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规范化理论习题
1.解释下列名词：
函数依赖、部分函数依赖、完全函数依赖、传递函数依赖、候选关键字、主关键字、全关键字、INF、2NF、3NF、BCNF、多值依赖、4NF、连接依赖、5NF、最小函数依赖集、
无损分解
函数依赖：FD（function dependency）,设有关系模式R（U），X，Y是U的子集，r是R 的任一具体关系，如果对r的任意两个元组tl，t2,由tl[X]=t2[X]导致tl[Y]=t2[Y],则称X函数决定Y，或Y阑数依赖于X，记为X—Y。

X^Y为模式R的一个阑数依赖。

部分函数依赖：即局部依赖，对于一个函数依赖W->A,如果存在X W（X包含于W）有X->A成立，那么称W->A是局部依赖，否则称W->A为完全依赖。

完全函数依赖：见上。

传递函数依赖：在关系模式屮，如果Y->X，X->A,且X Y （X不决定Y），A X （A不属于X），那么称Y^A是传递依赖。

候选关键字：设K为关系模式R （U, F）中的属性或属性集合。

若K-^U，则K称为
R的一个候选码（Candidate Key），也称作为候选关键字或码。

主关键字：若关系模式R有多个候选码，则选定其巾一个作力主关键字（Primary Key），有时也称作为主码。

全关键字：若关系模式R整个属性组都是码，称为全关键字（All Key）或全码。

1NF:第一范式。

如果关系模式R的所有属性的值域中每一个值都是不可再分解的值，则称R是属于第一范式模式。

如果某个数据库模式都是第一范式的，则称该数据库存模式属于第一范式的数据库模式。

第一范式的模式要求属性值不可再分裂成更小部分，即属性项不能是属性组合和组属性组成。

2NF：第二范式。

如果关系模式R为第一范式，并且R屮每一个非主属性完全函数依赖于R的某个候选键，则称是第二范式模式；如果某个数据库模式屮每个关系模式都是第二范式的，则称该数据库模式属于第二范式的数据库模式。

（注：如果A是关系模式R的候选键的一个属性，则称A是R的主属性，否则称A是R的非主属性。

）。

3NF：第三范式。

如果关系模式R是第二范式，且每个非主属性都不传递依赖于R的候选键，则称R是第三范式的模式。

如果某个数据库模式屮的每个关系模式都是第三范式, 则称为3NF的数据库模式。

BCNF： BC范式。

如果关系模式R是第一范式，且每个属性都不传递依赖于R的候选键，那么称R是BCNF的模式。

多值依赖：没R（U）是属性集U上的一个关系模式，X，Y, Z是U的子集，并且Z=U-X-Y, 用x,y,z分别代表属性集X，Y，Z的值，只要r是R的关系，r屮存在元组（x，yl，zl）和（x，y2，z2）时，就也存在元纟Il（x，yl，z2）和（x，y2，zl），那么称多值依赖（MultiValued Dependency MVD） X->->Y在关系模式R中成立。

4NF：第卩4范式。

设R是一个关系模式，D是R上的多值依赖集合。

如果D屮成立非平凡多值依赖X——Y时，X必是R的超键，那么称R是第四范式的模式。

连接依赖：关系模式R（U）屮，U是全体属性集，X, Y，…，Z是U的子集，当且仅当R 是由其在X, Y,…，Z上投影的自然连接组成时，称R满足对X, Y，…，Z的连接依赖。

记为JD （X，Y，…，Z）。

5NF：关于模式R中，当且仅当R中每个连接依赖均为R的候选码所蕴涵时，称R属
于5NFo
最小函数依赖集：如果函数集合F满足以下三个条件：（1）F中每个函数依赖的右部都是单属性；（2）F巾的任一函数依赖X->A,其F-｛X->A｝与F是不等价的；（3）F巾的任一函数依赖X^A, Z为X的子集，（F-｛X^A｝） U｛Z->A｝与F不等价。

则称F力最小函数依赖集合，记为Fmino
无损分解：设R是一个关系模式，F是R上的一个依赖集，R分解为关系模式的集合P = （R1（U1）,R2（U2）,…，Rn（Un）｝。

如果对于R中满足F的每一个关系r，都有r=riRl（r）><3riR2（r）…><]nRn（r）
则称分解相对于F是无损连接分解（lossingless join decomposition）,简称力无损分解，否则就称为有损分解（lossy decomposition）。

