数阵图(二)(含详细解析)

1. 了解数阵图的种类
2. 学会一些解决数阵图的解题方法
3. 能够解决和数论相关的数阵图问题
.
一、数阵图定义及分类：
1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.
2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.
3.
二、解题方法：
解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；
第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；
第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．
复合型数阵图
【例 1】 由数字1、2、3组成的不同的两位数共有9个，老师将这9个数写在一个九宫格上，让同学选数，每
个同学可以从中选5个数来求和．小刚选的5个数的和是120，小明选的5个数的和是111．如果两人选的数中只有一个是相同的，那么这个数是_____________．
31
32
33
212223131211
【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，决赛，3题
【分析】 这9个数的和：111213212223313233++++++++
10203031233198=++⨯+++⨯=（）（）
例题精讲
知识点拨
教学目标
5-1-3-2.数阵图
由小刚和小明选的数中只有一个是相同的，可知他们正好把这9个数全部都取到了，且有一个数取了两遍．所以他们取的数的总和比这9个数的和多出来的部分就是所求的数．那么，这个数是
12011119833+-=．
【答案】33
【例 2】 如图1，圆圈内分别填有1，2，……，7这7个数。

如果6个三角形的顶点处圆圈内的数字的和是64，
那么，中间圆圈内填入的数是 。

【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，复赛，第5题，5分
【解析】 2 【答案】2
【例 3】 如下图（1）所示，在每个小圆圈内填上一个数，使得每一条直线上的三个数的和都等于大圆圈上三
个数的和.
（1）
17
8
94
【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 为叙述方便，先在每个圆圈内标上字母，如图（2），
（2）
a c
b
49817
则有a+4+9=a+b+c （1）
b+8+9=a+b+c （2）
c+17+9=a+b+c （3）
（1）+（2）+（3）：（a+b+c ）+56=3（a+b+c ），a+b+c=28，则 a=28－（4+9）=15，b=28－（8+9）=11，
c=28-（17+9）=2解：见图.
17
89411
2
15
【答案】
17 8
9
4
112
15
【例 4】请你将数字1、2、3、4、5、6、7填在下面图（1）所示的圆圈内，使得每个圆圈上的三个数之和与每条直线上的三个数之和相等.应怎样填？
【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】填空
【解析】为了叙述方便，将各圆圈内先填上字母，如图（2）所示.设A+B+C=A+F+G=A+D+E=B+D+F=C+E+G=k （A+B+C）+（A+F+G）+（A+D+E）+（B+D+F）+（C+E+G）=5k，3A+2B+2C+2D+2E+2F+2G=5k，2（A+B+C+D+E+F+G）+A=5k，2（1+2+3+4+5+6+7）+A=5k，56+A=5k.，因为56+A为5的倍数，得A=4，进而推出k=12，因为在1、2、3、5、6、7中，1+5+6=7+3+2=12，不妨设B=1，F=5，D=6，则C=12-（4+1）=7，G=12-（4+5）=3，E=12-（4+6）=2.，解：得到一个基本解为：（见图）
7
6
5
4
3
2
1
【答案】
7
6
5
4
3
2
1
【例 5】在左下图的每个圆圈中填上一个数，各数互不相等，每个圆圈有3个相邻(即有线段相连的圆圈)的圆圈。

将左下图中每个圆圈中的数改为3个相邻圆圈所填数的平均值，便得到右下图。

如果左下图中已有一个数1，请填出左下图中的其它数，使得右下图中的数都是自然数。

【考点】复合型数阵图【难度】4星【题型】填空
【关键词】走美杯，6年级，决赛，第10题，10分
【解析】答案不唯一。

要求四个灰色圆圈中所填的数除以3的余数相同，另外四个圆圈中所填的数除以3的余数也相同。

注：题中左、右两图是两个不同的图，左图要求各数互不相同(见答案)，右图中各数是根据左图改的，只要求是自然数，可以相同。

【答案】
【例 6】 将1至8这八个自然数分别填入图中的正方体的八个顶点处的内，并使每个面上的四个
内的数字
之和都相等。

求与填入数字1的有线段相连的三个内的数的和的最大值。

【考点】复合型数阵图 【难度】4星 【题型】填空 【考点】 【难度】星 【题型】填空
【关键词】希望杯，六年级，二试，第13题，15分
【解析】 因为1到8的和为36，而上面四个数的和等于下面四个数的和，所以都为18。

