第14章 格与布尔代数

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a∧b = a, b∧c = b
由结合律知
a∧c = (a∧b)∧c = a∧(b∧c) = a∧b = a
所以a ≤ c，即关系 ≤ 是传递的。
故 ≤ 是偏序关系，即<L, ≤ >是偏序集。
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定理15.2.1 证明（续）
（2）证明：对任意a, b∈L，有 a∧b = a a∨b = b
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自然运算与自然偏序
任何偏序格<L, ≤ >都存在两个二元运算——保交 (*)和保联()，称之为格<L, ≤ >的自然运算； 代数格<L, ∧, ∨>都可以得到一个偏序关系 ≤ ， 称之为格<L, ∧, ∨>的自然偏序。
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离散数学
计算机科学与工程学院
电子科技大学 示 范 性 软 件 学 院 2020年5月21日星期四
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第15章 格与布尔代数
1 偏序格与代数格
2 集合格的的表性示质方法 3 子格与格同态
4
特殊格
5
布尔代数
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保交与保联
在格<L, ≤ >中，任取a, b∈G，则{a, b}的最大 下界和最小上界都是惟一存在的，且均属于L。 用a*b表示{a, b}的最大下界，称为a与b的保交， 用ab表示{a, b}的最小上界，称为a与b的保联， 即
a*b = GLB{a, b}，ab = LUB{a, b} 也可用∩和∪、·和＋、∧和∨分别表示保交和保 联
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对偶原理
对于格<L, ≤ >的任何命题，将保联运算与保交运 算分别换成对偶格<L, ≥>的保交运算和保联运算， 将命题中的“ ≤ ”换成对偶格<L, ≥>中的 “≥”，得到的一个关于对偶格<L, ≥>中的命题， 称这个命题为对偶命题。
即*满足结合律。
同理可证，满足结合律。
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定理15.2.1 证明（续）
对任意a, b∈L，因为a ≤ a，a ≤ ab，所以 a ≤ a*(ab)
显然a*(ab) ≤ a，故 a*(ab) = a
同理可证，a (a*b) = a。 故*与满足吸收律。 综上，<L, *, >是一个格。
由吸收律
a∧(a∨b) = a a ≤ a∨b
b∧(a∨b) = b b ≤ a∨b
因此，a∨b是{a, b}的一个上界。
设c∈L是{a, b}的任意一个上界，即a ≤ c，b ≤ c，于是有
a∨c = c，b∨c = c
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定理15.2.1证明（续）
事实上，若有a∧b = a，则由吸收律 a∨b = (a∧b)∨b = b
反之，若a∨b = b，再由吸收律 a∧b = a∧(a∨b) = a
因此，a ≤ b a∧b = a a∨b = b。
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定理15.2.1证明（续）
（3）证明：对任意a, b∈L，{a, b}存在最大下界 和最小上界。
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15.1 本章学习要求
重点掌握
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1 格的定义及 性质 2 子格与格同 态 3 特殊格 4 布尔代数
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一般掌握
2 1 格与布尔代 数的证明
了解
3 1 斯通定理 2 布尔函数
3
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偏序格
比较右边两个哈 斯图的不同？
定理15.2.1
偏序格与代数格是等价的。 证明 先证偏序格是代数格。 设<L， ≤ >是一个格，*和分别是L上的保交和 保联。对任意a, b∈L，由最小上界和最大下界的 惟一性知，
a*b = b*a，ab = ba 即*和都满足交换律。
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容易证明，关于格<L, ≤ >的任何真命题，其对应 的对偶命题在对偶格<L, ≥>中也是真命题，把这 个原理称为对偶原理。
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性质15.2.1
设<L, ≤ >是格，“≥”是“ ≤ ”的逆关系。则对
任意a, b, c, d∈L，有
（1）自反性：a ≤ a； a≥a
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例15.2.2
判断哈斯图如下图所示的几个偏序集是否是格。
g
e
e
e
e
f
e fd
d
d
c
b cd b
b cb
bc
dd e cb c
a
a
a
a
a
a
(a)
(ab)
(c)
(d)
(e)
(f)
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对偶格
对于集合L的任何偏序关系“ ≤ ”，其逆关系 “≥”也是集合L上的偏序关系； 对L的任意子集T，T在偏序集<L, ≤ >中的最大下 界和最小上界分别是<L, ≥>中的最小上界和最大 下界。 因此偏序集<L, ≤ >是格当且仅当<L, ≥>是格， 我们称此两个格为对偶格； 格<L, ≤ >的保联运算与保交运算分别是对偶格<L, ≥>的保交运算和保联运算。
由结合律知 (a∨b)∨c = a∨(b∨c) = a∨c = c 故有a∨b ≤ c，即a∨b是{a, b}的最小上界。 同理，a∧b是{a, b}的最大下界。 故<L, ≤ >是一个格。且有
a*b = a∧b， ab = a∨b
注意：偏序格与代数格等价，今后就不再区分偏 序格与代数格了，而把它们统称为格。
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定理15.2.1证明（续）
再证一个代数格是一个偏序格。
设代数系统<L, ∧, ∨>一个格，在L上定义一种关 系“ ≤ ”如下： 对任意a, b∈L，有
a ≤ b a∧b = a (1)
分下面3步证明。
（1）证明 ≤ 是偏序关系。
对任意a∈L，由吸收律有
24 8
12 4
6 2
3 1
(b)
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例15.2.1 解（续）
（4）因为在全序集<L, ≤ >中，对任意a, b∈L， 都有a ≤ b或b ≤ a成立。 若a ≤ b成立，则{a, b}有最大下界为a，最小上 界为b； 若b ≤ a成立，则{a, b}有最大下界为b，最小上 界为a； 故<L, ≤ >是一个格。
定理15.2.1 证明（续）
对任意a, b, c∈L，因为(a*b)*c ≤ a*b ≤ b， (a*b)*c ≤ c，所以
(a*b)*c ≤ b*c
又因为(a*b)*c ≤ a*b ≤ a，于是有
(a*b)*c ≤ a*(b*c)
同样有，a*(b*c) ≤ (a*b)*c。故
(a*b)*c = a*(b*c)
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例15.2.1
（1）考虑偏序集<Z+, D>，其中Z+是正整数，D是 一个整除关系，问此偏序集<Z+, D>是否是一个格？
（2）设A是一个集合，P(A)是A的幂集，是集合上 的包含关系，问此偏序集<P(A), >是否是一个格？
（3）考虑偏序集<Sn, D>，其中D是一个整除关系， Sn是n的所有因子的集合，问此偏序集<Sn, D>是否 是一个格？
e
f
d
c
a
b
(a)
d
b
c
a (b)
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定义15.2.1
设<L, ≤ >是一个偏序集，如果对任意a, b∈L， {a, b}都有最大下界和最小上界存在，则称<L, ≤ >是格，简称L是格。若L为有限集，则称格<L, ≤ >为有限格。
暂且把由偏序关系定义的格称为偏序格
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定义15.2.2
设<L, ∧, ∨>是具有两个二元运算的代数系统， 如果运算∧和∨满足交换律、结合律和吸收律，则 称<L, ∧, ∨>为格。 把由代数系统定义的格称为代数格。
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