高考一轮复习(11)平面向量的平行与垂直

1对1教案--向量总复习（2）

学员姓名：董启航 年 级：高二

辅导科目：数学 学科教师：周福兵 课程主题： 向量的垂直与平行 授课时间：2017.12.10 10：10-12：10

学习目标

教学内容

知识精讲：

一、向量的垂直与平行

1. 向量的夹角

已知两个非零向量a 与b ,记=a ,=b ,则∠AOB 叫作向量a 与b 的夹角,夹角θ的取值范围为[0,π].当θ=0°时,a 与b 同向;当θ=180°时,a 与b 反向;当θ=90°时,则称向量a 与b 垂直.

2. (1) 两个向量平行的充要条件:设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),b ≠0,则a ∥b ⇔x 1y 2-x 2y 1=0. (2) 两个向量垂直的充要条件:设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0.

1. (必修4习题5改编)已知向量a =(3,1),b =(2,λ).若a ∥b ,那么实数λ= .

2. (必修4练习2改编)已知向量a =(5,12),b =(sin α,cos α),且a ∥b ,那么tan α= .

3. (必修4习题12改编)已知向量a =(6,2),b =(3,k).若a ⊥b ,那么k= .

OA OB

4. (必修4练习1改编)已知向量a =(-3,4),向量b ∥a ,|b |=1,那么b = .

5. (必修4习题10改编)已知a =(-3,1),b =(1,-2).若(-2a +b )⊥(k a +b ),那么实数k= .

两个向量的垂直问题

在△ABC 中,设=(2,3),=(1,k),且△ABC 是直角三角形,求k 的值.

(2016·重庆卷改编)已知向量a =(k,3),b =(1,4),c =(2,1),且(2a -3b )⊥c ,那么实数

k= .

已知a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),0<β<α<π.若|a -b |=,求证:a ⊥b .

AB AC 2

向量的平行(共线)问题

设向量=(k,12),=(4,5),=(10,k),当k 为何值时,A,B,C 三点共线?

已知,不共线,=a +b ,求证:A,P,B 三点共线的充要条件是a+b=1.

与向量平行(垂直)有关的综合问题

已知平面向量a =(1,2sin θ),b =(5cos θ,3). (1) 若a ∥b ,求sin2θ的值;

(2) 若a ⊥b ,求tan

的值.

OA OB OC OA OB OP OA OB 4πθ⎛⎫+ ⎪

⎝⎭

(2016·无锡期末)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且cosC=. (1) 若·=,求c 的最小值;

(2) 设向量x =(2sinB,-),y =（cos2B,1-2sin 2）,且x ∥y ,求sin(B-A)的值.

已知向量a =,b =(sin 2x,-cos x),f(x)=a ·b -.设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且c=

,f(C)=0.若向量m =(1,sin A)与n =(2,sin B)共线,求a,b 的值.

3

10CB CA 9

23

2B

3,2cosx ⎛⎫

⎪ ⎪

⎝

⎭123

1. 已知向量m =(λ+1,1),n =(λ+2,2),若(m +n )⊥(m -n ),则λ= .

2. 已知向量a =(1,k),b =(9,k-6).若a ∥b ,则实数k= .

3. (2016·韶关一模)已知向量与的夹角为120°,且||=2,||=3.若=λ+,且⊥,则实数λ的值为 .

4. (2016·济南模拟)已知两点A(-1,0),B(1,3),向量a =(2k-1,2),若⊥a ,则实数k 的值为 .

一、 填空题

1.已知向量a =(2,-3),b =(3,λ).若a ∥b ,则实数λ= .

2. 已知向量a =(sin x,cos x),b =(1,-2),且a ∥b ,那么tan x= .

3. 已知向量a =(2,1),b =(-1,k),a ·(2a -b )=0,那么实数k= .

4. 已知向量a =(,1),b =(0,1),c =(k,).若a +2b 与c 垂直,则实数k= .

5. (2016·湖北卷)设向量a =(3,3),b =(1,-1).若(a +λb )⊥(a -λb ),则实数λ= .

6. 已知向量a ,b 满足|a |=3,|b |=2,且a ⊥(a +b ),则b 在a 方向上的投影为 .

7. (2016·苏州期末)已知两个单位向量a ,b 的夹角为60°,c =t a +(1-t)b .若b ·c =0,则实数t 的值为 .

8. (2016·扬州期末)已知a ,b ,c 是单位向量,a ⊥b ,那么(a +b +2c )·c 的最大值是 .

AB AC AB AC AP AB AC AP BC AB 333

二、 解答题

9. 已知平面向量a =(1,x),b =(2x+3,-x),x ∈R . (1) 若a ⊥b ,求x 的值; (2) 若a ∥b ,求|a -b |.

10. 已知向量a =(sin θ,cos θ-2sin θ),b =(1,2). (1) 若a ∥b ,求tan θ的值; (2) 若|a |=|b |,0<θ<π,求θ的值.

11. (2016·常州期末)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.设向量m =(a,c),n =(cosC,cosA). (1) 若m ∥n ,c=a,求A;

(2) 若m ·n =3bsinB,cosA=,求cosC 的值.

34

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