五年级奥数计数之整体法教师版
【精编】小学五年级奥数完整教案2021
资五年级奥数完整教案奥数第一讲巧算小朋友，你为不为在日常生活与解答数学问题时，经常要进行计算？在数学课里我们学习了一些简便计算地方法，但如果善于观察、勤于思考，计算中还能找到更多地巧妙地计算方法哦，不仅使你能算得好、算得快，还可以让你变得聪明与机敏。
一、计算：9.996＋9.98＋69.9＋999.5解：算式中地加法看来无法用数学课中学过地简算方法计算，但为，这几个数每个数只要增加一点，就成为某个整十、整百或整千数，把这几个数“凑整”以后，就容易计算了。
当然要记住，“凑整”时增加了多少要减回去。
9.996＋9.98＋69.9＋999.5=0＋0＋70＋4000－（0.004＋0.0＋0.＋0.5）=40－0.64精=409.76品学习二、计算：＋0.99－0.98－0.97＋0.96＋0.95－0.94－0.9＋⋯＋0.04＋0.0－0.0料－0.0，名解：式子地数为从开始，依次减少0.0，直到最后一个数为0.0，因此，式师归中共有纳总00 个数而式子中地运算都为两个数相加接着减两个数，再加两个数，再减两个结数⋯⋯这样地顺序排列地。
由于数地排列、运算地排列都很有规律，按照规律可以考虑每 4 个数为一组添上括号，每组数地运算结果为否也有一定地规律？可以看到把每组数中第个数减第个数，第个数减第 4 个数，各得0.0，合起来为0.04，那么，每组数（即每个括号）运算地结果都为0.04，整个算式00 个数正好分成 5 组，它地结果就为 5 个0.04 地与。
＋0.99－0.98－0.97＋0.96＋0.95－0.94－0.9＋⋯＋0.04＋0.0－0.0—0.0=（＋0.99－0.98－0.97）＋（0.96＋0.95－0.94－0.9）＋⋯＋（0.04＋0.0－0.0－0.0）=0.04 ×5=如果能够灵活地运用数地交换地规律，也可以按下面地方法分组添上括号计算：＋0.99－0.98－0.97＋0.96＋0.95－0.94－0.9＋⋯＋0.04＋0.0－0.0－0.0 =＋（0.99－0.98－0.97＋0.96）＋（0.95－0.94－0.9＋0.9）＋⋯＋（0.0－0.0－0.0）=三、计算：0.＋0.＋0.＋⋯＋0.8＋0.9＋0.0＋0.＋0.＋⋯＋0.9＋0.0解：这个算式地数地排列像一个等差数列，但仔细观察，它实际上由两个等差数列组成，0.1 ＋0.＋0.＋⋯＋0.8＋0.9 为第一个等差数列，后面每一个数都比前一个数多精0.，而0.0＋0.＋0.＋⋯＋0.9＋0.0 为第二个等差数列，后面每一个数都品学比前一个数多0.0，所以，应分为两段按等差数列求与地方法来计算。
五年级奥数计数之对应法教师版
7-6-3计数之对应法五年级奥数计数之对应法教师 版将难以计数的数量与某种可计量的事物联系是来，只要能建立一一对应的关系，那么这两 种事物在数量上是相同的.事实上插入法和插板法都是对应法的一种表现形式. 模块一、图形中的对应关系 【例1］在8x8的方格棋盘中，取出一个由三个小方格组成的形（如图），一共有多少种 不同的方法？ 【解析】注意：数“不规则几何图形'函个数时，常用对应法.第1步：找对应图形 每一种取法，有一个点与之对应，这就是图中的A 点，它是棋盘上 横线与竖线的交点，且不在棋盘边上.第2步：明确对应关系 从下图可以看出，棋盘内的每一个点对应着4个不同的取 法 W 形的计在2x2正方形的不同“角"上）.第3步：计算对应图形个数 由于在8x8的棋盘上,内部有7x7=49 （个）交叉点， 第4步：按照对应关系，给出答案故不同的取法共有49x4=196 （种）・评注:通过上面两个范例我们知道，当直接去求一个集合元素的个数较为困难的时候, 可考虑釆用相等的原则,把问題转化成求另一个集合的元素个数.【答案】196【例2】 在8x8的黑白相间染色的国际象棋棋盘中，以网格线为边的、恰包含两个白色小方格与一个黑色小方格的长方形共有多少个？【考点】计数之图形中的对应关系 【难度】3星 【题型】解答mm【考点】计数之图形中的对应关系 【难度】3星 【题型】解答■'二斗■【解析】首先可以知道题中所讲的1x3长方形中间的那个小主格为黑色，这是因为两个白格不相邻，所以不能在中间.显然，位于棋盘角上的黒色方格不可能被包含在这样的长方形中.下面分两种情况来分析：第一种情况，一个位于棋盘内部的黒邑方格对应着两个这样的1x3长方形（一横一竖）：第二种情况，位于边上的黒色方格只能对应一个1x3长方形.由于在棋盘上的32个黒色方格中，位于棋盘内部的18个，位于边上的有12个,位于角上的有2个，所以共有18x2 + 12 = 48个这样的长方形.本题也可以这样来考虑：事实上，每一行都有6个1x3长方形，所以棋盘上横、竖共有1x3长方形6x8x2 = 96个.由于棋盘上的染邑具有对称性，因此包含两个白色小方格与一个黒邑小方格的长方形正好与包含两个黑色小方格与一个白色小方格的长方形具有——对应关系,这说明它们各占一半，因此所求的长方形个数为96-2 = 48个. 【答案】48【巩固】用一张如图所示的纸片盖住6x6方格表中的四个小方格，共有多少种不同的放置方法？【考点】计数之图形中的对应关系【难度】3星【题型】解答【解析】如图,將纸片中的一个特殊方格染为黑邑，下面考虑此格在6x6方格表中的位置.易见它不能位于四个角上：若黑格位于方格表中间如图浅色阴影所示的4x4正方形内的某格时,纸片有4种不同的放法，共计4x4x4 = 64种：若黑格位于方格表边上如图深邑阴影所示的方格中吋，纸片的位置随之确定,即只有1种放法，此类放法有4x4 = 16种・所以，纸片共有64 + 16 = 80种不同的放置方法. 【答案】80种【例3】图中可数出的三角形的个数为_______ ・【考点】计数之图形中的对应关系【难度】4星【题型】填空【解析】这个图不像我们以前数三角形那样规则，粗看似乎看不出其中的规律,不妨我们取出其中的一个三角形发现它的三条边必然落在这个图形中的三条大线段上而每三条大线段也正好能构成一个三角形•因此三角形的个数和三条大线段的取法是一一对应的关系•图中一共有8条大线段,因此有C：=56个三角形.【答案】56个三角形【例4］如图所示,在直线AB 上有7个点，直线CD 上有9个点.以AB 上的点为一个端点.CD 上的点为另一个端点的所有线段中，任意3条线段都不相交于同一个点■求所有这些线段在M 与CD 之间的交点数.【考点】计数之图形中的对应关系 【难度】4星 【题型】解答【解析】常规的思路是这样的：直线加上的7个点，毎个点可以与直线CD 上的9个点连9 根线段，然后再分析这些线段相交的情况.如右图所示,如果注意到下面这个事实： 对于直线加上的任意两点M 、N 与直线CD 上的任意两点P. Q 都可以构成一个 四边形MN0P.而这个四边形的两条对角线M0、NP 的交点恰好是我们要计数的 点，同时，对于任意四点（AB 与CD 上任意两点）都可以产生一个这样的交点，所以图 中两条线段的交点与四边形有一一对应的关系.这说明•为了计数出有多少个交点, 我们只需要求出在直线与CD 中有多少个满足条件的四边形MNQP 就可以了！ 从而把问题转化为：在直线上有7个点，直线CQ 上有9个点.四边形MNQP 有 多少个？其中点M 、N 位于直线初上，点P 、0位于直线CQ 上.这是一个常规 的组合计数问题,可以用乘法原理进行计算：由于线段MN 有Cf =21种选择方式, 线段P0有C ： =36种选择方式,根据乘法原理•共可产生21x36 = 756个四边形.因此在直线与CD 之间共有756个交点.【答案】756个交点模块二、数字问题中的对应关系【例5】 有多少个四位数，满足个位上的数字比千位数字大，千位数字比百位大，百位数字比十位数字大？【考点】计数之数字问题中的对应关系 【难厦】4星 【題型】解答【解析】由于四位数的四个数位上的数的大小关系已经非常明确，而对于从0〜9中任意选取 的4个数字，它们的大小关系也是明确的，那么由这4个数字只能组成1个符合条件 的四位数（題目中要求千位比百位大，所以千位不能为0.本身已符合四位数的首位不 能为0的要求，所以进行选择时可以把0包含在内），也就是说满足条件的四位数的个 数与从0〜9中选取4个数字的选法是一一对应的关系，那么满足条件的四位数有【巩固】三位数中，百位数比十位数大，十位数比个位数大的数有多少个？【考点】计数之数字问题中的对应关系 【难度】4星 【題型】解答【解析】相当于在10个数字中选出3个数字，然后按从大到小排列•共有10x9x84- （3x2x1） = 120种.