第二十一届北京高中数学知识应用竞赛决赛参考解答

第二十一届北京高中数学知识应用竞赛决赛参考解答

2018年3月25日

一、大学生张某，出行喜欢用共享单车，日常情况是周一到周五，每天要从宿舍到教学楼，骑行两个往返，每个单程用时10分钟；周末和国假回家（连续假日时，只需往返一次），从宿舍到家单程骑行要50分钟．有A、B、C、D四家共享单车公司，其收费规则如下：

公司计费付费优惠

A0.5元/次没有

B1元/次周末和国假骑行免费

C1元/次每月可以抽到一张奖券，用此券免费不计次连续骑行一周

D1元/次每骑行付费一次，下次骑行免费

其中，使用半小时为一次；使用不足半小时，按一次计费．

如果不考虑押金和服务等因素，仅从用车付费的角度，且只使用一个公司的单车，你认为张某在这个学期（2月26日到7月13日）日常情况下，用哪个公司的共享单车最划算？说明理由．

解这个学期有20周，19个周末（含三天国假清明、五一，端午），不足半小时的次数有(20×5−3)×4=388个，还有19×2=38个50分钟（回家、返校）的单程．对此，若用A公司的车，约需付费：388×0.5+38×1=232(元)；

若用B公司的车，约需付费：388×1=388(元)；

若用C公司的车，大体认为在4.5个月的周期里，可以免单4.5周，计费的学习日不超过15.5×5≈78天，周末加国假不超过15个，约为需付费不超过：78×4+15×4=372(元)；

若用D公司的车，约需付费：388

2

×1+38

2

×2=213(元)．

综上所述，选用D公司的车最省钱，也就是最划算。另外，如此高频地用自行车，建议购置一辆普通自行车可以进一步降低骑行成本．

二、马尔萨斯是十八世纪知名的人口学家，1798年在论文《关于人口学原理》（Essay on the Principle of Population）中阐述了这样的观点：“如果一个国家的人口以几何级数无限制地增长，很快就会有几百万人因缺乏食物而无法生活”．文中又说：“假设人口数每25年翻一番，而且农产品在第一个25年翻倍，随后就以算术级数连续增加．经过一百年，人口数就会增加到11200万．但是生活保障条件仅仅能够维持3500万人的生活，这时将有7700万人完全没有生活来源．这是一个非常令人震惊的局面”．对于“人口数每25年翻一番”这个假设，四十七年后，比利时学者威尔霍斯特于1845年使用美国1790年至1840年这五十年的人口普查数据（见表1）进行了验证。后来美国数学家佩尔等人于1920年又继续给出了其后从1850年至1910年这六十年的人口普查数据（见表2）．

表1美国1790年至1840年的人口普查数据年代

1790

1800

1810

1820

1830

1840

人口数3,929,8275,305,9257,239,8149,638,15112,866,02017,062,566

请你根据这两个表，用简单的计算检验一下这120年间，马尔萨斯关于人口数25年翻一倍的假设是否正确．

解

数据全部是每隔十

年有一个观测值，要验证25年人口数是否翻一倍，就需要有间隔为五年的数据．为此我们在每相邻的两个观测值之间插入这两个观测值的平均数作为这个期间第五年的人口数，于是就得到下表所列的数据．表中第三列给出了各年在25年后人口数的增长率，如表中第三列中的第一个数

1.15就是从1790年到1815年人口数的增长率，1.15=8438982÷3929827−1．由此可见，在1875年之前美国人口的25年增长率在1.05左右，可以认为每25年翻一倍．马尔萨斯的假设是成立的．但是在1875年以后随着人口数的增长，人口数的增长率在不断地降低，到1900年以后人口的25年增长率已经低于0.7，马尔萨斯关于25年人口翻倍的假设就不再成立了．

三、现有一种报警器，经测试，当灾难来临时它报警的概率是0.9999,当没有发生灾难时它不报警的概率是0.998．

使用这种报警器，可能会产生两种错误：一是因灾难来临时它没有报警，导致发生了灾难没有抢救，二是因没有发生灾难它报警，导致无谓地采取了抢救措施．这两种错误都会造成损失．不难看出，若只有一个报警器，发生这两种错误的概率分别是0.0001和0.002．

由于无法改善报警器的质量，为了降低这两种错误发生的概率，人们试图采取安装多个报警器的办法．

（1）如果安装两个报警器，可以有两种抢救方案：一种是只要有报警器报警就采取抢救措施；另一种是只有当两个报警器同时报警时，才采取抢救措施．请说明，无论哪一种方案都无法同时降低两种错误发生的概率．

（2）如果安装三个报警器，能否设计一种方案，使得两种错误发生的概率都会降低．如果能，请给出具体的设计；如果不能，请说明道理．

表2美国1850年至1910年的人口普查数据年代

1850

1860

1870

1880

1890

1900

1910

人口数23,101,87631,443,32138,558,37150,155,78362,947,71475,994,57591,972,200

年代人口数25年增长率

年代人口数25年增长率17903,929,827185527,272,598 1.1117954,617,876186031,443,321 1.1018005,305,925186535,000,846 1.0518056,272,869187038,558,3710.9218107,239,814187544,357,0770.9218158,438,982 1.15188050,155,7830.8418209,638,151 1.08188556,551,7480.79182511,252,850 1.12189062,947,7140.79183012,866,020 1.05189569,471,1440.80183514,964293 1.01190075,994,5750.71184017,062,566 1.02190583,983,3870.67184520,082,221 1.081910

91,972,200

0.63

1850

23,101,876

1.04