序关系4.1
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序关系
偏序,线序,拟序,良序 哈斯图 特殊元素: 最?元, 极?元, ?界, ?确界 (反 )链
1
偏序(partial order)关系
偏序关系: 设 RAA 且 A, 若R是自反的, 反对称的, 传递的, 则称R为偏序关系
通常用<表示偏序关系,读作“小于等于” <x,y>R xRy x<y “严格小于”: x < y x < y xy 偏序集(poset): <A, < >, <是A上偏序关系
16
当Ｂ是有限集时，Ｂ的基数｜Ｂ｜称为链长。
例：在上例Ｈａｓｓｅ图（Ａ，Ｒ 2 ）中，取 Ｂ1＝｛１，２，４，８｝，Ｒ2＝|（整除）， 则（Ｂ1，Ｒ2）是全序关系， Ｂ1是半序集（Ａ，|）中链长为４的链。
Ｂ2＝｛１，２，６｝，Ｂ3＝｛１，３，９｝， Ｂ 4 ＝｛１，５｝，Ｂ 5 ＝｛１，７｝也都是 （Ａ，|）中的链。
4
哈斯图(Hasse diagram)
设<A,<>是偏序集, x,yA 可比(comparable): x与y可比 x < y y < x 覆盖(cover): y覆盖x x < y z( zA x < z < y ) 哈斯图: 当且仅当y覆盖x时,在x与y之间 画无向边, 并且x画在y下方
17
[定义]反链： 设（Ａ，≤ Ｒ ）为半序集，Ｂ是Ａ的子 集，对ａ，ｂ∈Ｂ（ａ≠ｂ）， （ａ，ｂ）Ｒ，（ｂ，ａ）Ｒ，则称Ｂ为 （Ａ，≤Ｒ）中的反链。 当Ｂ为有限集时，｜Ｂ｜为反链的长度。 注： 反链中的元素都互不相关。
例如：（Ａ，Ｒ2） Ｂ1＝｛２，３，５，７｝ ｜Ｂ1｜＝４ Ｂ2＝｛４，６，９｝ ｜Ｂ2｜＝３ Ｂ3＝｛８，６，９，５，７｝｜Ｂ3｜＝５ … 都是反链。 18
14
显然，全序集是半序集的特例。又如： （－∞，＋∞）实数全体，在≤下是全序集； 平面上点集，也可以规定一种≤Ｒ，模长大 的大，模长相等的情况下，以幅角的大小 来比大小，因此，平面上点集也是全序集。 （Ｎ，≤）当然也是全序集。
15
注: 实数全体，平面点集是无法用Ｈａｓｓｅ 图表示的。一般来说，对有限集用Ｈａｓｓｅ 图比较好，对可列集只能示意一下，对不可列 无限集是没法表示的，因为任二个数之间一定 还有别的数。 [定义]链：设（Ａ，≤Ｒ）是半序集， Ｂ是Ａ的子集，若（Ｂ，≤Ｒ）是全序集，则称 Ｂ为（Ａ，≤Ｒ）中的链（Ｃｈａｉｎ）。
6
[定义]：Ｈａｓｓｅ图
设≤是Ａ上的一个半序关系，如果ａ≤ｂ，则 将ａ画在ｂ下面，且不 ｃ，使ａ ≤ ｃ，ｃ ≤ ｂ， 则ａ，ｂ间用直线连接。并符合简化的关系图的 绘制，称这样得到关系图为Ｈａｓｓｅ图。
例中序关系的Ｈａｓｓｅ图如下：
7
9 8 7 6 5 4 3 2 1
R1
8
9
10
结论： A存在最小元Ф ，没有最大元。 注： 最大元（最小元）本身应属于子集Ａ， 且与Ａ中任一元素都有关系。
2
例：Ａ＝｛１，２，３，４，５，６， ７，８，９｝ Ｂ＝｛ａ，ｂ，ｃ｝ Ｒ1＝｛（ａ，ｂ）｜ ａ≤ｂ，ａ，ｂ∈Ａ｝ Ｒ2＝｛（ａ，ｂ）｜ ａ|ｂ，ａ，ｂ∈Ａ｝ Ｒ3＝｛（ｓ1，ｓ2）｜ｓ1ｓ2， ｓ1，ｓ2∈ｐ（Ｂ）｝
记号：
Ｒ={（ａ，ｂ）|ａ≤Ｒb, ａ，ｂ∈Ａ｝
其中≤Ｒ可为≤ ，|，
3
5
注：（1）用矩阵表示序关系，不能明显看 到二元关系的特征。 （2）用简化的关系图表示较适合。 (1)自反性：每个顶点都有自回路，省去。 (2)反对称性：两个顶点间只可能有一个箭头 从左→右，或从下→上的方向 从小到大安置顶点，可省略箭头。 (3)传递性：由于有（ａ，ｂ），（ｂ，ｃ）∈R 则（ａ，ｃ）∈R 故只画（ａ，ｂ），（ｂ，ｃ）对应的边 省略边（ａ，ｃ）。
A6 A
A1
[定义] 全序：Ａ上半序关系Ｒ，如果ａ， ｂ∈Ａ，都有ａ≤ｂ，或ｂ≤ａ， 则称Ｒ为Ａ上的全序关系。 注：（1）全序的含义：Ａ中每两个元素均能 比大小，即任何两个元素都相关。 （2）半序则是部分有序。 （3）Ｒ1是全序，Ｒ2，Ｒ3都是半序 如：Ｒ 2 中，｛１，２，６｝，｛１，２， ４，８｝，｛１，３，９｝都排成了序，但２ 与３，５与７，７与９…，在整除的意义上来 说无法排出大小来。