实际上，前铺中每一种划法都对应着一个数.【答案】120种【例6】 数3可以用4种方法表示为一个或几个正整数的和，如3,1 + 2,2 + 1,1 + 1 + 1.问：1999表示为一个或几个正整数的和的方法有多少种？【考点】计数之数字问题中的对应关系 【难度】4星 【題型】解答【解析】我们将1999个1写成一行,它们之间留有1998个空隙，在这些空隙处,或者什么都不 填，或者填上号.例如对于数3,上述4种和的表达方法对应：1 1 1J+1 1,11 +1,1 +1 +1・可见，将1999表示成和的形式与填写1998个空隙处的方式之间是一一对应的关系, 而每一【答案】c io = 10x9x8x7 4x3x2xl= 210 个. 210个个空隙处都有填号和不填号2种可能，因此1999可以表示为正整数之和的不同方法有2x2x...x2 = 21998种.• 丿1998个2相乘【答案】2吹种【例7】请问至少出现一个数码3,并且是3的倍数的五位数共有多少个？【考点】计数之数字问题中的对应关系【难度】4星【題型】解答【关键词】小学数学竞赛【解析】五位数共有90000个，其中3的倍数有30000个.可以釆用排除法，首先考虑有多少个五位数是3的倍数但不含有数码3•首位数码有8种选择，第二、三、四位数码都有9种选择.当前四位的数码确定后，如果它们的和除以余数为0、則第五位数码可以为0、6、9：如果余数为1,则第五位数码可以为2、5、8:如果余数为2,則第五位数码可以为1、4. 7•可见只要前四位数码确定了，第五位数码都有3种选择，所以五位数中是3的倍数但不含有数码3的数共有8x9x9x9x3 = 17496个.所以满足条件的五位数共有30000-17496 = 12504个.【答案】12504个模块三、对应与阶梯型标数法【例8】游乐园的门票1元1张，每人限购1张.现在有10个小朋友排队购票，其中5个小朋友只有1元的钞票，另外5个小朋友只有2元的钞票•售票员没有准备零钱•问有多少种排队方法,使售票员总能找得开零钱？【考点】计数之对应与阶梯型标数法【难度】5星【题型】解答【解析】与类似題目找对应关系•要保证傳票员总能找得开零钱，必须保证每一位拿2元钱的小朋友前面的若干小朋友中，拿1元的要比拿2元的人数多,先将拿1元钱的小朋友看成是相同的，将拿2元钱的小朋友看成是相同的，可以利用斜直角三角模型.在下图中寿条小横线段代表1元钱的小朋友，每条小竖线段代表2元钱的小朋友，因为从A点沿格线走到3点，毎次只能向右或向上走，无论到途中哪一点，只要不超过斜线，那么经过的小横线段都不少于小竖线段，所以本題相当于求下图中从A到B有多少种不同走法・使用标数法，可求出从A到3有4 2种走法.但是由于10个小朋友互不相同，必须将他们排队,可以分成两步，第一步排拿2元的小朋友,5个人共有5! = 120种排法：第二步排举到1元的小朋友，也有120种排法, 所以共有5!x5! = 144（）0种排队方法.这样，使傳票员能找得开零钱的排队方法共有42x14400 =604800 （种）・【答案］604800种【例9】学学和思思一起洗5个互不相同的碗（顺序固定），思思洗好的碗一个一个往上摞，学学再从最上面一个一个地拿走放入碗柜摞成一摞，思思一边洗,学学一边拿，那么学学摞好的碗一共有___________ 种不同的摞法.【考点】计数之对应与阶梯型标数法【难度】5星【题型】解答【关犍词】学而思杯,5年级，第7题【解析】方法一：如下所示•共有42种不同的扌累法：5-4一3-2-1,4一5-3-2-1,3-5-4一2-1,5-3-4一2-1,3-4一5-2-1, 5-4一2-3-1,4一5-2-3-1,2-5-4一3-1,5-2-4一3-1,2-4一5-3-1, 5-2-3-4一1 ・2-5-3-4一1,2-3-5-4一1,2-3-4一5-1,5-4一3-1一2, 4一5-3-1一2.5-3-4一1一2,3-5-4一1一2,3-4一5-1一2,5-4一1一3-2, 4一5-1一3-2・1一5-4一3-2,5-1一4一3-2,1-4一5-3-2,5-1一3-4一2, 1一5-3-4一2.1-3-5-4一2,1-3-4一5-2,5-4一1一2-3,4-5-1一2-3, 1一5-4一2-3,5-1一4一2-3,1-4一5-2-3,1-2-5-4一3,5-1一2-4一3, 1一5-2-4一3,1-2-4一5-3,1-2-3-5-4,1一2-5-3-4,1一5-2-3-4, 5 —1 — 2—3—4, 1 — 2—3 —4—5。
五年级奥数.计数综合.计数方法与技巧(ABC级).教师版
（1） 归纳法：从条件值较小的数开始，找出其中规律，或找出其中的递推数量关系，归纳出一般情况下的数量关系．（2） 整体法：解决计数问题时，有时要“化整为零”，使问题变得简单；有时反而要从整体上来考虑，从全局、从整体来研究问题，反而有利于发现其中的数量关系．（3） 对应法：将难以计数的数量与某种可计量的事物联系起来，只要能建立一一对应的关系，那么这两种事物在数量上是相同的．事实上插入法和插板法都是对应法的一种表现形式．（4） 递推法：对于某些难以发现其一般情形的计数问题，可以找出其相邻数之间的递归关系，有了这一递归关系就可以利用前面的数求出后面未知的数，这种方法称为递推法．【例 1】 一条直线分一个平面为两部分．两条直线最多分这个平面为四部分．问5条直线最多分这个平面为多少部分?【考点】计数之归纳法【难度】3星【题型】解答【解析】 方法一：我们可以在纸上试着画出1条直线，2条直线，3条直线，……时的情形，于是得到下表：由上表已知5条直线最多可将这个平面分成16个部分，并且不难知晓，当有n 条直线时，最多可将平面分成2+2+3+4+…+n =()12n n ++1个部分．方法二：如果已有k 条直线，再增加一条直线，这条直线与前k 条直线的交点至多k 个，因而至多被分成k +1段，每一段将原有的部分分成两个部分，所以至多增加k +1个部分．于是3条直线至多将平面分为4+3=7个部分，4条直线至多将平面分为7+4=11个部分，5条直线至多将平面分例题精讲知识结构计数方法与技巧为11+5=16个部分．一般的有k条直线最多将平面分成：1+1+2+…+k=()12k k++1个部分，所以五条直线可以分平面为16个部分．【答案】16【巩固】平面上5条直线最多能把圆的内部分成几部分？平面上100条直线最多能把圆的内部分成几部分？【考点】计数之归纳法【难度】4星【题型】解答【解析】假设用a k表示k条直线最多能把圆的内部分成的部分数，这里k＝0，1，2，……a0＝1a1=a0+1＝2a2=a1＋2=4a3=a2＋3=7a4=a3+4＝11……故5条直线可以把圆分成16部分，100条直线可以把圆分成5051部分【答案】5051部分【例 2】平面上10个两两相交的圆最多能将平面分割成多少个区域？【考点】计数之归纳法【难度】4星【题型】解答【解析】先考虑最简单的情形．为了叙述方便，设平面上k个圆最多能将平面分割成ka个部分．从图中可以看出，12a =，24221a ==+⨯，38422a ==+⨯，414823a ==+⨯，…… 可以发现k a 满足下列关系式：()121k k a a k -=+-．实际上，当平面上的(1k -)个圆把平面分成1k a -个区域时，如果再在平面上出现第k 个圆，为了保证划分平面的区域尽可能多，新添的第k 个圆不能通过平面上前()1k -个圆之间的交点．这样，第k 个圆与前面()1k -个圆共产生2(1)k ⨯-个交点，如下图：这2(1)k ⨯-个交点把第k 个圆分成了2(1)k ⨯-段圆弧，而这2(1)k ⨯-段圆弧中的每一段都将所在的区域一分为二，所以也就是整个平面的区域数增加了2(1)k ⨯-个部分．所以，()121k k a a k -=+-．那么，10987292829272829a a a a =+⨯=+⨯+⨯=+⨯+⨯+⨯=12122...272829a =+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯()2212...78992=+⨯+++++=．故10个圆最多能将平面分成92部分．【答案】92【巩固】 10个三角形最多将平面分成几个部分？【考点】计数之归纳法【难度】4星【题型】解答【解析】 设n 个三角形最多将平面分成n a 个部分．1n =时，12a =；1413121110987654321876521344312212n =时，第二个三角形的每一条边与第一个三角形最多有2个交点，三条边与第一个三角形最多有236⨯=（个）交点．