2.现要建立关于系、学生、班级、学会等信息的一个关系数据库。

语义为：一个系有若干专业，每个专业每年只招一个班，每个班有若干学生，一个系的学生住在同一个宿舍区，每个学生可参加若干学会，每个学会有若干学生。

描述学生的属性有：学号、姓名、出生日期、系名、班号、宿舍区；
描述班级的属性有：班号、专业名、系名、人数、入校年份；
描述系的属性有：系名、系号、系办公室地点、人数；
描述学会的属性有：学会名、成立年份、地点、人数、学生参加某会有一个入会年份。

（1）请写出关系模式。

⑵写出每个关系模式的最小函数依赖集，指出是否存在传递依赖，在函数依赖左部是多属性的情况下，讨论函数依赖是完全依赖，还是部分依赖。

（3）指出各个关系模式的候选关键字、外部关键字，有没有全关键字。

解：各关系模式如下：
学生（学号，姓名，出生年月，系名，班级号，宿舍区）
班级（班级号，专业名，系名，人数，入校年份）
系（系名，系号，系办公地点，人数）
社团（社团名，成立年份，地点，人数）
加入社团（社团名，学号，学生参加社团的年份）
学生（学号，姓名，出生年月，系名，班级号，宿舍区）
•“学生”关系的最小函数依赖集为：
Fmin=｛学号—姓名，学号—班级号，学号一>出生年月，学号一>系名，系名一>宿舍区｝•以上关系模式中存在传递函数依赖，如:学号—系名，系名—宿舍区
•候选键是学号，外部键是班级号，系名。

注意：在关系模式巾，如果Y->X，X->A,且X Y （X不决定Y），A不属于X，那么称Y—A是传递依赖。

班级（班级号，专业名，系名，人数，入校年份）
•“班级”关系的最小函数依赖集为：
Fmin=«系名,专业名班级号，班级号一>人数，班级号->入校年份，班级号—系名，班级号一> 专业名｝
（假没没有相同的系，不同系中专业名可以相同）
•以上关系模式屮不存在传递函数依赖。

•“（系名，专业名）—班级号”是完全函数依赖。

•候选键是（系名，专业名），班级号，外部键是系名。

系（系名，系号，系办公地点，人数）
•“系”关系的最小函数依赖集为：Fmin={系号—系名，系名—系办公地点，系名—人数，系名一> 系号}
•以上关系模式中不存在传递函数依赖
•候选键是系名，系号
社团(社团名，成立年份，地点，人数)
•“社团”关系的最小函数依赖集为：Fmin=•{社团名—成立年份，社团名—地点，社团名—人数}
•以上关系模式中不存在传递函数依赖。

•候选键是社团名
加入社团(社团名，学号，学生参加社团的年份)
•“加入社团”关系的最小函数依赖集为：Fmin={(社团名，学号)一学生参加社团的年份} •“(社团名，学号)一>学生参加社团的年份’’是完全函数依赖。

•以上关系模式中不存在传递函数依赖。

•候选键是(社团名，学号)。

3.设关系模式R(A，B, C, D)，函数依赖集F={A->C，C一A，B-*AC, D—AC, BD—A}。

1)求出R的候选码；
2)求出F的最小函数依赖集；
3)将R分解为3NF,使其既具有无损连接性又具有函数依赖保持性。

解：(1)根据函数依赖可得：
属性B、D、BD为L类(仅山现在F的函数依赖左部)。

且在函数依赖的左部和右部均未出现的属性为0。

根据定理：对于给定的关系模式R及其函数依赖集F,若X(XeR)是L类属性，则X 必为R 的任一候选码的成员。

因此属性B、D必为候选码的成员。

且它们的闭包为：
B/=ABC，D /=ACD，BD F+=ABCD
再根据推论：对于给定的关系模式R及其函数依赖集F,若X(XeR)是L类属性，且X /包含了R的全部属性，则X必为R的唯一候选码。