偏序集<A,>
AP(A), = { <x,y> | x,yA xy } 设A={a,b}, A1={,{a},{b}}, A2={{a},{a,b}}, A3=P(A)={,{a},{b},{a,b}},则 1 = IA1 { <,{a}>,<,{b}> } 2 = IA2 { <{a},{a,b}> } 3 = IA3 { <,{a}>,<,{b}>, <,{a,b}>, <{a},{a,b}>, <{b},{a,b}> }
11
例
例16: 画出下列偏序关系的哈斯图. (1) <A,|>, A={1,2,3,4,5,6,9,10,15} (2) <A,>, A={a,b,c}, AP(A), A={,{a},{b},{c},{a,b},{b,c},{a,c}} 解:
9 4 2 6 3 15 5 10 {a} {b} {c} 12 {a,b} {a,c} {b,c}
1
例
例16: 画出下列偏序关系的哈斯图. (3) <, <加细>, ={A1,A2,A3,A4,A5,A6}, A={a,b,c,d} A1 = { {a}, {b}, {c}, {d} }, A2 = { {a,b}, {c,d} }, A3 = { {a,c}, {b,d} }, A4 = { {a}, {b,c,d} }, A5 = { {a}, {b}, {c,d} }, A6 = { {a,b,c,d} } 解:
偏序,线序,拟序,良序 哈斯图 特殊元素: 最?元, 极?元, ?界, ?确界 (反 )链
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偏序(partial order)关系
偏序关系: 设 RAA 且 A, 若R是自反的, 反对称的, 传递的, 则称R为偏序关系
通常用<表示偏序关系,读作“小于等于” <x,y>R xRy x<y “严格小于”: x < y x < y xy 偏序集(poset): <A, < >, <是A上偏序关系
16
当Ｂ是有限集时，Ｂ的基数｜Ｂ｜称为链长。
例：在上例Ｈａｓｓｅ图（Ａ，Ｒ 2 ）中，取 Ｂ1＝｛１，２，４，８｝，Ｒ2＝|（整除）， 则（Ｂ1，Ｒ2）是全序关系， Ｂ1是半序集（Ａ，|）中链长为４的链。
Ｂ2＝｛１，２，６｝，Ｂ3＝｛１，３，９｝， Ｂ 4 ＝｛１，５｝，Ｂ 5 ＝｛１，７｝也都是 （Ａ，|）中的链。
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哈斯图(Hasse diagram)
设<A,<>是偏序集, x,yA 可比(comparable): x与y可比 x < y y < x 覆盖(cover): y覆盖x x < y z( zA x < z < y ) 哈斯图: 当且仅当y覆盖x时,在x与y之间 画无向边, 并且x画在y下方
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[定义]反链： 设（Ａ，≤ Ｒ ）为半序集，Ｂ是Ａ的子 集，对ａ，ｂ∈Ｂ（ａ≠ｂ）， （ａ，ｂ）Ｒ，（ｂ，ａ）Ｒ，则称Ｂ为 （Ａ，≤Ｒ）中的反链。 当Ｂ为有限集时，｜Ｂ｜为反链的长度。 注： 反链中的元素都互不相关。
例如：（Ａ，Ｒ2） Ｂ1＝｛２，３，５，７｝ ｜Ｂ1｜＝４ Ｂ2＝｛４，６，９｝ ｜Ｂ2｜＝３ Ｂ3＝｛８，６，９，５，７｝｜Ｂ3｜＝５ … 都是反链。 18
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显然，全序集是半序集的特例。又如： （－∞，＋∞）实数全体，在≤下是全序集； 平面上点集，也可以规定一种≤Ｒ，模长大 的大，模长相等的情况下，以幅角的大小 来比大小，因此，平面上点集也是全序集。 （Ｎ，≤）当然也是全序集。
15