这6个交点将第二个三角形的周边分成了6段，这6段中的每一段都将原来的每一个部分分成2个部分，从而平面也增加了6个部分，即2223a =+⨯．3n =时，第三个三角形与前面两个三角形最多有4312⨯=（个）交点，从而平面也增加了12个部分，即：322343a =+⨯+⨯． ……一般地，第n 个三角形与前面()1n -个三角形最多有()213n -⨯个交点，从而平面也增加()213n -⨯个部分，故()()222343213224213332n a n n n n ⎡⎤=+⨯+⨯++-⨯=++++-⨯=-+⎣⎦；特别地，当10n =时，2103103102272a =⨯+⨯+=，即10个三角形最多把平面分成272个部分．【答案】272【例 3】 一个长方形把平面分成两部分，那么3个长方形最多把平面分成多少部分？【考点】计数之归纳法【难度】4星【题型】解答【解析】 一个长方形把平面分成两部分．第二个长方形的每一条边至多把第一个长方形的内部分成2部分，这样第一个长方形的内部至多被第二个长方形分成五部分．同理，第二个长方形的内部至少被第一个长方形分成五部分．这两个长方形有公共部分(如下图，标有数字9的部分)．还有一个区域位于两个长方形外面，所以两个长方形至多把平面分成10部分．第三个长方形的每一条边至多与前两个长方形中的每一个的两条边相交，故第一条边被隔成五条小线段，其中间的三条小线段中的每一条线段都把前两个长方形内部的某一部分一分为二，所以至多增加3×4=12个部分．而第三个长方形的4个顶点都在前两个长方形的外面，至多能增加4个部分．所以三个长方形最多能将平面分成10+12+4=26．【小结】n 个图形最多可把平面分成部分数：直线：()112n n ⨯++；圆：()21n n +⨯-； 三角形：()231n n +⨯⨯- ； 长方形：()241n n +⨯⨯-．【答案】26【巩固】 在平面上画5个圆和1条直线，最多可把平面分成多少部分?【考点】计数之归纳法【难度】5星【题型】解答【解析】 先考虑圆．1个圆将平面分成2个部分．这时增加1个圆，这个圆与原有的1个圆最多有两个交点，成为2条弧，每条弧将平面的一部分一分为二，增加了2个部分，所以2个圆最多将平面分成4个部分．当有3个圆时，第3个圆与原有的2个产生4个交点而增加4个部分，所以3个圆最多将平面分成8个部分．同样的道理，5个圆最多将平面分成22个部分．再考虑直线．直线与每个圆最多有2个交点，这样与5个圆最多有10个交点．它们将直线分成11条线段或射线，而每条线段又将平面的一部分一分为二，2条射线增加了一部分，因此5个圆和1条直线最多可将平面分成32个部分．【答案】32【例4】一个正方形的内部有1996个点，以正方形的4个顶点和内部的1996个点为顶点，将它剪成一些三角形．问：一共可以剪成多少个三角形?如果沿上述这些点中某两点之间所连的线段剪开算作一刀，那么共需剪多少刀?【考点】计数之整体法【难度】4星【题型】解答【解析】方法一：归纳法，如下图，采用归纳法，列出1个点、2个点、3个点…时可剪出的三角形个数，需剪的刀数．不难看出，当正方形内部有n个点时，可以剪成2n＋2个三角形，需剪3n+l刀，现在内部有1996个点，所以可以剪成2×1996+2=3994个三角形，需剪3×1996+1=5989刀．方法二：整体法．我们知道内部一个点贡献360度角，原正方形的四个顶点共贡献了360度角，所以当内部有n个点时，共有360n+360度角，而每个三角形的内角和为180度角，所以可剪成(360n+360)÷180=2n+2个三角形．2n+2个三角形共有3×(2n+2)=6n+6条边，但是其中有4条是原有的正方形的边，所以正方形内部的三角形边有6n+6—4=6n+2条边，又知道每条边被2个三角形共用，即每2条边是重合的，所以只用剪(6n+2)÷2＝3n+1刀．本题中n=1996，所以可剪成3994个三角形，需剪5989刀．【答案】可剪成3994个三角形，需剪5989刀【巩固】在三角形ABC内有100个点，以三角形的顶点和这100点为顶点，可把三角形剖分成多少个小三角形？【考点】计数之整体法【难度】4星【题型】解答【解析】整体法．100个点每个点周围有360度，三角形本身内角和为180度，所以可以分成()⨯+÷=个小三角形．360100180180201【答案】201个小三角形【例 5】在8×8的黑白相间染色的国际象棋棋盘中，以网格线为边的、恰包含两个白色小方格与一个黑色小方格的长方形共有多少个？【考点】计数之图形中的对应关系【难度】3星【题型】解答【解析】首先可以知道题中所讲的13⨯长方形中间的那个小主格为黑色，这是因为两个白格不相邻，所以不能在中间．显然，位于棋盘角上的黑色方格不可能被包含在这样的长方形中．下面分两种情况来分析：第一种情况，一个位于棋盘内部的黑色方格对应着两个这样的13⨯长方形(一横一竖)；第二种情况，位于边上的黑色方格只能对应一个13⨯长方形．由于在棋盘上的32个黑色方格中，位于棋盘内部的18个，位于边上的有12个，位于角上的有2个，所以共有1821248⨯+=个这样的长方形．本题也可以这样来考虑：事实上，每一行都有6个13⨯长方形，所以棋盘上横、竖共有13⨯⨯=个．由于棋盘上的染色具有对称性，因此包含两个白色小方格与一⨯长方形68296个黑色小方格的长方形正好与包含两个黑色小方格与一个白色小方格的长方形具有一一对应关系，这说明它们各占一半，因此所求的长方形个数为96248÷=个．【答案】48【巩固】用一张如图所示的纸片盖住66⨯方格表中的四个小方格，共有多少种不同的放置方法？【考点】计数之图形中的对应关系【难度】3星【题型】解答【解析】【解析】如图，将纸片中的一个特殊方格染为黑色，下面考虑此格在66⨯方格表中的位置．易见它不能位于四个角上；若黑格位于方格表中间如图浅色阴影所示的44⨯正方形内的某格时，纸片有4种不同的放法，共计44464⨯⨯=种；若黑格位于方格表边上如图深色阴影所示的方格中时，纸片的位置随之确定，即只有1种放法，此类放法有4416⨯=种．所以，纸片共有641680+=种不同的放置方法．【答案】80种【例 6】有多少个四位数，满足个位上的数字比千位数字大，千位数字比百位大，百位数字比十位数字大？【考点】计数之数字问题中的对应关系【难度】4星【题型】解答【解析】由于四位数的四个数位上的数的大小关系已经非常明确，而对于从0～9中任意选取的4个数字，它们的大小关系也是明确的，那么由这4个数字只能组成1个符合条件的四位数(题目中要求千位比百位大，所以千位不能为0，本身已符合四位数的首位不能为0的要求，所以进行选择时可以把0包含在内)，也就是说满足条件的四位数的个数与从0～9中选取4个数字的选法是一一对应的关系，那么满足条件的四位数有41010987210 4321C⨯⨯⨯==⨯⨯⨯个．【答案】210个【巩固】三位数中，百位数比十位数大，十位数比个位数大的数有多少个？【考点】计数之数字问题中的对应关系【难度】4星【题型】解答【解析】相当于在10个数字中选出3个数字，然后按从大到小排列.共有10×9×8÷（3×2×1）=120种．实际上，前铺中每一种划法都对应着一个数．【答案】120种【例 7】学学和思思一起洗5个互不相同的碗（顺序固定），思思洗好的碗一个一个往上摞，学学再从最上面一个一个地拿走放入碗柜摞成一摞，思思一边洗，学学一边拿，那么学学摞好的碗一共有种不同的摞法．【考点】计数之对应与阶梯型标数法【难度】5星【题型】解答【关键词】2008年，第一届，学而思杯，5年级，第7题【解析】方法一：如下所示，共有42种不同的摞法：----，34521----，53421----，----，3542154321----，45321----，24531----，52431----，----，2543154231----，45231----，54312----，----，23451----，23541----，2534152341----，54132----，34512----，----，3541245312----，53412----，51342----，14532----，----，5143245132----，15432----，45123----，----，54123----，13452----，1354215342----，12543----，----，51243----，14523----，5142315423----，15234----，12534----，----，1235415243----，12453----，12345----。