故BD是R的唯一候选码。

所以R的候选码为BD。

(2)将F屮所有函数依赖的依赖因素写成单属性集形式：
F={A->C, C—A, B->A, B->C, D->A, D-*C, BD->A}
F中的B—C可以从B—A和A->C推导出来，B—C是冗余的，删掉B—C可得：F={A-*C, C-A, B-*A, D-A, D~*C, BD-*A}
F中的D->C可以从D->A和A->C推导出來，D—C是冗余的，删掉D~>C可得：F={A-C, C—A, B—A, D-A, BD—A}
F屮的BD—A可以从B->A和D->A推导出来，是冗余的，删掉BD—A可得：F={A-C, C 一A, B-A, D-A}
所以F的最小函数依赖集Fmin={A—C，C-A, B-A, D—A}。

(3)由于R中的所有属性均在Fmin中都出现，对F按具有相同左部的原则分为:R1=AC,
R2=BA, R3=DAo 其中，U1={A, C}, U2={B, A}, U3={D, A}, Fl=Fl = nUl= {A 一C}, F2 = nu2= {B—A}，F3 = nU3= {D->A}。

所以P ={R1(AC)，R2(BA)，R3(DA)}。

4.设关系模式R（A，B，C, D, E, F）,函数依赖集F= {A B~*E, BC-D, BE-*C, CD-*
B, CE—AF, CF—BD, C—A, D-*EF},求F的最小函数依赖集。

解：①利用分解规则，将所有的函数依赖变成右边都是单个属性的函数依赖，得F为: F ={AB-*E，BC-*D，BE-*C，CD~*B，CE~*A，CE~*F，CF-*B, CF-*D, C-A, D-*E, D~*F} ②去掉F中多余的闲数依赖
A.设AB—E为冗余的函数依赖，则从F中去掉AB—E,得：
Fl={ BC-*D, BE-*C, CD-*B, CE~*A, CE-*F, C卜B，CF-*D, C~*A, D-*E, D-*F}
计算(AB)F1+:
设X(O)=AB
计算X(l):扫描FI中各个蚋数依赖，找到左部为AB或AB子集的函数依赖，因为找不到这样的函数依赖。

故有X(1)=X(O)=AB，算法终止。

(AB)F1+=AB不包含E,故AB->E*是冗余的函数依赖，不能从F屮去掉。

即：
Fl={ AB-*E, BC-*D, BE-*C, CD-*B, CE，A, CE-*F, CF~*B，CF-*D, C~*A, D-*E, D-*F}
B.设BC—D为冗余的函数依赖，则从FI中去掉BC—D,得：
F2={AB—E，BE—C，CD— B，CE—A，CE—F，CF-*B, CF — D, C-*A, D—E，D—F}
计算(BC)F2+:
设X(O)=BC
计©X(l):扫描F2中的各个函数依赖，找到左部为BC或BC子集的函数依赖，得到一个C-A 函数依赖。

故有X(1)=X(O)U A=BCA=ABC。

计算X(2):扫描F2中的各个函数依赖，找到左部为ABC或ABC子集的函数依赖，得到一个AB—E函数依赖。

故有X(2)=X(1)UE=ABCE。

计算X(3):扫描F2屮的各个函数依赖，找到左部为ABCE或ABCE子集的函数依赖，得到三个BE->C，CE—A 和CE-F 函数依赖。

故有X(3)=X(2) U CAF=ABCEF。

计算X(4)：扫描F2巾的各个函数依赖，找到左部力ABCEF或ABCEF子集的函数依赖，得到二个CF—B 和CF->D 函数依赖。

故有X(3)=X(2)UBD=ABCDEF。

因为X(3)=U, 算法终止。

(BC)F2+=ABCDEF包含D,故BC—D是冗余的函数依赖，从F1中去掉。

即：F2={AB-E, BE，C, CD~*B, CE-A, CE，F，CF，B，CF〜D, C〜A, D-E, D〜F}
C.设BE—C为冗余的函数依赖，从F2中去掉BE—C，得：
F3={AB—E， CD-*B, CE-*A, CE-*F, CF—B，CF-*D, C-A, D-*E, D-*F}
计算(BE)n+:
设X(O)=BE
计算X(l):扫描F3中的各个函数依赖，找到左部为BE或BE子集的函数依赖，因为找不到这样的函数依赖。

故有X(1)=X(O)=BE，算法终止。

(BE)F3+=BE不包含C,故BE—C不是冗余的函数依赖，不能从F2中去掉。

即：
F3={AB—E, BE—C，CD-B, CE-A, CE—F，CF—B，CF— D，C-A, D—E，D—F}
D.设CD—B为冗余的函数依赖，从F3中去掉CD->B,得：
F4={AB-E, BE，C, CE—A，CE-F, CF，B, CF~*D, C-A, D-E, D-F}
计算(CD)F4\
没X(O)=CD
计算X(l):扫描F4屮的各个函数依赖，找到左部为CD或CD子集的函数依赖，得到三个C—A, D-*E 和D->F 函数依赖。