注: 实数全体，平面点集是无法用Ｈａｓｓｅ 图表示的。一般来说，对有限集用Ｈａｓｓｅ 图比较好，对可列集只能示意一下，对不可列 无限集是没法表示的，因为任二个数之间一定 还有别的数。 [定义]链：设（Ａ，≤Ｒ）是半序集， Ｂ是Ａ的子集，若（Ｂ，≤Ｒ）是全序集，则称 Ｂ为（Ａ，≤Ｒ）中的链（Ｃｈａｉｎ）。
6
[定义]：Ｈａｓｓｅ图
设≤是Ａ上的一个半序关系，如果ａ≤ｂ，则 将ａ画在ｂ下面，且不 ｃ，使ａ ≤ ｃ，ｃ ≤ ｂ， 则ａ，ｂ间用直线连接。并符合简化的关系图的 绘制，称这样得到关系图为Ｈａｓｓｅ图。
例中序关系的Ｈａｓｓｅ图如下：
7
9 8 7 6 5 4 3 2 1
R1
8
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结论： A存在最小元Ф ，没有最大元。 注： 最大元（最小元）本身应属于子集Ａ， 且与Ａ中任一元素都有关系。
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例：Ａ＝｛１，２，３，４，５，６， ７，８，９｝ Ｂ＝｛ａ，ｂ，ｃ｝ Ｒ1＝｛（ａ，ｂ）｜ ａ≤ｂ，ａ，ｂ∈Ａ｝ Ｒ2＝｛（ａ，ｂ）｜ ａ|ｂ，ａ，ｂ∈Ａ｝ Ｒ3＝｛（ｓ1，ｓ2）｜ｓ1ｓ2， ｓ1，ｓ2∈ｐ（Ｂ）｝
记号：
Ｒ={（ａ，ｂ）|ａ≤Ｒb, ａ，ｂ∈Ａ｝
其中≤Ｒ可为≤ ，|，
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注：（1）用矩阵表示序关系，不能明显看 到二元关系的特征。 （2）用简化的关系图表示较适合。 (1)自反性：每个顶点都有自回路，省去。 (2)反对称性：两个顶点间只可能有一个箭头 从左→右，或从下→上的方向 从小到大安置顶点，可省略箭头。 (3)传递性：由于有（ａ，ｂ），（ｂ，ｃ）∈R 则（ａ，ｃ）∈R 故只画（ａ，ｂ），（ｂ，ｃ）对应的边 省略边（ａ，ｃ）。
A6 A
A1
[定义] 全序：Ａ上半序关系Ｒ，如果ａ， ｂ∈Ａ，都有ａ≤ｂ，或ｂ≤ａ， 则称Ｒ为Ａ上的全序关系。 注：（1）全序的含义：Ａ中每两个元素均能 比大小，即任何两个元素都相关。 （2）半序则是部分有序。 （3）Ｒ1是全序，Ｒ2，Ｒ3都是半序 如：Ｒ 2 中，｛１，２，６｝，｛１，２， ４，８｝，｛１，３，９｝都排成了序，但２ 与３，５与７，７与９…，在整除的意义上来 说无法排出大小来。
偏序集<A,>
AP(A), = { <x,y> | x,yA xy } 设A={a,b}, A1={,{a},{b}}, A2={{a},{a,b}}, A3=P(A)={,{a},{b},{a,b}},则 1 = IA1 { <,{a}>,<,{b}> } 2 = IA2 { <{a},{a,b}> } 3 = IA3 { <,{a}>,<,{b}>, <,{a,b}>, <{a},{a,b}>, <{b},{a,b}> }
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例
例16: 画出下列偏序关系的哈斯图. (1) <A,|>, A={1,2,3,4,5,6,9,10,15} (2) <A,>, A={a,b,c}, AP(A), A={,{a},{b},{c},{a,b},{b,c},{a,c}} 解:
9 4 2 6 3 15 5 10 {a} {b} {c} 12 {a,b} {a,c} {b,c}
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例
例16: 画出下列偏序关系的哈斯图. (3) <, <加细>, ={A1,A2,A3,A4,A5,A6}, A={a,b,c,d} A1 = { {a}, {b}, {c}, {d} }, A2 = { {a,b}, {c,d} }, A3 = { {a,c}, {b,d} }, A4 = { {a}, {b,c,d} }, A5 = { {a}, {b}, {c,d} }, A6 = { {a,b,c,d} } 解: