三重积分的概念及直角坐标系下的计算

∫∫∫ f ( x, y, z )dv = ∫
Ω
d
c
dz ∫
f
y2 ( z )
y1 ( z )
dy ∫
x2 ( y , z )
x1 ( y , z )
f ( x, y, z )dx.
将积分域Ω投影到xo 平面， 将积分域Ω投影到xo z平面，可以得到
∫∫∫ f ( x, y, z )dv = ∫
Ω
e
例 5 计算三重积分 ∫∫∫ y 1 − x 2 dxdydz ，其中 Ω 由曲面 y = − 1 − x 2 − z 2 ， x 2 + z 2 = 1， y = 1所 围成. 围成
Ω
解 如图, 将 如图, Ω 投影到 zox 平面得
D xz： x + z ≤ 1
2 2
积分， 先对 y 积分，再求 D xz 上二重积分,
∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz= lim∑ f (ξi ,ηi ,ζ i )∆vi . λ→0 i =1
Ω
n
其中 dxdydz 叫做直角坐标系中的体 积元素.
二、在直角坐标系下计算三重积分
直角坐标系中将三重积分化为三次积分． 直角坐标系中将三重积分化为三次积分．
闭区域 Ω 在 xoy 如图， 如图， 面上的投影为闭区域 D, S1 : z = z1 ( x , y ), S 2 : z = z2 ( x , y ),
∵ D : y1 ( x ) ≤ y ≤ y2 ( x ),
a ≤ x ≤ b, 得
∫∫∫ f ( x , y, z )dv Ω
=
∫a dx ∫y ( x ) dy ∫z ( x , y )
1 1
b
y2 ( x )
z2 ( x , y )
f ( x , y , z )dz .
注意 这是平行于 z 轴且穿过闭区域 Ω 内部的
解
2
Ω : 0 ≤ z ≤ x2 + y2 ,
1 1 x2 + y2
x ≤ y ≤ 1 dy ∫0
f ( x , y , z )dz .
截面法的一般步骤： 截面法的一般步骤： (1) 把积分区域Ω 向某轴（例如 z 轴）投影，得投 向某轴（ 投影， 影区间[c1 , c2 ]； (2) 对 z ∈ [c1 , c2 ]用过z 轴且平行 xoy 平面的平面去 截Ω ，得截面 Dz ;
F ( x, y) = ∫
z2 ( x , y ) z1 ( x , y )
f ( x , y , z )dz
计算 F ( x , y ) 在闭区间 D 上的二重积分
∫∫ F ( x , y )dσ = ∫∫ [∫
D D
z2 ( x , y )
z1 ( x , y )
f ( x , y , z )dz ]dσ .
x y z ∵ Dz = {( x , y ) | 2 + 2 ≤ 1 − 2 } a b c
z z 2 ∴ ∫∫ dxdy = π a (1 − 2 ) ⋅ b (1 − 2 ) c c D
2
z
2
2
2
2
2
z2 = πab(1 − 2 ), c 2 c 4 z 2 πabc 3 . 原式 = ∫ πab(1 − 2 ) z dz = −c 15 c
Ω
即
∫∫∫ f ( x , y , z )dv = lim ∑ f (ξ i ,η i , ζ i )∆vi . λ →0 i =1
Ω
n
其中 dv 叫做体积元素 .
在直角坐标系中， 在直角坐标系中，如果 用平行于坐标面 的平面来划分 Ω , 则 ∆v i = ∆x j ∆yk ∆z l .
重 记 三 积 为
2
dy ∫x
2− x 2
2
+2 y
2
f ( x , y , z )dz .
例2
化三重积分 I =
∫∫∫ f ( x , y , z )dxdydz 为三
Ω
次积分， 次积分，其中 积分区域
Ω 为由曲面 z = x 2 + y 2 , 2 y = x , y = 1, z = 0 所围
成的空间闭区域. 如图， 成的空间闭区域 如图，
解
∫∫∫ zdxdydz = ∫0 zdz ∫∫ dxdy,
Ω
Dz
1
z
1
Dz = {( x , y ) | x + y ≤ 1 − z }
1 ∫∫ dxdy = 2(1 − z )(1 − z ) D 1 1 1 2 . 原式= ∫ z ⋅ (1 − z ) dz = 0 2 24
z
o
1
y
x
1
例 4 计算三重积分 ∫∫∫ z dxdydz ，其中 Ω是
dx ∫
z2 ( x )
z1 ( x )
dz ∫
y2 ( x , z )
y1 ( x , z )
f ( x, y, z )dy.