故有X(1)=X(O) UAEF=ACDEF。

汁算X(2)：扫描F4中的各个函数依赖，找到左部为ACDEF或ACDEF子集的函数依赖, 得
到四个CE-*A,CE-*F，CF-*B，CF-*D 函数依赖。

故有X(2)=X(1)U ABDF=ABCDEFo
因为X(2)=U,算法终止。

(CD) F/=ABCDEF包含B,故CD—B是冗余的函数依赖，从F3中去掉。

即：F4={AB，E, BE-C, CE—A, CE，F, CF-B, CF-D, C-A, D〜E, D-F}
E.设CE—A为冗余的函数依赖，从F4中去掉CE—A,得：
F5={AB-E, BE—C，CE—F，CF-*B, CF—D，C一A, D—E，D—F}
计算(CE)F5+:
设X(O)=CE
计算X(l):扫描F5中的各个函数依赖，找到左部为CE或CE子集的函数依赖，得到一个C-A函数依赖。

故有X(1)=X(O)U A=ACE。

计算X(2):扫描F5中的各个函数依赖，找到左部为ACE或ACE子集的函数依赖，得到一个CE—F函数依赖。

故有X(2)=X(1)UF=ACEF。

计算X(3):扫描F5屮的各个函数依赖，找到左部为ACEF或ACEF子集的函数依赖，得到二个CF—B 和CF-D 函数依赖。

故有X(3)=X(2) U BD=ABCDEF。

因为X(3)=U,
算法终止。

(CE) F5+=ABCDEF包含A,故CE—A是冗余的函数依赖，从F4中去掉。

即：
F5={AB—E, BE—C， CE—F, CF-B, CF-D, C-A, D-E, D-F}
F.设CE—F为冗余的函数依赖，从F5中去掉CE—F,得：
F6={AB〜E, BE-C, CF，B, CF-D, C^A, D-E, D-F}
计算(CE)F6+:
设X(O)=CE
计算X(l):扫描F6屮的各个函数依赖，找到左部为CE或CE子集的函数依赖，得到一个C—A 函数依赖。

故有X(1)=X(O)UA=ACE。

汁算X(2):扫描F6中的各个函数依赖，找到左部为ACE或ACE子集的函数依赖，因为找不到这样的函数依赖。

故有X(2)=X(1)=ACE，算法终止。

(CE) F6+=ACE不包含F,故CE—F不是冗余的函数依赖，不能从F5中去掉。

即：F6={AB—E，BE—C，CE—F，CF-B，CF-D, C一A，D—E，D—F}
G.设CF->B为冗余的函数依赖，从F6中去掉CF—B,得：
F7={AB，E, BE-*C, CE-*F, CF，D, C，A, D，E，D，F}
计算(CF)F/:
没X(O)=CF
计算X(l):扫描F7屮的各个函数依赖，找到左部为CF或CF子集的函数依赖，得到二个CF->D 和C-*A 函数依赖。

故有X(1)=X(O)U AD=ACDF。

U•算X(2):扫描F7中的各个函数依赖，找到左部为ACDF或ACDF子集的函数依赖，得到二个D->E和D-F函数依赖。

故有X(2)=X(1)UEF=ACDEF。

计算X(3)：扫描F7中的各个函数依赖,找到左部为ACDEF或ACDEF子集的闲数依赖，得到一个CE—F函数依赖。

故有X(3)=X(2)UF=ACDEF=X(2),算法终止。

(CF) F7+=ACDEF不包含B,故CF->Bf是冗余的函数依赖，不能从F6中去掉。

即：F7={AB 〜E, BE-C, CE，F, CF^B, CF-D, C-A, D〜E, D-F}
H.设CF—D为冗余的函数依赖，从F7中去掉CF—D，得：
F8={AB-E, BE—C，CE—F，CF-*B, C-*A, D—E，D—F}
计算(CF)F
设X(O)=CF
计©X(lh扫描F8中的各个函数依赖，找到左部为CF或CF子集的函数依赖，得到二个CF—B 和C-A 函数依赖。

