极值最值导数学案

3.3.2函数的极值与导数 [知识回顾]：

1. 设函数)(x f y =在某个区间内有导数，如果在这个区间内0y '>，那么函数)(x f y = 在这个区间内为 函数；如果在这个区间内0y '<，那么函数)(x f y =为这个区间内的 函数.

2. 用导数求函数单调区间的步骤：

① ② ③ ④

[问题探究]：阅读教材P 93-94

1. 如下图，函数()y f x =在j i h g f e d c ,,,,,,,等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？)(x f 在这些点的导数值是多少？在这些点附近，()y f x =的导数的符号有什么规律？

［新知］：

如上图，我们把点j h f d ,,,这样的点叫做函数()y f x =的 点，)(),(h f d f 等叫做函数()y f x =的 ；点i g e c ,,,这样的点叫做函数()y f x =的 点，)(),(e f c f 等叫做函数()y f x =的 .

极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值.

极值反映了函数在某一点附近的 ，刻画的是函数的 . ［想一想1］：1. 函数的极值 （填是，不是）唯一的. 2. 一个函数的极大值是否一定大于极小值.

3. 函数的极值点一定出现在区间的 (内，外)部，区间的端点 （能，不能）成为极值点. ［想一想2］：1. 导数为0的点是否一定是极值点.

比如：函数3()f x x =在x=0处的导数为 ，但它 （是或不是）极值点.即：导数为0是点为极值点的 条件.

2.求函数极值的步骤：

［想一想3］：下图是导函数()y f x '=的图象，试找出函数()y f x =的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点.

例1. 函数()x f 的定义域为开区间()b a ,，导函数()x f '在()b a ,内

的图象

如图所示，则函数()x f 在开区间()b a ,内有极小值点（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

［试一试］：

例2.求函数31

443

y x x =-+的极值.

变式1：已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数()y f x '=的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，求 （1）0x 的值 ； （2） a ，b ，c 的值.

［练一练］：

练1. 判断下列函数有无极值点，如果有请求出极值.

（1）3()27f x x x =-； （2）3()612f x x x =+-；

x

1 2 y y=f '(x)

b

a

o y

x

（3）321

()353

f x x x x =-+-； （4）2()x f x x e =⋅；

（5）2

()ln f x x x =-+； （6）2()1

x f x x =+

练2.（1）已知函数32

()f x ax bx =+，当1x =时，有极大值3.（Ⅰ）求,a b 的值；(Ⅱ)求函数()f x 的极小值.

（2）已知3

2

()f x x ax bx c =+++在1x =与2

3

x =-

时都取得极值 （Ⅰ）求,a b 的值； (Ⅱ)若3

(1)2

f -=，求()f x 的单调区间和极值.

北京高考及模拟试题精炼：

1.(2009北京) 设函数3

()3(0)f x x ax b a =-+≠.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处与 直线8y =相切，求,a b 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值点

2. (2010北京) 设定函数())0(3

23

>+++=a d cx bx x a x f ，且方程()09'=-x x f 的两个根分别为1，4.（Ⅰ）当3=a 且曲线()y f x =过原点时，求()f x 的解析式；（Ⅱ）若()f x 在(,)-∞+∞无极值点，求a 的取值范围．

3.（2010海淀末）函数2()1x a f x x +=+()a R ∈ . （Ⅰ）若()f x 在点(1,(1))f 处的切线斜率为1

2

，求

实数a 的值；（Ⅱ）若()f x 在1x =处取得极值，求函数()f x 的单调区间.

4. 已知函数()1)x

f x ax e =+（.（Ⅰ）若()f x 在2x =处取得极值，求实数a 的值；（Ⅱ）求

函数()f x 的单调区间及极值.

3.3.3、函数的最大（小）值与导数

我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质．也就是说，如果0x 是函数()y f x =的极大（小）值点，那么在点0x 附近找不到比()0f x 更大（小）的值．但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个至最大，哪个值最小．如果0x 是函数的最大（小）值，那么()0f x 不小（大）于函数()y f x =在相应区间上的所有函数值． [知识回顾]：

1. 若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的 点，)(0x f 是极 值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的 点，)(0x f 是极 值

[问题探究]：函数的最大（小）值（阅读教材P 96-97）

观察以下函数)(x f 在区间[]b a ,的图象，你能找出它的极大（小）值吗？最大值，最小值呢？

图1中，在闭区间[]b a ,上的最大值是 ，最小值是 ；

图2中，在闭区间[]b a ,上的极大值是 ，极小值是 ；最大值是 ，最小值是 . ［新知］： 一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值. ［想一想1］：

上图的极大值点 ，为极小值点为 ；最大值为 ，最小值为 .

［想一想2］：

1. 函数的最值是 得出的； 函数的极值是 得出的．

2. 函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的 条件（选填）

3. 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多 个，而函数的极值可能 . ［想一想3］： 2. 求函数极值的步骤

［试一试］：

例1 求函数31

()443

f x x x =-+在[0,3]上的最大值与最小值.

［练一练］：

1．下列说法正确的是（ ）

A. 函数的极大值就是函数的最大值

B. 函数的极小值就是函数的最小值

C. 函数的最值一定是极值

D. 在闭区间上的连续函数一定存在最值 2．函数)(x f y =在区间［a ,b ］上的最大值是M ，最小值是m ，若M = m ，则)(x f '（ ）

A. 等于0

B. 大于0

C. 小于0

D. 以上都有可能

图1

图2