p52微分方程的定性分析

y
Y方胜
(x0,y0)
X方胜
0 证明 令 y =0, 由轨线方程得
2 2 2 ay0 b( x x0 )
x
2 2 bx0 ay0 2 x 0
矛盾
不可能出现 x>0 同时 y=0 的情形, 即X方获胜的情形.
b
令x 0, 得
y
2 2 (ay0 bx0 ) / a
即Y方获胜时的幸存士兵数. 3） 测算失败一方开始应投入兵力.
6
6
此时,Y军队士兵被歼灭的速度为
dy dt
0.1 7906 790.6
结束
最慢歼 灭速度
设Y军队士兵保持此速度被歼灭，有
y=－790.1t + 5000, 令y=0, 解得t=5000/790.1≈6.32(小时).
分析结果表明，战斗会持续5～6.32(小时),取 中间值约为5.7(小时). 注 直接求解微分方程组,可以得到几乎一致 的结论.试一试！
若其解
x x( t , t 0 , x0 , y0 ) y y( t , t 0 , x0 , y0 )
（） 3
存在且唯一，则在三维空间(x, y, t)中有且仅有 一条解曲线通过点(x0, y0, t0). 基本思想 将空间曲线投影到平面上进行分析.
定义：称平面 (x, y )为相平面，称解曲线 在相平面上的投影为相轨线，相轨线族称为 相位图.
x(0)=x0, y(0)=y0
1）变量 x≥0，y≥0，有唯一平衡点(0, 0); 2）x(t)，y(t)都是单降函数, 且随着x, y 的减小， 衰减速度也在降低. 2. 分析相位图
1） 求相轨线方程，将两个方程相除，得
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dy bx dx ay
2 2
aydy bxdx
ay bx c
k2 ε k1 ε , ) 方程(3)的平衡点为 A( c b
dx dt ( k1 ) x bxy; dy ( k ) y cxy . 2 dt
( 3)
由于捕捞能力系数的引进，食用鱼的平均 量增大, 而食肉鱼的平均量则减少了. Volterra原理：为了减少强者,只需捕获弱者.
代入初始条件，有
2
ay0 bx0 c
双曲 线族
2
2
2 2 2 a( y y0 ) b( x x0 )
2） 预测何方军队获胜, 将剩下多少士兵.
2 2 (1) 若 ay0 bx0 ,解曲线方程化为
ay bx
2
2
y
b x a
一场势均力敌的,导致 相互毁灭的战斗
2 2 （2）若 ay0 bx0 , 从相位图观察出Y方将获胜.
令
dx v, dt
得一个二维驻定系统
dx dt v , dv a ( x )v a ( x ). 1 2 dt
一般二维驻定系统形式为 dx dt P ( x , y ), dy Q( x , y ). dt
( 2)
2 2 6 bx0 0.1 (10000) 10 10
有
2 2 bx0 ay0 0
预测X方军队将获胜. Y方军队要获胜开始 投入兵力y0应满足：
0.1 2 b 2 2 1 8 y0 x0 10000 10 a 0.15 3
解得y0>8165, 至少派出8165名士兵才能转败 为胜. 4） 战斗持续时间讨论
如此继续下去, 可得求近似根的迭代公式 : f ( xn1 ) (n 1, 2 ,) xn xn1 f ( xn1 ) 称为牛顿迭代公式
a

解 决 方 法
求微分方程的数值解 对微分方程进行定性分析
微分方程定性分析 一般提法：不去积分给定的微分方程, 而根 据 方程右端的函数的性质确定方程的积分曲线在 整个区域内的分布状态. 基本任务：考虑在有限区域内积分曲线的形 状, 或研究当时间无限增大时, 积分曲线的性态.
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2007-05-15
假设如下： *1 没有食肉鱼, 食用鱼的净相对增长率为正 常数(k1>0); *2 没有食用鱼，食肉鱼的净相对增长率为负 常数(－k2, k2＞0)；
*3 两类鱼相遇的机会正比于x 和 y 的乘积； 建立微分方程如下： dx dt k1 x bxy x( k1 by ); (1) dy k y cxy y( k cx ). 2 2 dt
两边积分
k1 ln y by k2 ln x cx s
(x e
k 2 cx
)( y e
k1 by
) S
( 2)
其中S 为任意常数. (2) 验证方程有周期解
分析：
方程组(1) 有周期解 相轨线 (2) 是一族封闭曲线
?
y
0
x0
x
x1
x
需证明：对每一条轨线，存在 x0＜x1，使： 1）x0＜x＜x1时,方程(2 )有两个相异根；
在平衡点处，两类鱼将能够“平衡”地生存,
它们的数量将一直保持这个水平.
2. 分析验证方程组有周期解；
(1) 求相轨线方程
将方程组（1）的两个方程相除：
k1 k2 ( b)dy ( c )dx y x
k2 c dy y( k2 cx ) x k1 dx x( k1 by ) b y
研究对象：驻定系统
若微分方程组
dxi f i ( x1 , x2 ,, xn ), i 1,2,, n dt
其右端的函数不显含自变量 t，称为一阶n维 驻定系统(自治系统、动力系统). 例 单一质点非受迫直线运动满足方程
d2x
dx a1 ( x ) a2 ( x ) 0 2 dt dt
中的第二个方程改写为
dy y( k2 cx ) /y k2 cx dt y
两边从t0 到 t1 积分，得
t
t 1 dy
1
y