因为每个面的数字和相
等，所以一个面上应当大小数搭配，也就是说，和最小的数字1在同一个面上的应该有较大的数。

尝试最大的三个数8，7，6，则和1，8，7在同一个面上的数应该是18-1-8-7=2，和1，8，6在同一个面上的数应该是18-1-8-6=3，和1，7，6在同一个面上的数应该是在同一个面上的数应该是18-1-7-6=4，剩下一个5填在剩下的○中，经检验，符合题意，那么与1相连的三个○的和是67821++=
6
1
82
7
4
5
3
【答案】21
【例 7】 将自然数1到11分别填在右图的圆圈内，使得图中每条直线上的三个圆圈内的数的和相等．
18-c -d 18-b -c
c +
d -6
b+c -612-d
12-c
12-b d
c
b
6
11
10
9
8
75
4
32
16
【考点】复合型数阵图 【难度】5星 【题型】填空
【解析】 设左下角的数为a ，每条直线上的三个数的和为S ．由于这11个数的和为121166+++=．从左下
角引出的5条直线的总和为5S ，其中左下角的数多计算了4次，则5664S a =+；又由三条横线及左下角引出的一条斜线上的数的总和可得466S a =+．从而结合上面的两个式子可得18S =，6a =，即左下角的数为6，每条线上的数之和为18．再设大正方形其他三个圆圈上的数分别为b ，c ，d ，于是可得各个圆圈中的数如图所示．除6以外的10个数分别为：b ，c ，d ，12b -，12c -，12d -，18b c --，
18c d --，6b c +-，6c d +-．由于18121818b c c c d --+-+--=，得到330b c d ++=，即303b d c +=-．所以，只要选取适当的b ，c ，d 的值，使得上面的10个数各不相同即可．比如，选
择9c =，1b =，2d =，则可得到如右上图所示的一种填法．本题答案不唯一，下面再给出两种填法。

3
10
52
7
94
86
111
5
4
98
3
7102
111
6
【答案】
3
10
52
7
94
86
111
5
4
9
8
3
7102
111
6
【例 8】 在下图中，在每个圆圈中填入一个数，使每条直线上所有圆圈中数的和都是234，那么标有★的圆圈
中所填的数是_____________．
★f
e
d
c b a
★
【考点】复合型数阵图 【难度】5星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，决赛，11题
【分析】 为表述方便，将圆圈中数用字母替代（如右图）．
根据题意，有
234a f ++=★ ⑴
234b c ++=★ ⑵ 234e d ++=★ ⑶ 234a b e ++= ⑷ 234c d f ++= ⑸
⑴+⑵+⑶-⑷-⑸，有3234⨯=★，即234378=÷=★．
【答案】78
【例 9】 请将1，2，3，…，10这10个自然数填入图中的10个小圆圈内，使得图中的10条直线上圆圈内数
字之和都相等．那么乘积A B C ⨯⨯= ？
C
B A
【考点】复合型数阵图 【难度】5星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，高年级，决赛，10题
【解析】 对于本题，可以通过“10条直线上圆圈内数字之和都相等”(实际上是11条)这一等量关系，将每一个小
圆圈中的数表示出来．由于每一条直线上的数之和都为A B C ++，可得图中每一个小圆圈中的数如下图。