故有X(1)=X(O)U AB=ABCF。

计算X(2):扫描F8屮的各个函数依赖，找到左部为ABCF或ABCF子集的函数依赖，得到一个AB->E函数依赖。

故有X(2)=X(1)UE=ABCEF。

计算X(3)：扫描F8中的各个函数依赖，找到左部为ABCEF或ABCEF子集的函数依赖，得到二个BE—C和CE—F函数依赖。

故有X(3)=X(2)UCF= ABCEF = X(2),算法终止。

(CF)F7+= ABCEF不包含D,故CF — D不是冗余的函数依赖，不能从F7中去掉。

即：F8={AB—E, BE—C，CE—F，CF-B, CF-D, C-A, D—E, D—F}
③去掉F8中各函数依赖左边多余的属性(只检查左部不是单个属性的函数依赖)
由于F8中各函数依赖左边无多余的属性，故：
Fmin={AB->E, BE-*C, CE-F, CF-*B, CF—D, C-A, D-E, D-F}
5.判断下而的关系模式是不是BCNF,为什么？
(1)任何一个二元关系。

(2)关系模式选课(学号，课程号，成缋)，函数依赖集F={(学号，课程号)一成绩}。

⑶
关系模式R(A, B，C, D, E, F)，函数依赖集F={A-*BC，BC—A, BCD-*EF, E
->C}0
解：(1)是BCNF。

二元关系屮或为全关键字，或为一个单属性候选关键字。

(2)是BCNF。

关系模式中只有一个候选关键字。

(3)不是BCNFo因为模式中存在候选关键字为AD、BCD和BE,显然C对AD 是部分依赖。

VU1AU2 = EU1-U2=AB U1AU2-*U1-U2={E->AB}={E->A, E—B}
U1AU2-*U1-U2EF+
/.该分解具备无损连接。

6.设关系模式R(B, 0，I, S，Q，D),函数依赖集F={S->D，I->S, IS—Q, B-*Q}。

(1)求出R的主码。

⑵把R分解为BCNF,且具有无损连接性。

解：(1)R的主关键字为IB0。

(2)Fmin= {S-D,卜S, I-*Q, B~*Q}
令P =BOISQD
①由于R的关键字为IBO,选择S—D分解得出：P={S1, S2}
其中：S1=SD, F1={S-*D}
S2=B0ISQ, F2={I-S,卜Q，
显然，S2不服从BCNF，需继续分解。

②对S2分解。

S2的关键字为IBO，选择I一S分解。

得出：P={S1, S3, S4}。

其中：S3=IS, F3={I-*S}
S4=B01Q, F4={I-*Q,
显然，S4不服从BCNF,还需继续分解。

③对S4分解。

S4的关键字为IBO，选择I—Q分解。

得出:P={S1, S3, S5, S6}
其中S5=IQ, F5={I-*Q}
S6=BI0 F6=O
④最后的分解为：P={SD, IS, IQ, BIO}
7.设有关系模式R(A，B, C),函数依赖集F={AB—C，C——A}，R属于第几范式？力什么？
解：BCNFo巾于A多值依赖于动而C不是码.故不服从4NF。

但在函数依赖式屮C 依赖于码AB.故该模式服从BCNF。

8.设有关系模式R(A，B，C，D)，函数依赖集F={A-*B，B-A, AC~*D, BC-D, AD -*C, BD-*C, A—CD, B-*-*CD}0
(1)求R的主码。

(2)R是否为4NF?为什么？
(3)R是否为BCNF?为什么？
(4)R是否为3NF,为什么？
解：1)候选码为AC, BC. AD, BD、可选其屮之一为主码。

2)不服从4NF。

在多值依赖中泱定因素中不包含码。

3)不服从BCNF。

在函数依赖屮决定因素屮不包含码。

4)服从3NF。

该模式中不存在非主属性。

9.设关系模式R(U, F)的属性集15 = {八，B, C},函数依赖集F={A—B，B-C},试求属性闭包A+。

解：设X(0)=A;
计算X(l):扫描F中的各个函数依赖，找到左部为A的函数依赖，得到一个：A->B。

故有X(1)=AUB，即X(1)=AB。

计算X(2):扫描F屮的各个函数依赖，找到左部为AB或A、B的函数依赖，得到一个: B-*C。

故有X(2)=ABUC,即X(2)=ABC=U。

算法终止。

故A+=ABC。