例 1 化三重积分 I =
∫∫∫ f ( x , y , z )dxdydz 为三
Ω
次积分， 次积分，其中积分区域Ω 为由曲面 z = x + 2 y
2
2
所围成的闭区域. 及 z = 2 − x 所围成的闭区域
2
z = x2 + 2 y2 , 解 由 2 z = 2− x
得交线投影区域
x + y ≤ 1,
2 2
−1≤ x ≤1 2 2 故 Ω ： − 1 − x ≤ y ≤ 1 − x , x2 + 2 y2 ≤ z ≤ 2 − x2
∴ I = ∫−1 dx ∫−
1
1− x 2 1− x
原式 = ∫∫ 1 − x dxdz ∫
2 Dxz
1
2 2
− 1− x − z
ydy
= ∫ dx ∫
−1
1
1− x 2
− 1− x 2
x2 + z2 1 − x2 dz 2
=∫
1
−1
z 3 1− x 2 2 2 1 − x ( x z + ) |− 1− x 2 dx 3
28 1 2 4 = ∫ (1 + x − 2 x )dx = . −1 3 45
2 Ω
x2 y2 z2 所成的空间闭区域. 由椭球面 2 + 2 + 2 = 1所成的空间闭区域 a b c
解
Ω : {( x , y , z ) | − c ≤ z ≤ c , x2 y2 z2 + 2 ≤ 1− 2} 2 a b c
z
Dz
o
y
原式 =
∫
c
−c
z dz ∫∫ dxdy ,
2 Dz
x
过点 ( x , y ) ∈ D 作直线,
穿入， 穿出． 从 z1 穿入，从 z2 穿出．
b a
z
z = z2 ( x , y )
z2 S 2
Ω
z1 S1
z = z1 ( x , y )
o
( x, y )
D
y
y = y2 ( x )
x
y = y1 ( x )
看作定值， 先将 x , y 看作定值，将 f ( x , y , z )只看作 z 的 函数， 函数，则
(3) 计算二重积分 ∫∫ f ( x , y , z )dxdy
Dz
z
其结果为 z 的函数 F (z ) ； (4)最后计算单积分 ∫ F ( z )dz 即得三重积分值. 最后计算单积分
c1 c2
例3
计算三重积分 ∫∫∫ zdxdydz ，其中 Ω 为三个
Ω
所围成的闭区域. 坐标面及平面 x + y + z = 1所围成的闭区域
直线与闭区域 Ω 的边界曲面 S 相交不多 于两点情形． 于两点情形．
在类似的条件下， 在类似的条件下，还可 将积分域投影到其它 应的计算公式，例如， 坐标面上， 坐标面上，分别得到相 应的计算公式，例如， 将积分域Ω投影到yo 平面， 将积分域Ω投影到yo z平面，可以得到三重 积 分的计算公式
1
三、小结
三重积分的定义和计算
（计算时将三重积分化为三次积分） 计算时将三重积分化为三次积分） 在直角坐标系下的体积元素
dv = dxdydz
3.4 三重积分的概念及直角坐 标系下的计算
一、三重积分的概念 二、在直角坐标系下计算三重积分 三、小结
一、三重积分的概念
设 f ( x , y , z ) 是 空 间 有 界 闭区 域 Ω 上 的 有 界 函 数 ， 将 闭 区 域 Ω 任 意 分 成n 个 小 闭 区 域 ∆ v1 ， ∆ v 2 ,⋯ , ∆ v n ， 其 中 ∆ v i 表 示 第 i 个 小 闭 区 域 ， 也 表 示 它 的 体 积 , 在每 个 ∆ v i 上 任 取 一 点 (ξ i , η i , ζ i ) 作 乘 积 f (ξ i , η i , ζ i ) ⋅ ∆ v i ， ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) ， 并 作 和 , 如 果 当 各 小 闭 区域 的 直 径 中 的最 大 值 λ 趋 近 于 零 时 ， 这 和 式 的 极限 存 在 ， 则 称此 极 限 为 函 数 f ( x , y, z )在闭区域 Ω 上的三重积分，记为 ∫∫∫ f ( x , y , z ) dv ,