由于中间竖直方向的线段以及从左下角A 出发的只有两个数字的那条线段，它们的数字和都是
A B C ++，可以得到，332A B C B C A C ++=-=-，可得2A B C =+，代入得2333B C B C +=-，
即6B C =，只能是1C =，6B =，28A B C =+=，则86148A B C ⨯⨯=⨯⨯=
【答案】86148A B C ⨯⨯=⨯⨯=
【例 10】 下图中有11条直线．请将1至11这11个数分别填在11个圆圈里，使每一条直线上所有数的和相等．求
这个相等的和以及标有*的圆圈中所填的数．
﹡
【考点】复合型数阵图 【难度】5星 【题型】填空
【解析】 设每行的和为S ，在左下图中，除了a 出现2次，其他数字均只出现了1次，并且每个数字都出现了，
于是有4(12311)66S a a =+++
++=+；
a ﹡ a
﹡
在右上图中除了a 出现5次，其他数字均只出现了1次，并且每个数字都出现了，于是有5(12311)4664S a a =+++
++=+．
综合以上两式，4665664S a
S a =+⎧⎨=+⎩
，解得6a =，18S =．
考虑到含有*的五条线，有4(12311)18590t *+++++-=⨯=，即424t *-=．
可见t 是4的倍数，在1～11间可能为4和8，但t 为8时*也为8，重复．所以4t =，7*=． 即每行相等的和为18，标有*的圆圈中所填的数为7． 最终的填法如右下图．
t ﹡
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
【答案】
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
【例 11】“美妙的数学花园”这7个字各代表1~7中的一个数，并且每个圆中4个数的和都是15。

如果学比美大，美比园大，那么，园表示。

【考点】复合型数阵图【难度】5星【题型】填空
【关键词】（走美杯3年级决赛第11题，12分）
【解析】首先找出从1到7中四个数之和为15的有以下四组：①1、2、5、7；②2、3、4、6；③1、3、4、7；④1、3、5、6需要从其中选出3组，其中每两个组间都有两个相等的数，且这三组都含有同一个数，分析发现这三组可为①、③、④或②、③、④，当这三组数为①、③、④时即1，2，5，7；1，3，4，7；1，3，5，6．其中①、③公有的是1，7；①、④公有是1，5；③、④公有1，3，即“妙，花，数”应为3，7，5其中之一．则剩下数字2，4，6应为美、学、园其中之一．又因为学>美>园，所以学6=，美4=，园2=．当这三组数为②、③、④时同样的方法可分析出园2=．
美5
花4
妙1
学7
的3
数6
园2
【答案】2
【例 12】图2中的五个问号分别表示五个连续的自然数，它们的和等于130，三角形内两个数的和等于53，圆内三个数的和等于79，正方形内两个数的和等于50。

那么，从左向右，这五个问号依次是
？
？
？
？
？
【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】填空
【关键词】希望杯，四年级，复赛，第5题，5分
【解析】根据题意答案为：25，28，27，24，26
【答案】25，28，27，24，26
【例 13】 右图是大家都熟悉的奥林匹克五环标志．请将19分别填入五个圆相互分割的九个部分，并且使每个
圆环内的数字之和都相等．
【考点】复合型数阵图 【难度】5星 【题型】填空
【解析】 设每个圆内的数字之和为k ，则五个圆内的数字之和是5k ，它等于19的和45再加上两两重叠处的四
个数之和．而两两重叠处的四个数之和最小是123410+++=，最大是678930+++=，所以，
5453075k ≤+=，5451055k ≥+=，即1115k ≤≤．当11k =，13，14时可得四种填法(见右下图)．
d
c b a 987
654
32
112
34567
89
12345
67
8
9
98
765432
1
当15k =时，如右上图，设两两重叠处的四个数分别为a ，b ，c ，d ，由上面的分析可知，a ，b ，c ，
d 分别为6，7，8，9，由于6915+=，7815+=，那么，不论a 为多少，最左边的数总是会与b ，c ，d 中的某一个相同，矛盾．所以当15k =时没有符合题意的填法．
当12k =时，1254515a b c d +++=⨯-=．如果a ，b ，c ，d 中有一个数为3，比如3a =，那么
12b c d ++=，这样与b ，c 在同一个圆内的那个数将与d 相同．可见a ，b ，c ，d 都不能为3．如果
a ，
b ，
c ，
d 中至少有3个数大于3，那么它们至少为4，5，6，另一个数至少为1，它们的和将不
小于145616+++=，矛盾．所以a ，b ，c ，d 中至少有2个数小于3，这2个数只能为1和2，那么另两个数之和为12．如果这两个数中有一个为a 或者d ，那么最左边或者最右边的数将与a ，b ，c ，
d 中的某一个相同，矛盾；如果这两个数为b 和c ，那么与b ，c 在同一个圆内的那个数将只能为0，
这也不可能出现．所以当12k =时也没有符合题意的填法．
【答案】当11k =，13，14时可得四种填法
987
654
32
112
34567
89
12345
67
8
9
98
765432
1
【例 14】 2008年奥运会在北京举行。

