地下水流数值模拟基础

)

e
H t
25
2.1.3 承压含水层平面二维流微分方程（续1）

(vxM ) x

(vyM ) y


e
H t
ห้องสมุดไป่ตู้由达西公式，有
vx

K
H x
vy

K
H y
x
(KM
H x
)

y
(KM
H y
)



e
H t
µe－弹性储水系数，无量纲 K－渗透系数，m/d M－含水层厚度，m H－地下水水头值，m ε－垂向补给强度，m3/(d.m2)= m/d
有
23
2.1.2 三维流微分方程（续4）
得到地下水三维流动微分方程
x

K
xx
H x


y
K yy
H y


z

K
zz
H z


s
H t
(7)
其中s
(
n )

e
M
为比储水系数
[1/L]
均质各向异性非稳定流
9
第二章 地下水流动问题概述
2.1 地下水流动微分方程 2.2 定界条件及定解问题 2.3 地下水运动的数学模型
2.1 地下水流动微分方程
2.1.1 基本概念
承压含水层 一个完全被水饱和的、夹在上下两个隔水层之间的含水层。承压 含水层上部的隔水层称作隔水顶板,或叫限制层,下部的隔水层称 作隔水底板,顶底板之间的距离为含水层厚度。其中所含水承受 静水压力。

(vz )] z
w

s
H t
22
2.1.2 三维流微分方程（续3）
（2）水流连续性方程左端项


(vx
x
)

(vy
y
)

(vz
z
)

由达西定律
vx

Kxx
H x
vy

K yy
H y
vz

K zz
H z
有
一般密度的空间变化率很小，故
26
2.1.4 潜水平面二维地下水流动基本微分方程
在Dupuit 假定下，忽略垂向水流，可以导出潜水二维流微分方程。 考虑一底面边长为dx, dy的潜水含水层柱体，计算侧向静流入量 和垂向补给量，分别有：
X方向流入-流出
(vx (H Z )y) |x y方向流入-流出
(vx (H
Z )y) |xx
|
yx Wyx

H (x, y,t
t) H (x, y,t) t
d xy
27
2.1.4 潜水平面二维地下水流动微分方程（续1）
两边除以 xy ，并取极限 x 0, y 0, t 0 ，得

(vx (H Z )) x

(vyM (H y
x方向流出 (vx ) |(xx, y,z,t) yzt
20
2.1.2 三维流微分方程（续1）
x方向流入—流出分别为:
[vx
|x
vx
|xx ]yzt
vx x
|
xyzt
其中

