA|·|OB|＝15，其中O为双曲线的中心，则AB中点的轨迹方程是________．
解析：双曲线4x2－y2＝1的两条渐近线方程为2x±y＝0，设A(m,2m)，B(n，－2n)，AB中点M(x，y)，则即所以4x2－y2＝4mn.
由|OA|·|OB|＝×＝|m|×|n|＝15，得|mn|＝3，
所以AB中点的轨迹方程是4x2－y2＝±12，即－＝±1.
9．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率是2，则的最小值是________．
解析：＝2⇒＝4⇒a2＋b2＝4a2⇒3a2＝b2，则＝＝a＋≥2＝，
当a＝，即a＝时取最小值.
10(2012肇庆模拟)已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1(－3,0)，一条渐近线的方程是x－2y＝0.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若以k(k≠0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围．
解：(1)设双曲线C的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，由题设得5解得
所以双曲线C的方程为：
(2)设直线l的方程为：－＝1.y＝kx＋m(k≠0)，
则点M(x1，y1)，N(x2，y2)的坐标满足方程组得－＝1，
整理得(5－4k2)x2－8kmx－4m2－20＝0.此方程有两个不等实根，于是5－4k2≠0，
且Δ＝(－8km)2＋4(5－4k2)(4m2＋20)＞0，整理得m2＋5－4k2＞0.③
由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标(x0，y0)满足x0＝＝，y0＝kx0＋m＝，从而线段MN的垂直平分线的方程为y－＝－(x－)．
此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为
(，0)，(0，)，由题设可得||·||＝，
整理得m2＝，k≠0.将上式代入③式得＋5－4k2＞0，
整理得(4k2－5)(4k2－|k|－5)＞0，k≠0，解得0＜|k|＜或|k|＞.
所以k的取值范围是(－∞，－)∪(－，0)∪(0，)∪(，＋∞)．
10．(文用)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，－1)，求实数m的取值范围．
解：(1)设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．由已知得a＝，c＝2.
又a2＋b2＝c2，得b2＝1.故双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)联立整理得，(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0.
∵直线与双曲线有两个不同的交点，∴
可得m2＞3k2－1且k2≠.①设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为B(x0，y0)，
则x1＋x2＝，x0＝＝，y0＝kx0＋m＝.
由题意，AB⊥MN，∵k AB＝＝－(k≠0，m≠0)．
整理得3k2＝4m＋1.②将②代入①，得m2－4m＞0，∴m＜0或m＞4.
又3k2＝4m＋1＞0(k≠0)，即m＞－.∴m的取值范围是(－，0)∪(4，＋∞)．
11已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，离心率e=的双曲线过点P(6，6)(1)求双曲线方程(2)动直线l经过△A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问是否存在直线l,使G平分线段MN，证明你的结论
解(1)如图，设双曲线方程为=1由已知得,解得a2=9,b2=12所
以所求双曲线方程为=1
(2)P、A1、A2的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(－3，0），∴其重心G的坐标为(2，2）
假设存在直线l，使G(2，2)平分线段MN，设M(x1,y1)，N(x2,y2)则有
，∴k l=∴l的方程为
y=(x－2)+2,由,消去y,整理得x2－4x+28=0∵Δ=16－4×28＜0,∴所求直线l不存在
12．已知双曲线,问过点A（1，1）能否作直线,使与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。

错解设符合题意的直线存在，并设、
则（1）得因为A（1，1）为线段PQ的中点，所以将(4)、(5)代入（3）得
若，则直线的斜率所以符合题设条件的直线存在。

其方程为剖析在（3）式成立的前提下，由(4)、（5）两式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)两式，故应对所求直线进行检验，上述错解没有做到这一点，故是错误的。

应在上述解题的基础上，再由
得根据,说明所求直线不存在。

13已知点N（1，2），过点N的直线交双曲线于A、B两点，且（1）求直线AB的方程；（2）若过N的直线l交双曲线于C、D两点，且，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？
解：（1）设直线AB：代入得（＊）
令A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是方程的两根∴且
∵∴N是AB的中点∴
∴k=1∴AB方程为：y=x+1
（2）将k=1代入方程（＊）得或由得，∴，∵∴CD垂直平分AB∴CD所在直线方程为
即代入双曲线方程整理得令，及CD中点则
，，∴，
|CD|=，，即A、B、C、D到M距离相等∴A、B、C、D四点共圆
世上没有一件工作不辛苦，没有一处人事不复杂。

不要随意发脾气，谁都不欠你的。