第七章 梁的位移-转角、挠度

Fb Fb 1 EI z y' '2 M x x F x a EI z 2 2 x 2 L F x a 2 C2 2L 2
Fb 3 1 x F x a 3 C2 x D2 6L 6
x0
D1 0 y0 0
4
第七章 梁的弯曲变形
§7-2 挠曲线的近似微分方程
2.挠曲线的近似微分方程 推导弯曲正应力时，得到：
1 M ρ EIz

忽略剪力对变形的影响
1 M ( x) ( x) EI z
5
第七章 梁的弯曲变形
§7-2 挠曲线的近似微分方程
M ( x) EI Z 1
1


d2 y dx 2 dy 2 1 ( ) dx
22
q
第七章 梁的弯曲变形
§7-4 用叠加法求梁的变形
q
A
L 2a
q
B
L 2a
2）再将处理后的梁分解为简单 载荷作用的情形，计算各自C截 C 面的挠度和转角。
ql 3 ql 4 C1 yC 1 , 8EI 6 EI l ql 3 yC 2 y B 2 B 2 C 2 2 48EI ql 4 ql 3 l , 128 EI 48EI 2

2L
2
6L
y
Fb L b Fab L b A 6 EI z L 6 EI z L 最大挠度 y' 0 令x=a



M x 0

x0
xL
Fb 3 1 Fb L2 b 2 3 EI z y2 x F x a x 6L 6 6L


Fab L a 2 Fb L2 b 2 Fb 1 2 EI z B B L F L a 2L 2 6 EI z L 6L
§7-2 挠曲线的近似微分方程
1.基本概念
位移的度量
挠曲线－－ 梁变形后各截 面形心的连线
A
C
F
l
A
B
y－挠度 θ－转角
挠度向下为正，向上为负.
C

y
B
x
y
C
B
转角绕截面中性轴顺时针转为正， 逆时针转为负。
3
第七章 梁的弯曲变形
变形过大
• 结构性构件破坏 • 非结构构件破坏 • 影响适用性
A
~
A
A
~
~
位移边界条件
~
光滑连续条件
A
~
A
~
A
~ ~
~
A A
~
yA 0
yA 0
y AL y AR
A 0
AL AR
~
10
AA
AA
A
A A
A
~
第七章 梁的弯曲变形
例7-1 求图所示悬臂梁A端的挠度与转角。
F A
yA
x
A
M x Fx
B
x
dy dy 2M ( x ) Fxdx dx C C EI z Fx 1 1 dx EI dx EI z C Z 1 2
q0
A B
第七章 梁的弯曲变形
q0 L 6
l
C
q0 L 3
将三角形分布荷载看成载荷集度为q0的均布载荷的一半 查表
5q0 L4 384 EI Z
4 1 5q0 L4 5 q L 0 C 2 384 EI Z 768EI Z
21
第七章 梁的弯曲变形
§7-4 用叠加法求梁的变形
q
A
L 2a
3

d2 y dx 2 dy 2 1 ( ) dx
3

M ( x) EI Z
6
第七章 梁的弯曲变形
d2 y M ( x) EI Z dx 2
o
M
M
x
o
x
d2y 0 2 dx
y y
M
d2y 0 2 dx
M
d2 y M ( x) 2 EI Z dx




Fb 2 Fb L2 b 2 EI z1 x 2L 6L


Fb 3 1 Fb L2 b 2 3 EI z y2 x F x a x 6L 6 6L


Fb 3 Fb L2 b 2 EI z y1 x x 6L 6L
13


求图示简支梁在集中荷载F的作用下（F力在右半跨）的最大挠度。
A B
C
q
3）将结果叠加
41ql 4 yC yCi 384 EI i 1
2
7ql 3 C Ci 48EI i 1
2
23
第七章 梁的弯曲变形
§7-4 用叠加法求梁的变形
讨 论
叠加法求变形有什么优缺点？
24
第七章 梁的弯曲变形
§7-5 梁的刚度条件
1.刚度条件
y
max
[ y ],
第七章 梁的弯曲变形
第七章 梁的位移-转角、挠度
7.1 工程中梁的变形 转角 挠度 7.2 梁挠曲线的近似微分方程 7.3 利用积分法求梁的位移 7.4 利用叠加法求梁的位移 7.5 梁的刚度条件与校核 7.6 简单超静定梁的计算 7.7 提高抗弯刚度的措施
1
第七章 梁的弯曲变形
2
第七章 梁的弯曲变形




力靠近哪个支座，哪边的转角最大。
Faba b 3L
2 2
Fb 2 Fb L2 b 2 EI z C a 2L 6L Fb 2 Fb L2 b 2 x0 0 2L 6L


C
x0
转角为零的点在AC段
1 b L 2 x0
x0


L b 3
1 L 2
一般认为梁的最大挠度就发生在跨中
b0
3 L 0.577 L14 3
第七章 梁的弯曲变形
结论:在简支梁中, 不论它受什么荷载作
用, 只要挠曲线上无 拐点, 其最大挠度值都
可用梁跨中点处的挠度值来代替, 其精确度
是能满足工程要求的.
15
第七章 梁的弯曲变形
讨
Baidu Nhomakorabea
论
积分法求变形有什么优缺点？
A
Fb L
a
b
B
x
1
L
l
C
x x
CB段
Fa L
M 2 x
Fb x F x a L axL
AC段
y
Fb 2 Fb EI z1 C xx EI z y' '1 M 1 x 21 L L
EI z y1 Fb 3 x C1 x D1 6L