为 x 与 x x 之间某一点.
•同理，y、z-方向流入—流出分别为:
[vy
|y
vy
|yy ]xzt

vy y
|
yxzt 其中
为
y 与 y y 之间某一点.
[vz
|z
vz
|zz ]xyt
vz z
|
zxyt
其中 为 z 与 z z 之间某一点.
t时段内，六面体水量变化量为：
[(vx ) x
2 解析法的特点及局限性
能够求出数学模型的精确解函数式，用解析公式表述地下水水头 与含水层参数及开采量之间的关系；便于分析地下水系统各要素 对水头的影响；
3 计算机技术的发展为数值模拟提供了保障
3
如：泰斯模型条件：
含水层是无限大水平的、均质、各向同性、等厚的承压含 水层；在含水层中间有一口完整抽水井，定流量抽水；井 径无限小；初始水头为常数；
地下水流数值模拟基础
第一讲 第一章 绪论 第二章 地下水流动问题微分方程及数学模型
中国地质大学环境学院 2009.6
第一章 绪论
一、地下水数值模拟的主要内容
（1）建立基本微分方程及数学模型： ● 按空间维数：一维、二维（平面二维、剖面二维）、三维 ● 按含水层类型：承压水流、潜水流、多层（越流联系）等
17
2.1.1 基本概念（续7）
Boussinesq假定
在研究潜水的非稳定运动时，假定水是不可压缩的流体，均质岩 层中的潜水是缓变运动。
稳定流与不稳定流
水头、渗透速度等任一渗透要素随时间变化的地下水运动为非稳 定流，不随时间变化则为稳定流。
18
2.1.1 基本概念（续8）
地下水水均衡原理 地下水的水量和盐分在收支方面的数量关系，称为地下水均衡。 其中水量均衡为水均衡，盐分均衡的话称为盐均衡。 在均衡期中，均衡区的补给量大于排泄量---正均衡。 在均衡期中，均衡区的补给量小于排泄量---负均衡。 地下水的均衡状况是通过建立地下水均衡方程实现的。其原理 就是水量平衡原理，一般: △W=X + W1 + Z1 + Y1 + Z2 + W2 + Y2 其中：△W均衡期内地下水量的变化量，X-大气降水的入渗补给 量，W1-地下水流入量，Z1-凝结水补给量 ，Y1-地表水入 渗补给量，W2-地下水流出量，Z2-地下水蒸发量， Y2-地 下水补给地表水量
X方向流入-流出
(vxMy) |x
(vxMy) |xx
(vx My) t
|
x
y方向流入-流出
(v y Mx)
|y
(vyMx) |yy
(v y Mx) y
|
y
单位时间侧向静流入量+垂向流入量=单元内储层变化量
(vxM ) x
|
yx
(vyM ) y
19
2.1.2 三维流基本微分方程
取右图所示得微小六面体。设 与x,y,z,方向对应得主渗透系数分 别为Kxx, Kyy,Kzz；建立均衡期 t时段内，微小均衡六面体的水 量守恒方程。
( vx ) |( x,y,z,t)
(vx ) |(xx,y,z,t)
x方向流入 (vx ) |(x, y,z,t) yzt
e
H t

T
(
2H r 2
1 H ) r r
（r≥0，t＞0）
H (r,t) t0 H0
H (r,t) r H0
lim 2rT H Q
r 0
r
（r＞0）
利用Boltzmann变换可以 得到此问题的解：
s(r,t) Q
ex dx
4 T r2 x
（2）求解数学模型的数值方法 ● 有限差分法 ● 有限单元法
（3）模型校正（参数识别）及模型检验 （4）数值模型的应用
2
二、为什么要学数值模拟方法
1 地下水流动问题的复杂性
地下水是在多孔介质中赋存和运移，其流动空间结构（包括含水 层结构、边界、含水层参数等）复杂； 补排关系复杂； 人工影响因素复杂；
7
与地下水有关的资源、环境、工程问题
地下水资源评价与优化开发 基坑排水预测 坝体渗漏评价 水库渗漏评价 软土路基排水固结沉降预测 地下热水泵、地下空调注采方案评价 海水入侵预测评价 有害废物渗滤液在含水层中迁移范围预测 地下水水位动态对滑坡体稳定性的影响评价 地面塌陷、地面沉降预测
潜水含水层 饱水带中第一个具有自由表面的含水层中的水称为潜水，该含水 层称为潜水含水层。潜水的水面为自由水面，称为潜水面。
弱透水层 允许地下水以极低的流速透过的地层。
11
2.1.1 基本概念（续1）
含水层非均质性与各向异性特征
均质各向同性
均质各向异性
非均质各向同性
非均质各向异性
12
2.1.1 基本概念（续2）
Z ))
W

d
H t
由达西公式，有
vx

K
H x
vy

K
H y
x
(K(H

Z)
H x
)
y
(K(H

Z)
H y
) W

d
H t
µd－重力给水度，无量纲 Z－潜水含水层地板到基准面的距离，m w－垂向补给强度，m3/(d .m2)= m/d
28
2.2 边界条件和初始条件
6
五、地下水流问题数值方法发展
地下水数值模拟主要发展阶段 （1）1956年，数值方法开始应用于水文地质计算。 （2）在20世纪70年代末，得到突破性进展。 （3）现在成为地下水模拟研究的主要方法。 （4）已有一批模拟软件：
GMS，FEFLOW 等等 （5）广泛应用于解决与地下水有关的资源、环境、工程问题
上式为非均质各向异性承压含水层的偏微分方程。
K xx
2H x2
K yy
2H y 2

