数学建模的应用(安全工程)

煤矿瓦斯爆炸危险性评价数学模型及应用

孟祥平

安全11-3班22号

摘要对高瓦斯矿井，建立了以采煤工作面日产量之和最大为目标函数，以采煤工作面日产量、各巷道风量、各巷道调节量、主要通风机风量、煤矿瓦斯情况和风压为决策变量的评价线性代数模型。根据模型来评价煤矿瓦斯爆炸的危险性。

关键词矿井瓦斯数学建模模糊数学矩阵爆炸性评价

近年来，我国部分煤炭企业由于各种原因导致瓦斯积聚，引发的瓦斯爆炸事故时有发生。事故的后果往往都非常的严重。这些事故的发生往往是由于矿井内瓦斯的监控监测系统不够完善通风系统往往也是造成事故的原因之一。综合这些原因就是对煤矿瓦斯爆炸在不同情况下的危险性没有很好的评价，所以对瓦斯爆炸的预防就是一个弱点。基于此，对煤矿瓦斯爆炸危险性评价就先的尤为重要。本文主要应用数学建模、线性代数以及煤矿瓦斯等方面的知识，建立煤矿瓦斯爆炸危险性评价数学模型。

1 煤矿瓦斯爆炸危险性评价指标的建立

指标体系的选择是安全评价研究内容的基础和关键，指标体系应能够反映评价内容的主要特征和基本状况。在对新汶矿业集团某矿的瓦斯爆炸危险性调查、分析的基础上，我们确定了瓦斯爆炸危险性的评价指标，如图1所示。

图1 瓦斯爆炸危险性评价指标结构图（层次结构模型）

2 用层次分析法确定评价指标权重

2.1 层次分析法的原理[1]

1973年美国运筹学家T.L.Saaty针对现代管理中存在的许多复杂、模糊不清的相关关系

如何转化为定量分析的问题，提出了一种层次权重决策分析法（Analytical Hirerarchy Process,即AHP ）。简称层次分析法。AHP 的基本思想是先按问题的要求建立起一个描述系统功能或特征的内部独立的递阶层次结构，通过两两比较因素的相对重要性，给出相应的比例标度，构造上层某要素对下层相关元素的判断矩阵，以给出相关元素对上层某要素的相对重要序列。层次分析法的一般步骤为：

2.1.1 建立递阶层次结构模型

递阶层次是关于系统结构的抽象概念，是为研究系统各组成部分的功能的相互作用，以

及他们对整个系统的影响而构造的。通常模型结构分为3层，如图2。

图2 递阶层次结构

① 目标层。这是最高层，是指分析问题的预定目标或理想结果。

② 准则层。该层为中间层，为评价准则或衡量准则，也可为因素层、约束层，可再分为子准则、子因素层。

③ 措施层。这是最低层，表示为实现目标可提供选择的各种措施、指标等。

2.1.2 构造两两判断矩阵

应用层次分析法解决决策中的权重分配问题，依据是两两比较的标度和判断原理。Saaty 教授巧妙地运用了模糊数学理论，集人类判断事物好坏、优劣、轻重、缓急的经验方法，提出了1～9的比例标度，见表1。

判断矩阵n n ij a A ⨯=)(有如下性质：

)3,2,1,(1a 01⋯⋯==>=j i a a a ji ij ij ii ；；

表1 比例标度的意义

标度值 定义 说明

1 同样重要 两元素的重要性相等 3

稍微重要

一个元素的重要性稍高于另一个

措施层 目标层 准则层

5 明显重要 一个元素的重要性明显于另一个 7 强烈重要 一个元素的重要性强烈于另一个 9 绝对重要

一个元素的重要性绝对于另一个

2,4,6,8

为上述相邻判断的中值

若因素i 与因素j 比较得ij a ，则因素j 与因素i 比较得ij a 1

2.1.3 层次分析的计算

对于两两比较得到的判断矩阵A ，解特征根问题：W AW m ax λ=，所得到的W 经正规化后作为元素的排序权重。数学上已证明，对于正定互反矩阵A ，其最大特征根max λ存在且唯一，W 可以由正分量组成，除差一个常数倍外，W 是唯一的。实际上，对A 很难求出精确的特征值max λ和特征向量W ，只能求它们的近似值，计算方法一般有幂法、和积法以及根法，通常采用根法[2]

，其计算步骤如下：

⑴判断矩阵A 的元素按行相乘，得到行元素的乘积i M

∏===n

i ij

i n j i a M 1),...,2,1,( （1）

⑵各行的乘积i M 分别开n 次方，得到i W '

i W '=n i M (i=1,2,…,n) （2）

⑶将向量W '归一化

n i W W W n

j j

i i ,....,11

='

'

=∑= （3）

⑷计算判断矩阵的最大特征根max λ

[]∑==n

i i i nW AW 1

max )(λ （4）

（4）式中i AW )(表示AW 的i 个分量。

2.1.4 判断矩阵的一致性检验

判断矩阵的一致性指标为：

)1()(m ax --=n n CI λ （5）

（5）式中的n为n判断矩阵的阶数。

平均随机一致性指标RI，RI是多次（大于500次）重复进行随机判断矩阵特征值得计算后取算术平均值得到的。RI的取值如表2所示。

表2 RI的取值

阶数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

RI 0 0 0.52 0.80 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54

计算一致性比例CR

CR=（6）

CI

RI

当1.0

CR时，一般认为A的一致性是可以接受的。否则需要重新调整判断矩阵，直至<

满足一致性检验。

2.2 用层次分析法确定影响煤矿瓦斯爆炸因素的权重

2.2.1 建立层次结构模型

根据新汶矿业集团某矿的实际情况，绘出的层次结构模型同图1。

2.2.2 建立两两判断矩阵

两两判断矩阵的确定是根据专家和现场较权威的业内人士所给的两两判断矩阵的基础上，对个别比值与其他专家所给比值相差较大的，进行剔除，然后求平均值获得，如表3所示。

表3 瓦斯爆炸危险性判断矩阵

2.2.3 计算权向量

由（1）、（2）、（3）、（4）式可求得：