小学数学 计数之整体法.教师版
前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法，比如枚举法、树形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等，这里再集中学习一下计数中其他常见的方法，主要有归纳法、整体法、对应法、递推法．对这些计数方法与技巧要做到灵活运用．解决计数问题时，有时要“化整为零”，使问题变得简单；有时反而要从整体上来考虑，从全局、从整体来研究问题，反而有利于发现其中的数量关系．【例 1】 一个正方形的内部有1996个点，以正方形的4个顶点和内部的1996个点为顶点，将它剪成一些三角形．问：一共可以剪成多少个三角形?如果沿上述这些点中某两点之间所连的线段剪开算作一刀，那么共需剪多少刀?【考点】计数之整体法 【难度】4星 【题型】解答【解析】 方法一：归纳法，如下图，采用归纳法，列出1个点、2个点、3个点…时可剪出的三角形个数，需剪的刀数．不难看出，当正方形内部有n 个点时，可以剪成2n ＋2个三角形，需剪3n +l 刀，现在内部有1996个点，所以可以剪成2×1996+2=3994个三角形，需剪3×1996+1=5989刀．方法二：整体法．我们知道内部一个点贡献360度角，原正方形的四个顶点共贡献了360度角，所以当内部有n 个点时，共有360n +360度角，而每个三角形的内角和为180度角，所以可剪成(360n +360)÷180=2n +2个三角形．2n +2个三角形共有3×(2n +2)=6n +6条边，但是其中有4条是原有的正方形的边，所以正方形内部的三角形边有6n +6—4=6n +2条边，又知道每条边被2个三角形共用，即每2条边是重合的，所以只用剪(6n +2)÷2＝3n +1刀．本题中n =1996，所以可剪成3994个三角形，需剪5989刀．【答案】可剪成3994个三角形，需剪5989刀【巩固】在三角形ABC 内有100个点，以三角形的顶点和这100点为顶点，可把三角形剖分成多少个小三角形？【考点】计数之整体法 【难度】4星 【题型】解答【解析】 整体法．100个点每个点周围有360度，三角形本身内角和为180度，所以可以分成()360100180180201⨯+÷=个小三角形．【答案】201个小三角形【例 2】 在一个六边形纸片内有60个点，以这60个点和六变形的6个顶点为顶点的三角形，最多能剪出例题精讲教学目标7-6-2计数之整体法_______个．【考点】计数之整体法 【难度】4星 【题型】填空【解析】 设正六边形内有n 个点，当1n =时有6个三角形，每增加一个点，就增加2个三角形，n 个点最多能剪出()()62122n n ++=+个三角形． 60n =时，可剪出124个三角形．注：设最多能剪出x 个小三角形，则这些小三角形的内角和为180x ︒．换一个角度看，汇聚到正六边形六个顶点处各角之和为4180⨯︒，故这些小三角形的内角总和为603604180⨯︒+⨯︒．于是180603604180x ︒=⨯︒+⨯︒，解得124x =．【答案】124个。
人教版五年级下册奥数专讲：速算与巧算教案
-学生可以尝试解决一些实际生活中的数学问题，如购物时的优惠计算、旅行路线的优化等，运用所学的速算与巧算知识和技巧，提高自己的生活智慧。
-学生可以阅读一些数学相关的书籍，如《数学的力量》、《数学的故事》等，深入了解数学的发展历程和应用领域，培养自己的数学素养和思维方式。
3.实践法：让学生通过实际的计算题目，运用所学的知识和技巧，提高学生的实际操作能力和应用能力。
教学手段：
1.多媒体设备：利用多媒体课件和视频，生动形象的展示速算与巧算的过程和方法，吸引学生的注意力，提高学习兴趣。
2.教学软件：运用教学软件，进行互动式的教学，让学生在软件上进行实际操作，及时反馈和纠正学生的错误，提高教学效果。
-数学故事：分享一些与速算与巧算相关的数学故事，让学生了解速算与巧算在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
-数学电影：推荐一些与数学相关的电影，如《数学家的故事》、《美丽心灵》等，让学生了解数学家的成就和思维方式，激发学生对数学的热爱。
2.拓展建议
-学生可以利用网络资源，如数学教育网站、数学论坛等，查找更多的速算与巧算资源和技巧，与他人分享和交流学习心得和方法。
-解答疑问：针对学生在学习中产生的疑问，进行及时解答和指导。
学生活动：
-听讲并思考：认真听讲，积极思考老师提出的问题。
-参与课堂活动：积极参与小组讨论、角色扮演、实验等活动，体验速算与巧算知识的应用。
-提问与讨论：针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与讨论。
教学方法/手段/资源：
-讲授法：通过详细讲解，帮助学生理解速算与巧算知识点。
（3）在实际计算中，学生容易出现的错误，如漏算、误算等问题，如何避免这些问题，提高计算的准确性。
小学思维数学讲义：计数之整体法-带详解
计数之整体法前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法，比如枚举法、树形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等，这里再集中学习一下计数中其他常见的方法，主要有归纳法、整体法、对应法、递推法．对这些计数方法与技巧要做到灵活运用．解决计数问题时，有时要“化整为零”，使问题变得简单；有时反而要从整体上来考虑，从全局、从整体来研究问题，反而有利于发现其中的数量关系．【例 1】 一个正方形的内部有1996个点，以正方形的4个顶点和内部的1996个点为顶点，将它剪成一些三角形．问：一共可以剪成多少个三角形?如果沿上述这些点中某两点之间所连的线段剪开算作一刀，那么共需剪多少刀?【考点】计数之整体法 【难度】4星 【题型】解答【解析】 方法一：归纳法，如下图，采用归纳法，列出1个点、2个点、3个点…时可剪出的三角形个数，需剪的刀数．不难看出，当正方形内部有n 个点时，可以剪成2n ＋2个三角形，需剪3n +l 刀，现在内部有1996个点，所以可以剪成2×1996+2=3994个三角形，需剪3×1996+1=5989刀．方法二：整体法．我们知道内部一个点贡献360度角，原正方形的四个顶点共贡献了360度角，所以当内部有n 个点时，共有360n +360度角，而每个三角形的内角和为180度角，所以可剪成(360n +360)÷180=2n +2个三角形．2n +2个三角形共有3×(2n +2)=6n +6条边，但是其中有4条是原有的正方形的边，所以正方形内部的三角形边有6n +6—4=6n +2条边，又知道每条边被2个三角形共用，即每2条边是重合的，所以只用剪(6n +2)÷2＝3n +1刀．本题中n =1996，所以可剪成3994个三角形，需剪5989刀．【答案】可剪成3994个三角形，需剪5989刀【巩固】在三角形ABC 内有100个点，以三角形的顶点和这100点为顶点，可把三角形剖分成多少个小三角形？【考点】计数之整体法 【难度】4星 【题型】解答【解析】 整体法．100个点每个点周围有360度，三角形本身内角和为180度，所以可以分成()360100180180201⨯+÷=个小三角形．【答案】201个小三角形【例 2】 在一个六边形纸片内有60个点，以这60个点和六变形的6个顶点为顶点的三角形，最多能剪出_______个．【考点】计数之整体法 【难度】4星 【题型】填空例题精讲教学目标【解析】 设正六边形内有n 个点，当1n =时有6个三角形，每增加一个点，就增加2个三角形，n 个点最多能剪出()()62122n n ++=+个三角形． 60n =时，可剪出124个三角形．注：设最多能剪出x 个小三角形，则这些小三角形的内角和为180x ︒．换一个角度看，汇聚到正六边形六个顶点处各角之和为4180⨯︒，故这些小三角形的内角总和为603604180⨯︒+⨯︒．于是180603604180x ︒=⨯︒+⨯︒，解得124x =．【答案】124个。
五年级奥数.计数综合.排列组合.教师版