K zz
2H z 2
s
H t
(10)
均质各向异性稳定流
K xx
2H x2
K yy
2H y 2
Kzz
2H z 2
0
24
2.1.3 承压含水层平面二维流微分方程
考虑一底面边长为dx, dy的承压含水层柱体。
弹性储水(释水)系数µe
承压含水层中，当水头上升（下降）一个单位时，单位水平面积 承压含水层柱体所储存（释放）的水量。
重力给水度µd，
当潜水位下降一个单位时，被疏干含水层单位体积内在重力作用 下所能排出的水量。表征了含水层的释水能力。
比弹性储水系数µs
µs＝µ/M，M为承压含水层厚度。表征单位体积含水层的储（释） 水能力。
渗透系数,K，又称水力传导系数
在各向同性介质中，它定义为单位水力梯度下的单位时间通过单 位断面面积的流量。
导水系数,T 承压含水层中的地下水在单位水力梯度作用下，单位 时间内通过单位宽度承压含水介质的流量。 T＝KM， 其中K为渗透系数，M为承压含水层厚度。
16
2.1.1 基本概念（续6）
达西（渗透）流速与实际流速
达西（渗透）流速：通过某一断面的流量Q等于流速v与过水断面F 的乘积，即Q＝Fv，即V=Q/F=KI。
实际水流流动过程中通过的范围是扣除结合水所占据的范围以外的 孔隙面积。 实际流速：u＝Q/Fn，
其中，n－有效孔隙度。 两者的关系为：v=nu
15
2.1.1 基本概念（续5）
8
六、参考书
1. 陈崇希, 唐仲华.地下水流问题数值方法.中国地质大学出版 社.1990. 2. 薛禹群，谢春红，地下水数值模拟。科学出版社。2007 3. 朱学愚, 谢春红, 地下水运移模型.中国建筑工业出版社, 1990. 4. 罗焕炎, 陈雨孙. 地下水运动的数值模拟.中国建筑工业出版社, 1988. 5. 李俊亭等. 地下水流数值模拟.地质出版社, 1989. 6. 孙讷正. 地下水流的数学模型和数值方法. 北京: 地质出版社, 1981.
|
yx yx

H (x,
y, t
t) H (x, t
y, t )
exy
两边除以 xy ，并取极限 x 0, y 0, t 0 ，得

(vxM ) x

(vyM ) y


e
H t
x
(KM
H x
)
y
(KM
H y
2.2.1 初始条件
已知t=0时的因变量， H(x,y,z,0)=H0(x,y,z)
达西定律
Q=KA(H1-H2)/L=KAI。 式中Q为渗流量，A为过水断面，(H1-H2)为水头损失，L为渗 流路径长度，I为水力坡度，K为渗流系数。 关系式表明，水在单位时间内通过多孔介质的渗流量与渗流路径 长度成反比，与过水断面面积和水头损失成正比。
13
2.1.1 基本概念（续3）
14
2.1.1 基本概念（续4）
|

(vy ) y
|
(vz ) z
|
]xyzt
21
2.1.2 三维流微分方程（续2）
六面体内地下水储存量的质量变化为
s xyzH
(13)式与(14)式相等,且方程两端除以Δ t，并取Δ ｘ→０,Δｙ→ ０,Δｚ→０和Δｔ→０，则
[(vx ) x

(vy ) y
4 at
4
三、本课程的特点
① 原理简单、容易理解； 计算复杂，必须借助计算机
② 能解决各种复杂条件的问题； 只要基础资料清楚，就可以求出结果。
③ 地质条件是提高模型仿真性的基础。
5
四、基础要求
1. 水文地质学基础 2. 地下水动力学 3. 高等数学、线性代数、计算方法 4. 计算机或相应的地下水模拟软件
(vx (H Z )y) t
|
x
(vy (H
Z )x) |y
(vy (H
Z )x) |yy
(vy (H Z )x) y
|
y
单位时间侧向静流入量+垂向流入量=单元内储层变化量
(vx (H Z )) x
|
yx
(vy (H Z )) y