指数函数对数函数和幂函数(答案)
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指数函数对数函数和幂函数
一、指数函数与对数函数和幂函数 （一）学习要点：
1．指数函数：
①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x
且称指数函数， 1）函数的定义域为R ， 2）函数的值域为),0(+∞， 3）当10<a 时函数为增函数.
②函数图像：
1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限，
2）指数函数都以x 轴为渐近线（当10<a 时， 图象向右无限接近x 轴）， 3）对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x
x
a y a y -==与的图象关于y 轴对称.
③函数值的变化特征：
2．对数函数：
①定义：函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且称对数函数， 1） 函数的定义域为),0(+∞，
2） 2）函数的值域为R ，
3）当10<a 时函数为增函数，
10< 1>a ①100<<>y x 时， ②10==y x 时， ③10> 4）对数函数x y a log =与指数函数)1,0(≠>=a a a y x 且互为反函数. ② 1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限， 2）对数函数都以y 轴为渐近线（当10<a 时， 图象向下无限接近y 轴）. 4）对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x y x y a a 1log log ==与的图象关于x 轴对称. ③函数值的变化特征： 3．幂函数 （1）幂函数的定义： 。 （2）幂函数的性质： ①所有幂函数在 上都有意义，并且图像都过点 。 ②如果0a >，则幂函数图像过原点，并且在区间 上为增函数。 ③如果0a <，则幂函数图像在()0,+∞上是 。在第一象限内，当x 从右边趋向于原点时，图像在y 轴右方无限地逼近 。当x 趋向于+∞时， 图像在y 轴 右方无限地逼近 。 ④当a 为奇数时，幂函数为 ，当a 为偶数时，幂函数为 ， （3）幂函数[)0a y x ,x ,=∈+∞，当1a >时，若01x ,<<其图像在直线y x =的下方， 若1x >，其图像在直线y x =的上方；当01a <<时，若01x ,<<其图像在直线y x = 的上方，当1a >时，若1x >其图像在直线y x =的下方。 10< 1>a ①01<>y x 时， ②01==y x 时， ③010>< ③100<< 1．（1）下列函数中既是偶函数又是(,0)-∞上是增函数的是（C ） A ．43 y x = B ．32 y x = C ．2 y x -= D ．14 y x - = 提示：A 、D 中的函数为偶函数，但A 中函数在(,0)-∞为减函数，故答案为C ． （2）函数4 3 y x =的图象是（ A ） （3）函数2 lg(1)1y x =-+的图像关于（ C ） A ．x 轴对称 B ．y 轴对称 C ．原点对称 D ．直线y x =对称 提示：21()lg(1)lg 11x y f x x x -==-=++，由101x x ->+得函数的定义域为(1,1)- ∵ 1111()lg lg()lg ()111x x x f x f x x x x -+---===-=--++，∴ ()f x 为奇函数，答案为C ． （4）函数212 log (617)y x x =-+的值域是(,3]-∞- 提示：令22617(3)88t x x x =-+=-+≥，12 log y t =，112 2 log log 83t ≤=-． （5）下列命题中，正确命题的序号是 ④ ①当0=α时函数y x α=的图象是一条直线；②幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点； ③若幂函数y x α=是奇函数，则y x α=是定义域上的增函数；④幂函数的图象不可能出现在第四象限． 提示：①错，当0=α时函数y x α=的图象是一条直线（去掉点（0，1））； ②错，如幂函数1 y x -=的图象不过点（0，0）；③错，如幂函数1 y x -=在定义域上不是增函数；④正确，当0x >时，0x α>． 2. 求下列函数的定义域、值域： ①4121 2 - = --x y ; ②)54(log 2 3 1++-=x x y 1 11,02 x y -<<≤≤ 15,2x y -<<≥- 3．已知函数3()2log (19)f x x x =+≤≤，求函数22[()]()y f x f x =+的最大值和最小值，并求出相应x 的值． min max 1,6;3,13x y x y ==== 4．已知910390x x -⋅+≤，求函数111()4()242 x x y -=-+的最大值和最小值. 解：由910390x x -⋅+≤得(31)(39)0x x --≤，解得139x ≤≤.∴0≤x ≤2.令（ 21）x =t ，则4 1≤t ≤1，y =4t 2－4t +2=4（t － 21）2+1.当t =2 1 即x =1时，y min =1；当t =1即x =0时，y max =2. [点评]含指数不等式的解法及指数函数的性质和换元思想的综合应用 5. 已知2()(1)1 x x f x a a x -=+ >+ (1)证明函数f(x)在(1,)-+∞上为增函数；(2)证明方程0)(=x f 没有负数解． 解：(1)任取12,(1,),x x ∈-+∞且12x x <,则2 1 1,x x a a a >∴>, 又 2121221 1 x x x x ---++= 21213()0(1)(1) x x x x ->++,21()()f x f x ∴>,故f(x)在(1,)-+∞上为增函数． (2)设存在000,1x x <≠-,满足0()0f x =,则0 0021 x x a x -=- +,由0 01x a <<得002011 x x -<- <+,即 0122 x <<与假设矛盾,所以方程无负数解． [点评]指数函数的单调性及指数函数的有界性 6．设⎭ ⎬⎫⎩⎨⎧ -∈3,21,1,1α，则使函数αx y =的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为（ A ） A .1,3 B .-1,1 C .-1,3 D .-1,1,3 7．若)2(log ax y a -=在]1,0[上是减函数,则a 的取值范围是 ( C ) A .)1,0( B .)2,0( C .)2,1( D .),2(+∞ 8．已知函数()f x =,)0(,2)0(log 2⎩⎨ ⎧≤>x x x x 若f (a )=21 ， a ＝ . -1 9.设0,1a a >≠，函数2 lg(23) ()x x f x a -+=有最大值，则不等式() 2log 570a x x -+>的解集 为 . 解析 设0,1a a >≠，函数2 lg(23) ()x x f x a -+=有最大值，∵2 lg(23)lg 2x x -+≥有最小 值，∴ 0 log 570a x x -+>的解为22570 571 x x x x ⎧-+>⎨-+<⎩，解得2 以不等式的解集为()2,3.