一、 排列问题在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．一般地，从n 个不同的元素中取出()个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．排列的基本问题是计算排列的总个数．从个不同的元素中取出()个元素的所有排列的个数，叫做从个不同的元素的排列中取出个元素的排列数，我们把它记做．根据排列的定义，做一个元素的排列由个步骤完成：步骤：从个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有种方法； 步骤：从剩下的()个元素中任取一个元素排在第二位，有()种方法； ……步骤：从剩下的个元素中任取一个元素排在第个位置，有(种)方法；由乘法原理，从个不同元素中取出个元素的排列数是，即，这里，，且等号右边从开始，后面每个因数比前一个因数小，共有个因数相乘．二、 排列数一般地，对于的情况，排列数公式变为．表示从个不同元素中取个元素排成一列所构成排列的排列数．这种个排列全部取出的排列，叫做个不同元素的全排列．式子右边是从开始，后面每一个因数比前一个因数小，一直乘到的乘积，记为，读做的阶乘，则还可以写为：，其中．在排列问题中，有时候会要求某些物体或元素必须相邻；求某些物体必须相邻的方法数量，可以将这些物体当作一个整体捆绑在一起进行计算．三、 组合问题日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分知识结构排列组合一般地，从个不同元素中取出个()元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．从个不同元素中取出个元素()的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个不同元素的组合数．记作．一般地，求从个不同元素中取出的个元素的排列数可分成以下两步：第一步：从个不同元素中取出个元素组成一组，共有种方法；第二步：将每一个组合中的个元素进行全排列，共有种排法．根据乘法原理，得到．因此，组合数．这个公式就是组合数公式．四、组合数的重要性质一般地，组合数有下面的重要性质：()这个公式的直观意义是：表示从个元素中取出个元素组成一组的所有分组方法．表示从个元素中取出()个元素组成一组的所有分组方法．显然，从个元素中选出个元素的分组方法恰是从个元素中选个元素剩下的()个元素的分组方法．例如，从人中选人开会的方法和从人中选出人不去开会的方法是一样多的，即．规定，．五、插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数，使用插板法一般有三个要求：①所要分解的物体一般是相同的：②所要分解的物体必须全部分完：③参与分物体的组至少都分到1个物体，不能有没分到物体的组出现．在有些题目中，已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符，对此应当对已知条件进行适当的变形，使得它与一般的要求相符，再适用插板法．六、使用插板法一般有如下三种类型：⑴个人分个东西，要求每个人至少有一个．这个时候我们只需要把所有的东西排成一排，在其中的个空隙中放上个插板，所以分法的数目为．⑵个人分个东西，要求每个人至少有个．这个时候，我们先发给每个人个，还剩下个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以了．所以分法的数目为．⑶个人分个东西，允许有人没有分到．这个时候，我们不妨先借来个东西，每个人多发1个，这样就和类型⑴一样了，不过这时候物品总数变成了个，因此分法的数目为．一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法【解析】：（1）43（2）34（3）34【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有种不同方案.【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）A、38 B、83 C、38AD、38C【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的结果。
小学奥数计数07_五中02_几何计数ok
几何计数知识概述合理使用各种已学的方法来解决几何计数问题；学会利用图形的位置和形状进行恰当的分类；掌握方格表中长方形个数的计算方法；注意利用图形的对称性来简化计算．兴趣篇1.如图2-1，线段AB，BC，CD，DE的长度都是3厘米．请问：图中一共有多少条线段？这些线段的长度之和是多少厘米？3厘米3厘米3厘米3厘米A B C D E图2-12.小明把巧克力棒摆成了如图2-2所示的形状，其中每一条小短边代表一个巧克力棒．请问：（1）一共有多少个巧克力棒？（2）这些巧克力棒共构成了多少个三角形？（3）嘴馋的小明吃掉一个巧克力棒后（图中两端带有箭头的小边），剩下的图形中还有多少个三角形？图2-23.如图2-3，它是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形，其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形．图中包含“*”的各种大小的正三角形一共有多少个？*图2-34.如图2-4和2-5，数一数，两个图形中分别有多少个三角形？5. 如图2-6，在一个44 的方格表中，共有多少个正方形？6. 如图2-7，数一数图中一共有多少条线段？多少个矩形？7. 如图2-8，AB ，CD ，EF ，MN 互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少？8. 如图2-9，125个黑色与白色小立方体相间排列拼成了一个大立方体，其中露在表面上的黑色小立方体有多少个？图2-9 O图2-8B MAEF CDN 图2-7图2-6图2-4图2-59. 如图2-10，木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵．用橡皮筋一共可以套出多少个不同的三角形？10. 如图2-11，在23 的长方形中，每个小正方形的面积都是1．请问：以A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 为顶点且面积为1的三角形共有多少个？拓展篇1. 如图2-12，数一数，图中有多少个三角形？2. 如图2-13，数一数下面的三个图形中分别有多少个三角形．3. 如图2-14，数一数，图中有多少个三角形？ 图2-13图2-12图2-11图2-104. 如图2-15，数一数，图中共有多少个长方形？（正方形是一种特殊的长方形）5. 如图2-16，四条边长度都相等的四边形称为菱形．用16个同样大小的菱形组成如图的一个大菱形．数一数，图中共有多少个菱形？6. 如图2-17，这是一个长为9，宽为4的网格，每一个小格都是一个正方形．请问：（1）从中可以数出多少个长方形？（2）从中可以数出包含黑点的长方形有多少个？7. 如图2-18，数一数，图中共有多少个长方形？图2-14图2-18 图2-17图2-16图2-158. 如图2-19，数一数，图中共有多少个平行四边形？9. 如图2-20，18个大小相同的小正三角形拼成了一个平行四边形．数一数，图中共有多少个梯形？10. 如图2-21，方格纸上放了20枚棋子，以这些棋子为顶点，可以连出多少个正方形？11. 一个平面封闭图形，只要组成它的边中有一条边不是直线段，就将这个图形称为曲边形，例如圆、半圆、扇形等都是曲边形．在图2-22中，共有多少个不同的曲边形？12. 如图2-23，一个23 的网格中，每个小正方形的面积都是1．以这些格点为顶点，可以连成多少个面积为1的三角形？图2-22图2-21图2-20图2-19超越篇1. 图2-24是一个等边三角形的点阵．以这些点为顶点，可以画出多少个等腰三角形（包括等边三角形）？2. 如图2-25，数一数，图中共有多少个三角形？3. 如图2-26，这是一个48⨯的矩形网格，每一个小格都是一个正方形．请问：（1）包含有两个“★”的矩形共有多少个？（2）至少包含一个“★”的矩形有多少个？4. 如图2-27，在图中的33⨯正方形格子中，格线的交点称为格点．例如：A ，B ，C 这3个点都是格点．那么，以格点为顶点，且完全覆盖了阴影部分小方格的三角形共有多少个？ 图2-24图2-25 ★★图2-26图2-235. 如图2-28，用12个点将圆周12等分．以这些点为顶点的梯形共有多少个？6. 一个平面封闭图形，只要组成它的边中有一条边不是直线段，就将这个图形称为曲边形，例如圆、半圆、扇形等都是曲边形．在图2-29中，共有多少个不同的曲边形？7. 如图2-30，木板上钉着16枚钉子，排成四行四列的方阵．用橡皮筋一共可以套出多少个不同的等腰三角形？8. 如图2-31，在33 的方格表内，每个小正方形的面积均为1．请问：图2-30图2-28图2-27B图2-29（1）以格点为顶点共可以连出多少个面积为4的三角形？（2）以格点为顶点共可以连出多少个面积为3的三角形？（3）以格点为顶点共可以连出多少个面积为1.5的三角形？图2-31。