max
[ ]
ymax y l l
建筑钢梁的许可挠度： 混凝土梁的许可挠度：
l l ~ 250 1000
l 300
25
7-5
例7-7 悬臂梁承受荷载如图示。已知均布荷载集度q=15kN/m，梁的长
第七章 梁的弯曲变形
度L=2a=2m，材料的弹性模量E=210GPa，许用正应力[σ]=160MPa，梁 的许可挠度[y/L]=1/500。试选择工字钢的型号。 1.按强度选择 q
19
第七章 梁的弯曲变形
例 7-4
试用叠加原理求图示弯曲刚度为EIz的简支梁的跨 中截面挠度ωc和梁端截面的转角θA，θB.
F
q
EI z
A
B 解
yc yqc yFc
5qL4 yqc 384 EI z
yFc FL3 48 EI z
C
l 2
l 2
q
A
B
5qL4 FL3 yc 384 EI z 48 EI z
qL4 yB 8 EI z
q 3 L x L3 6 EI z



qL3 B 6 EI z
q L x 4 4 L3 x L4 y 24 EI z
12

第七章 梁的弯曲变形
例7-3 求图示简支梁在集中荷载F的作用下（F力在右半跨）的最大 挠度。 Fb F M x x 0 xa
B
L 2a
C
例7-6 已知：悬臂梁受力如图 示，q、l、EI均为已知。求C 截面的挠度yC和转角C 解 1）首先，将梁上的载荷 变成有表可查的情形
q
A
L 2a
q
B
L 2a
A B
为了利用梁全长承受均 布载荷的已知结果，先将均 布载荷延长至梁的全长，为 C 了不改变原来载荷作用的效 果，在AB 段还需再加上集 度相同、方向相反的均布载 C 荷。
8
第七章 梁的弯曲变形
通过积分求弯曲位移的特征：
适用于细长梁在线弹性范围内、小变形情况 下的对称弯曲。
积分应遍及全梁。在梁的弯矩方程或弯曲刚 度不连续处，其挠曲线的近似 微分方程应分 段列出，并相应地分段积分。
积分常数由位移边界条件确定。
9
第七章 梁的弯曲变形
积分常数C1、C2由边界和连续条件确定
y
y
i 1
n
i

,
i i 1
n
重要结论： 梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等 于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。 这就是计算弯曲变形的叠加原理。
18
第七章 梁的弯曲变形
叠加法计算位移的条件：
1、梁在荷载作用下产生的变形是微小的；
2、材料在线弹性范围内工作，梁的位移与荷载呈线 性关系；
C
EI z
l 2
F A
l 2
A qA FA
B
qL3 qA 24 EI z FL2 FA 16 EI z
C
EI z
l 2
l 2
qL3 FL2 A B 24 EI z 16 EI z
20
例7-5 AB梁的EI为已知,试用叠加法,求梁中间C截面挠度.
EIy'' i M i ( x)
由弯矩的叠加原理知： M i ( x) M ( x) 所以，
7-4
n
EI y ' 'i EI ( yi )' ' M ( x)
i 1 i 1
17
n
i 1 n
第七章 梁的弯曲变形
故
y' ' (
y )' '
i i 1
n
由于梁的边界条件不变，因此

Fx 2 FL2 2 EI z 2 EI z
Fx 3 FL2 FL3 y x 6 EI z 2 EI z 3EI z
11
FL2 A 2 EI z
第七章 梁的弯曲变形
例7-2求图所示悬臂梁B端的挠度与转角。 1
B A
M x
2
q L x
1 q L x 2
2
x
l
x
EI z y' ' M x


2
1 EI z y' EI z qL x 3 C1 6
y
边界条件
EI z y
1 qL x 4 C1 x C2 24
x0 x0 xL
0
y 0
qL3 C1 6 EI z
qL3 C2 24 EI z
16
第七章 梁的弯曲变形
§7-4 用叠加法求梁的变形
设梁上有n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为 M(x)，转角为 ，挠度为y，则有：
d2y EI 2 EIy'' M ( x) dx
若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩 为 M i ( x ) ，转角为 i ，挠度为 yi ，则有：
xL
y L 0
EI z y2
xa
a1 y1D D y22a
1 1 aC C a 2 2
FbFb 1 2 1 3 3 Fb Fb 2 F3 3 0 3 L EI L L a Ca L C C L b Z 3C 2 Fb a a F a C2 a D2 1 1 1a 2D1 Fb 2 2 6 L 6 6 L a C a F a a C2 6L 6L 6 1 2L 2L 2 Fb 2 1 Fb L2 b 2 2 EI z 2 x F x a 2L 2 6L
l


y
边界条件
xL xL x0
B 0
yB 0
FL2 C1 2 EI z FL3 C2 3EI z
FL3 yA 3EI z
Fx 2 EI z y dx C1 x C2 3 Fx 2 EI z y 6 C1 x C2
A
Fb L
第七章 梁的弯曲变形
a
F
b
B
x
Fb 2 Fb L2 b 2 EI z1 x 2L 6L
Fb 3 Fb L2 b 2 EI z y1 x x 6L 6L



l
C


x x
最大转角
y' ' 0
2 2
Fa Fb 2 1 Fb L2 b 2 2 L EI z 2 x F x a
梁挠曲线近似微分方程
7
d2 y M ( x) 2 EI Z dx
A
C

第七章 梁的弯曲变形
B

x
y
C
B
tan
dy dx

dy dx

M ( x) dx C1 EI Z
在小变形情况下，任一截面的转角等于挠曲线 在该截面处的切线斜率。
y

M ( x) dx dx C1 x C2 EI Z