t
t2
t2
1
( k 2 cx )dt
y(t1 ) k2T c x(t )dt ln 0 t1 y( t 0 )
k2 1 t2 t1 x( t )dt c T k1 1 t2 t1 y(t )dt b T
t
(x, y, t) t0 解曲线 y 投影曲线 相轨线
o
x
轨线方程 由原方程（2）消去 t 而得到, 相 点的运动方向由原方程确定.
使 P(x0, y0)= Q(x0, y0)=0 的 (x0, y0)称为方程
(2)的平衡点. 对系统运动的研究归结为对轨线性质的研究.
二. 战斗模型分析
续例 两方军队交战,希望为这场战斗建 立一个数学模型, 应用这个模型达到如下目的： 1. 预测哪一方将获胜？ 2. 估计获胜的一方最后剩下多少士兵？
方程(1)的相轨线是一族包含平衡点A( 的封闭曲线.
k 2 k1 , ) c b
y
A
k1/b
o
k2/c
x
2. 平衡点A的实际意义
记 T=t1–– t0 , 称T 为周期,将原方程
dx dt k 1x bxy x (k 1 by ); dy k y cxy y (k cx ). 2 2 dt
y
b x
f0 f 0
f0 f 0
f0 f 0
f0 f 0
x
x o
a o
b
a
b
有如下四种情况: y y a o b x o a
y
牛顿切线法的基本思想: 用切线近似代替曲线弧求方
程的近似根 . 记纵坐标与 f (x) 同号的端点为
y
( x0 , f ( x0 )) , 在此点作切线 , 其方程为 o x2 x1 x0 x b y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) f ( x0 ) 令 y = 0 得它与 x 轴的交点 ( x1 , 0) , 其中 x1 x0 f ( x0 ) 再在点( x1 , f ( x1 )) 作切线 , 可得近似根 x2 .
同理
结论：食用鱼和食肉鱼的平衡量恰为它们的
数量在一个周期内的平均值.
y
dx dy 0, 0 dt dt
dx dy 0, 0 dt dt
A
x(食用鱼)
o
dx dy 0, 0 dt dt
dx dy 0, 0 dt dt
3. D′A ncona现象的解释 为考察捕鱼业对两种鱼类的影响, 引入捕捞 能力系数ε，将方程(1)改写为
将战斗力参数值a=0.15, b=0.1 (人/h)代入方程(4)
dx dt 0.15 y , dy 0.1 x , dt x (0) x 0 10000, y(0) y0 5000,
因
2 ay0 0.15 (5000) 2 3.75 106
dy dt 0.1x 0 1000
t 0
最快歼 灭速度
意味着战斗开始时Y方军队的士兵以每小时
1000人的速度被歼灭，故战斗至少持续 5000/1000=5（小时）. 战斗结束时X军队余下士兵
2 2 (bx0 ay0 ) / b
10 10 3.75 10 7906 （名）
三. 捕食系统的Volterra方程 （狐狸与野兔问题） 上世纪初, 意大利生物学家U.D′A ncona在研 究中，发觉第一次世界大战期间从地中海捕获 的鱼中，鲨鱼等食肉鱼的比例十分明显地上升 了。他认为这一现象决非偶然，应是由战争期 间捕鱼量减少所致.
食肉鱼
食用鱼
人类 捕捞
捕鱼量减少，食用鱼的比例反而降低？ 数学家V.Volterra建立了一个数学模型给予解释. 模型建立： x(t) — t 时刻食用鱼（prey）的数量. y(t) — t 时刻食肉鱼 (predator) 的数量.
定性定量分析
定性--用文字语言图像进行相关描述 定量--用数学语言进行描述
定性分析与定量分析应该是统一的，相互补充 的；定性分析是定量分析的基本前提，没有定 性的定量是一种盲目的、毫无价值的定量；; 定量分析使之定性更加科学、准确，它可以促 使定性分析得出广泛而深入的结论
随着科学技术的发展，常微分方程定性分 析在各个学科领域已成为必不可少的数学工 具，也是数学建模的必备基础理论.
2）x =x0 或 x=x1时, 方程仅有一个单根；
x 3） [ x0 , x1 ] 时, 方程(2)无根.
3.对方程周期解的分析。 1.相轨线的形状
证明见 5.2.1
设方程的周期解为: x=x(t), y=y(t), t＞0, 则对
任意给定的t0＞0，存在t1＞0，使
x(t0)=x(t1), y(t0)=y(t1)
一. 微分方程定性理论的基本任务和 主要研究方法
极少情况下，能够用初等函数或初等函数 的积分表示微分方程的解.
数值解法举例：牛顿切线法
f ( x) 满足 : 1) 在 [a, b] 上连续, f (a) f (b) 0
2) 在 [a, b] 上 f ( x) 及 f ( x) 不变号 方程 f ( x) 0 在 (a, b) 内有唯一的实根 .
3. 计算失败的一方开始时必须投入多少士兵 才能赢得这场战斗？ 4. 战斗持续时间？ 记 x(t) — t 时刻X方存活的士兵数； y(t) — t 时刻Y方存活的士兵数；
有微分方程组：
dx ay , (a 0) dt dy bx , (b 0) dt
（4）
初始条件为 模型分析: 1. 分析方程组
其中参数b＞0，c＞0. 模型分析：关心相互制约的两类鱼种的总 变化趋势.
针对建模目的, 对微分方程进行以下分析工作：
1.讨论方程的平衡点； 2. 分析验证方程组是否有周期解； 3. 对方程组周期解进行分析； 4. D′A ncona现象的解释.
1.求平衡点
令
dx k1 x bxy 0; dt dy k y cxy 0. 2 dt 平凡的 k 2 k1 , 平衡点：(0, 0)与（x, y）=( ) c b