五年级数学奥数基础课程教案(30讲)
—－可编辑修改，可打印——别找了你想要的都有！精品教育资料——全册教案，，试卷，教学课件，教学设计等一站式服务——全力满足教学需求，真实规划教学环节最新全面教学资源，打造完美教学模式小学奥数基础教程(五年级)第1讲数字迷（一）第2讲数字谜(二)第3讲定义新运算(一)第4讲定义新运算(二)第5讲数的整除性(一)第6讲数的整除性(二)第7讲奇偶性（一）第8讲奇偶性（二）第9讲奇偶性（三）第10讲质数与合数第11讲分解质因数第12讲最大公约数与最小公倍数（一）第13讲最大公约数与最小公倍数（二）第14讲余数问题第15讲孙子问题与逐步约束法第16讲巧算24第17讲位置原则第18讲最大最小第19讲图形的分割与拼接第20讲多边形的面积第21讲用等量代换求面积第22 用割补法求面积第23讲列方程解应用题第24讲行程问题（一）第25讲行程问题（二）第26讲行程问题（三）第27讲逻辑问题（一）第28讲逻辑问题（二）第29讲抽屉原理(一)第30讲抽屉原理(二)第1讲数字谜（一）数字谜的内容在三年级和四年级都讲过，同学们已经掌握了不少方法。
例如用猜想、拼凑、排除、枚举等方法解题。
数字谜涉及的知识多，思考性强，所以很能锻炼我们的思维。
这两讲除了复习巩固学过的知识外，还要讲述数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。
例1 把+，-，×，÷四个运算符号，分别填入下面等式的○内，使等式成立（每个运算符号只准使用一次）：（5○13○7）○（17○9）=12。
分析与解：因为运算结果是整数，在四则运算中只有除法运算可能出现分数，所以应首先确定“÷”的位置。
当“÷”在第一个○内时，因为除数是13，要想得到整数，只有第二个括号内是13的倍数，此时只有下面一种填法，不合题意。
（5÷13-7）×（17+9）。
当“÷”在第二或第四个○内时，运算结果不可能是整数。
当“÷”在第三个○内时，可得下面的填法：（5+13×7）÷（17-9）=12。
(完整)五年级奥数.计数综合.排列组合(ABC级).教师版
一、 排列问题在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．一般地，从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．排列的基本问题是计算排列的总个数．从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素的排列中取出m 个元素的排列数，我们把它记做m n P ．根据排列的定义，做一个m 元素的排列由m 个步骤完成：步骤1：从n 个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n 种方法；步骤2：从剩下的(1n -)个元素中任取一个元素排在第二位，有(1n -)种方法； ……步骤m ：从剩下的[(1)]n m --个元素中任取一个元素排在第m 个位置，有11n m n m --=-+（）(种)方法；由乘法原理，从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是121n n n n m ⋅-⋅-⋅⋅-+L （）（）（），即121m n P n n n n m =---+L （）（）（），这里，m n ≤，且等号右边从n 开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m 个因数相乘．二、 排列数一般地，对于m n =的情况，排列数公式变为12321n n P n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅L （）（）． 表示从n 个不同元素中取n 个元素排成一列所构成排列的排列数．这种n 个排列全部取出的排列，叫做n 个不同元素的全排列．式子右边是从n 开始，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积，知识结构排列组合记为!n ，读做n 的阶乘，则n n P 还可以写为：!n n P n =，其中!12321n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅L L （）（） ．在排列问题中，有时候会要求某些物体或元素必须相邻；求某些物体必须相邻的方法数量，可以将这些物体当作一个整体捆绑在一起进行计算．三、 组合问题日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．一般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数．记作mn C ．一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数m n P 可分成以下两步：第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有mn C 种方法；第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有mm P 种排法．根据乘法原理，得到m m mn n m P C P =⨯．因此，组合数12)112321mmn nm mP n n n n m C m m m P ⋅-⋅-⋅⋅-+==⋅-⋅-⋅⋅⨯⨯L L （）（（）（）（）．这个公式就是组合数公式．四、 组合数的重要性质一般地，组合数有下面的重要性质：m n mn n C C -=(m n ≤)这个公式的直观意义是：m n C 表示从n 个元素中取出m 个元素组成一组的所有分组方法．n mn C -表示从n 个元素中取出(n m -)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从n 个元素中选出m 个元素的分组方法恰是从n 个元素中选m 个元素剩下的(n m -)个元素的分组方法．例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即3255C C =． 规定1n nC =，01n C =． 五、 插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数，使用插板法一般有三个要求：①所要分解的物体一般是相同的：②所要分解的物体必须全部分完：③参与分物体的组至少都分到1个物体，不能有没分到物体的组出现．在有些题目中，已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符，对此应当对已知条件进行适当的变形，使得它与一般的要求相符，再适用插板法．六、 使用插板法一般有如下三种类型：⑴ m 个人分n 个东西，要求每个人至少有一个．这个时候我们只需要把所有的东西排成一排，在其中的(1)n -个空隙中放上(1)m -个插板，所以分法的数目为11m n C --．⑵ m 个人分n 个东西，要求每个人至少有a 个．这个时候，我们先发给每个人(1)a -个，还剩下[(1)]n m a --个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以了．所以分法的数目为1(1)1m n m a C ----．⑶ m 个人分n 个东西，允许有人没有分到．这个时候，我们不妨先借来m 个东西，每个人多发1个，这样就和类型⑴一样了，不过这时候物品总数变成了()n m +个，因此分法的数目为11m n m C -+-．一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例1】 （1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？ （2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？ （3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？【解析】：（1）43（2）34 （3）34【例2】 把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？ 【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（ ）A 、38 B 、83 C 、38A D 、38C【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的结果。
