将三角形的周长和面积同时平分的直线

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将三角形的周长和面积同时平分的直线

问题 已知三角形三边长分别为4，6，8，那么同时平分这个三角形的周长和面积的直线有几条呢？

一般地，如图，直线L 将∆ABC 的周长和面积都平分，L 与边AB,AC 分别交于D,E 点，设m=AD, n=AE, 其内角A 为ϑ，三角形面积为∆，半周长为s, 则

11sin sin 22m n s m n s mn mn ϑϑ⎧+=+=⎧⎪⎪⇔∆⎨⎨==∆⎪⎪⎩⎩

说明m,n 是关于x 的方程20sin x sx ϑ∆-+

=的两根，它有实数解的充要条件为 22440sin .sin s s

ϑϑ∆∆-≥⇔≥ 是否任意一个三角形都存在这样的直线L 呢？若存在，最多有几条？

关于三角形的面积∆与半周长s 平方的比的上下界,

有命题：

22400

s s ∆∆<≤⇔<≤<（证明略） 因为任意一个三角形的三个内角中至少有一个内角不小于60º，也就是说必有（至少有一个）一个内角ϑ使得24sin .s ϑ

∆≥

下面我们来分析本文开头的问题：

这里，s=9, 2224681cos ,sin 2464A

A +-==-=⨯⨯

∆=该问题有解sin ϑ

⇒≥=

这里 sinB=sin

1627b A a

=>; sin sin

827

c A C a

==< sin 427

A => (1) 若

B ϑ=， 则916

m n mn +=⎧⇒⎨=⎩m,n 是方程29160x x -+=的两根，

()()9990,2.5, 6.5,8222

x +=∈∈。

在边BC, BA 上分别取点E ，D 使BE=

9922BD =直线DE 即为所求。 （2）若A ϑ=，则912

m n mn +=⎧⇒⎨=⎩m,n 是方程29120x x -+=的两根，

()()1.5,27,7.5x =，

说明在线段AC （角A 的夹边的较长边）上找不出点F 使得AF =

条件的解不存在。

（3）若ϑ=C, sin C =<, 无解。 综合，满足题设条件的直线L 只有一条，即情形（1）所示。