小学奥数计数之整体法
小学奥数小学奥数计数之整体法前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法，比如枚举法、树形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等，这里再集中学习一下计数中其他常见的方法，主要有归纳法、整体法、对应法、递推法．对这些计数方法与技巧要做到灵活运用．解决计数问题时，有时要“化整为零”，使问题变得简单；有时反而要从整体上来考虑，从全局、从整体来研究问题，反而有利于发现其中的数量关系．【例 1】 一个正方形的内部有1996个点，以正方形的4个顶点和内部的1996个点为顶点，将它剪成一些三角形．问：一共可以剪成多少个三角形?如果沿上述这些点中某两点之间所连的线段剪开算作一刀，那么共需剪多少刀?【考点】计数之整体法 【难度】4星 【题型】解答【解析】 方法一：归纳法，如下图，采用归纳法，列出1个点、2个点、3个点…时可剪出的三角形个数，需剪的刀数．不难看出，当正方形内部有n 个点时，可以剪成2n ＋2个三角形，需剪3n +l 刀，现在内部有1996个点，所以可以剪成2×1996+2=3994个三角形，需剪3×1996+1=5989刀．方法二：整体法．我们知道内部一个点贡献360度角，原正方形的四个顶点共贡献了360度角，所以当内部有n 个点时，共有360n +360度角，而每个三角形的内角和为180度角，所以可剪成(360n +360)÷180=2n +2个三角形．2n +2个三角形共有3×(2n +2)=6n +6条边，但是其中有4条是原有的正方形的边，所以正方形内部的三角形边有6n +6—4=6n +2条边，又知道每条边被2个三角形共用，即每2条边是重合的，所以只用剪(6n +2)÷2＝3n +1刀．本题中n =1996，所以可剪成3994个三角形，需剪5989刀．【答案】可剪成3994个三角形，需剪5989刀【巩固】在三角形ABC 内有100个点，以三角形的顶点和这100点为顶点，可把三角形剖分成多少个小三角形？【考点】计数之整体法 【难度】4星 【题型】解答例题精讲教学目标7-6-2计数之整体法【解析】 整体法．100个点每个点周围有360度，三角形本身内角和为180度，所以可以分成()360100180180201⨯+÷=个小三角形．【答案】201个小三角形【例 2】 在一个六边形纸片内有60个点，以这60个点和六变形的6个顶点为顶点的三角形，最多能剪出_______个．【考点】计数之整体法 【难度】4星 【题型】填空【解析】 设正六边形内有n 个点，当1n =时有6个三角形，每增加一个点，就增加2个三角形，n 个点最多能剪出()()62122n n ++=+个三角形．60n =时，可剪出124个三角形．注：设最多能剪出x 个小三角形，则这些小三角形的内角和为180x ︒．换一个角度看，汇聚到正六边形六个顶点处各角之和为4180⨯︒，故这些小三角形的内角总和为603604180⨯︒+⨯︒．于是180603604180x ︒=⨯︒+⨯︒，解得124x =．【答案】124个。
五年级奥数多位数计算教师版
五年级奥数多位数计算教师版多位数的主要考查方式有1.用带省略号的描述方式进行多位数的具体值四则计算2.计算多位数的各个位数字之和一、多位数运算求精确值的常见方法1. 利用99999101k k =-个,进行变形2. “以退为进”法找规律递推求解二、多位数运算求数字之和的常见方法M ×k 9999...9个的数字和为9×k ．(其中M 为自然数,且M ≤k 9999...9个)．可以利用上面性质较快的获得结果．模块一、多位数求精确值运算【例 1】计算：200720073555333⋅⋅⋅⨯⋅⋅⋅个5个【考点】多位数计算之求精确值 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 这道题目,你会发现无规律可循.这时我们就要从找规律这个思想里走出来,将20073333⋅⋅⋅个乘以3凑出一个20073999⋅⋅⋅个,然后在原式乘以3的基础上除以3,所以原式20075200795559993=⋅⋅⋅⨯⋅⋅⋅÷个个20075200705550003=⋅⋅⋅⨯⋅⋅⋅÷个个（1-1）2007520070200755550005553=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅÷个个个（-） 200742006555544453=⋅⋅⋅⋅⋅⋅÷个个668185668148185185184814814815=⋅⋅⋅⋅⋅⋅个个【答案】668185668148185185184814814815⋅⋅⋅⋅⋅⋅个个【巩固】 计算：2007820073888333⋅⋅⋅⨯⋅⋅⋅个个知识点拨教学目标例题精讲多位数计算【考点】多位数计算之求精确值 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 这道题目,你会发现无规律可循.这时我们就要从找规律这个思想里走出来,将20073333⋅⋅⋅个乘以3凑出一个20079999⋅⋅⋅个,然后在原式乘以3的基础上除以3,所以原式20078200798889993=⋅⋅⋅⨯⋅⋅⋅÷个个20078200708880003=⋅⋅⋅⨯⋅⋅⋅÷个个（1-1）2007820070200788880008883=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅÷个个个（-）2006120068888711123=⋅⋅⋅⋅⋅⋅÷个个668296668037296296295703703704=⋅⋅⋅⋅⋅⋅个个【答案】668296668037296296295703703704⋅⋅⋅⋅⋅⋅个个【巩固】 计算20043333359049⨯个【考点】多位数计算之求精确值 【难度】3星 【题型】计算【解析】 我们可以把200433333个转化为200499993÷个9,进而可以进行下一步变形,具体为：原式20043333359049=⨯=个200420049999359049999919683÷⨯=⨯个9个9200402004019999(100001)196831968300...0196831968299...9980317=-⨯=-=个个个【答案】199991968299...9980317个【巩固】 计算20042008366669333...3⨯⨯个6个的乘积是多少？【考点】多位数计算之求精确值 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 我们可以将原题的多位数进行99999101k k =-个的变形：原式=200433333个20082333333⨯⨯⨯⨯个3=200433333个2008239999⨯⨯⨯个9=2003199998⨯个9（2008100001-个0）=2003199998个9×200810000个0-2003199998个9=2003920030199997999800002个个.【答案】2003920030199997999800002个个【巩固】 快来自己动手算算20071200792007920077111999999777⋅⋅⋅⨯⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⨯⋅⋅⋅÷个个个个（）3的结果看谁算得准？ 【考点】多位数计算之求精确值 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 本题是提取公因数和凑整的综合。
小学奥数计数问题：整体法经典练习题
小学奥数计数问题：整体法经典练习题
★这篇《小学奥数计数问题：整体法经典练习题》，是特地为大家整理的，希望对大家有所帮助！
整体法经典练习题
经典例题展示1：有一类各位数字各不相同的五位数M，它的千位数字比左右两个数字大，十位数字也比左右两个数字大；另有一类各位数字各不相同的五位数W，它的千位数字比左右两个数字小，十位数字也比左右两个数字小。
请问符合要求的数M和W，哪一类的个数多？多多少？
经典例题展示2：游乐园的门票1元1张，每人限购1张。
现在有10个小朋友排队购票，其中5个小朋友只有1元的钞票，另外5个小朋友只有2元的钞票，售票员没有准备零钱。
问有多少种排队方法,使售票员总能找得开零钱?。
小学奥数五年级测试及答案(计数综合)
一、计数综合（一）
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第1题
第2题
第3题
第5题
第6题
试题答案
第1题：
正确答案:B 答案解析
第2题：
正确答案:C 答案解析
第3题：
正确答案:B 答案解析
第4题：正确答案:A 答案解析
第5题：正确答案:B 答案解析
正确答案:D
答案解析
第7题：
正确答案:D
答案解析
二、计数综合（二）第1题
第2题
第4题
第5题
试题答案
第1题：
正确答案:B 答案解析
第2题：正确答案:B 答案解析
第3题：正确答案:C 答案解析
第4题：正确答案:C 答案解析
第5题：正确答案:A 答案解析。
奥数：小学奥数系列：20五年级下学期 第20讲,计数问题第05讲
计数综合之一【内容概述】涉及整数知识、具有数字或数阵图形式的计数问题．这里需要综合运用加法原理和乘法原理，即恰当地分类与分步，并应注意对称性．【典型问题】1．恰好能被6，7，8，9整除的五位数有多少个?2．小明的两个衣服口袋中各有13张卡片，每张卡片上分别写着l，2，3，…，13．如果从这两个口袋中各拿出一张卡片来计算它们所写两数的乘积，可以得到许多不相等的乘积．那么，其中能被6整除的乘积共有多少个?3．1，2，3，4，5，6这6个数中，选3个数使它们的和能被3整除．那么不同的选法有几种?4．同时满足以下条件的分数共有多少个?①大于16，并且小于15；②分子和分母都是质数；③分母是两位数．5．一个六位数能被l 1整除，它的各位数字非零且互不相同的．将这个六位数的6个数字重新排列，最少还能排出多少个能被1l整除的六位数?6．在大于等于1998，小于等于8991的整数中，个位数字与十位数字不同的数共有多少个?7．个位、十位、百位上的3个数字之和等于12的三位数共有多少个?8．一个自然数，如果它顺着看和倒过来看都是一样的，那么称这个数为“回文数”．例如133l，7，202都是回文数，而220则不是回文数．问：从一位到六位的回文数一共有多少个?其中的第1996个数是多少?9．一种电子表在6时24分30秒时的显示为6：2430，那么从8时到9时这段时间里，此表的5个数字都不相同的时刻一共有多少个?10．有些五位数的各位数字均取自l，2，3，4，5，并且任意相邻两位数字(大减小)的差都是1．问这样的五位数共有多少个?11．用数字l，2组成一个八位数，其中至少连续四位都是1的有多少个?12．在1001，1002，…，2000这1000个自然数中，可以找到多少对相邻的自然数，满足它们相加时不进位?13．把1995，1996，1997，1998，1999这5个数分别填入图20一1中的东、南、西、北、中5个方格内，使横、竖3个数的和相等．那么共有多少种不同填法?14．在图20-2的空格内各填入一个一位数，使同一行内左面的数比右图20-1面的数大，同一列内上面的数比下面的数小，并且方格内的6个数字互不相同，例如图20-3为一种填法.那么共有多少种不同的填法？图20-2 图20-315.从1至9这9个数字中挑出6个不同的数填在图20-4的6个圆圈内，使任意相邻两个圆圈内数字之和都是质数.那么共能找出多少种不同的挑法？（6个数字相同、排列次序不同都算同一种.）图20-4【参考答案】1.179个.2.21个.3.8种.4.13个.5.71个.6.6294个.7.66个. 8.1998个，997799.9.1260个. 10.42个.11.48个. 12.155个.13.24种. 14.30种.15.17种.赠：小学五年级数学竞赛题1.把自然数1.2.3.4.....的前几项顺次写下得到一个多位数1234567891011.......已知这个多位数至少有十位,并且是9和11的倍数.那么它至少有几位?2. 在做两个数的乘法时，甲把被剩数的个位数字看错了，得结果是255，乙把被剩数的十位数字看错了，得结果是365，那么正确的乘积是多少？3. 将23分成三个不同的奇数之和，共有几种不同的分法？4、把自然数1、2、3、4......的前几项顺次写下得到一个多位数12345678910111213.....已知这个多位数至少有十位，并且是9的倍数，那么它最少有几位数？5、恰有两位数字相同的三位数共有几个？6、有一群小孩，他们中任意5个孩子的年龄之和比50少，所有孩子的年龄之和是202，这群孩子至少有几人？7、甲乙两同学按先后顺序摆多米诺骨牌，要求摆成正方形，由于每人手里一次只能拿10块，故每次每人摆10块。
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五年级奥数计数之整体法教师版
解决计数问题时,有时要“化整为零”,使问题变得简单；有时反而要从整体上来考虑,从全局、从整体来研究问题,反而有利于发现其中的数量关系．
【例 1】 一个正方形的内部有1996个点,以正方形的4个顶点和内部的1996个点为顶点,将
它剪成一些三角形．问：一共可以剪成多少个三角形?如果沿上述这些点中某两
点之间所连的线段剪开算作一刀,那么共需剪多少刀?
【考点】计数之整体法 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 方法一：归纳法,如下图,采用归纳法,列出1个点、2个点、3个点…时可剪出的三
角形个数,需剪的刀数．
不难看出,当正方形内部有n 个点时,可以剪成2n ＋2个三角形,需剪3n +l 刀,现在内部
有1996个点,所以可以剪成2×1996+2=3994个三角形,需剪3×1996+1=5989刀．
方法二：整体法．我们知道内部一个点贡献360度角,原正方形的四个顶点共贡献了
360度角,所以当内部有n 个点时,共有360n +360度角,而每个三角形的内角和为180度角,所以可剪成(360n +360)÷180=2n +2个三角形．
2n +2个三角形共有3×(2n +2)=6n +6条边,但是其中有4条是原有的正方形的边,所以正
方形内部的三角形边有6n +6—4=6n +2条边,又知道每条边被2个三角形共用,即每2条边是重合的,所以只用剪(6n +2)÷2＝3n +1刀．
本题中n =1996,所以可剪成3994个三角形,需剪5989刀．
【答案】可剪成3994个三角形,需剪5989刀
【巩固】在三角形ABC 内有100个点,以三角形的顶点和这100点为顶点,可把三角形剖分成
多少个小三角形？
【考点】计数之整体法 【难度】4星 【题型】解答
例题精讲
教学目标
7-6-2计数之整体法
【解析】 整体法．100个点每个点周围有360度,三角形本身内角和为180度,所以可以分成
()360100180180201⨯+÷=个小三角形．
【答案】201个小三角形
【例 2】 在一个六边形纸片内有60个点,以这60个点和六变形的6个顶点为顶点的三角形
,最多能剪出_______个．
【考点】计数之整体法 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 设正六边形内有n 个点,当1n =时有6个三角形,每增加一个点,就增加2个三角形,
n 个点最多能剪出()()62122n n ++=+个三角形．
60n =时,可剪出124个三角形．
注：设最多能剪出x 个小三角形,则这些小三角形的内角和为180x ︒．换一个角度看,汇聚到正六边形六个顶点处各角之和为4180⨯︒,故这些小三角形的内角总和为603604180⨯︒+⨯︒．于是180603604180x ︒=⨯︒+⨯︒,解得124x =．
【答案】124个。