“奥”、“运”、 “会”、“北”、“京”这五个汉字代表五个连续的自然数，将
其分别填在五环图案的五个环内，满足“奥”+“运”+“会”=“北”+“京”。

这五个自然数的和最大是 。

京
北
会
运
奥
【考点】复合型数阵图 【难度】5星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，四年级，初赛，第2题）
【解析】 不妨设最小一个数是x ，那么这5个数是x ，x+1，x+2，x+3，x+4.但无法将它们对应，但无论怎么样，
列出的方程一定是这个形式的：（x+a ）+（x+b ）+（x+c ）=（x+d ）+（x+e ），其中a 、b 、c 、d 、e 分别是0、1、2、3、4.方程解得：x=（d+e ）-（a+b+c ），如果连续5个自然数最大，那么最小的那个自然数也必须取得最大，显然减号前是3、4，减号后0、1、2时，x 取得最大值4，所以这5个数是4、5、6、7、8，和为30
【答案】30
【例 15】 如图，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，I 代表九个各不相同的正整数，且每个圆中所填数的和
都等于2008。

这九个数总和最小为。

【考点】复合型数阵图 【难度】5星 【题型】填空 【关键词】走美杯，5年级，决赛，第12题，15分
【解析】 假设9个数总和是M ，则M A B C D E F G H I =++++++++,上面三个环的总和为：
32008M C G ⨯=--，所以当12C G +=+时，总和最小为2008336027⨯+=。

【答案】6027
【例 16】 如图，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，I 代表九个各不相同的正整数，A ，B ，C ，D ，E ，
F ，
G ，
H ，I
的总和是2008，并且每个圆中所填的数和都等于M 。

(1)M 最大为多少？(2)M 最小为多少？
【考点】复合型数阵图 【难度】6星 【题型】填空 【关键词】走美杯，6年级，决赛，第11题，15分
【解析】 上面三个环里数的和为3M ，32008M C G ++=，32008M C G =--，所以M 最大可以取668，此时C ，
G 分别为1，3。

五环的和是52008M B D F H =++++，要使M 最小，只要取B D F H +++最小为12，此时404M =。

【答案】最大668，最小12
【例 17】 将数字1~9分别填在下图空白的正六边形格子中，使得箭头所指直线方向上空格中所填的数字和等于
该箭头所在格中的给定数（每个方向上所填的数互不相同，且到写有另一个给定数字的格为止）。

例
如：20,
22,19A B C D E F G H C I J K M N +++=+++++=+++=。

当填写完后，字母C 处所写的数字是_____________。

D
C
A
H
E G
M
F I
B
K N
1027
20
28
22
6
9
19
24
10
20
2026
J
23
A. 4
B. 5
C. 7
D. 9
【考点】复合型数阵图【难度】6星【题型】填空
【关键词】迎春杯，中年级，复试，7题
【解析】
3
l
4
l C，提示：在下图中，直线1l上的6个数之和是，只有12345722
+++++=，直线2l上的5个数之和是35，只有5678935
++++=，所以G等于5或7；
直线
3
l上的4个数之和是12，只有：123612
+++=或124512
+++=，再考虑到G等于5或7，得到5,1
G M
==或2或4。

直线
4
l上的3个数之和是20，并且1
M=或2或4，只有47920
++=，所以4
M=，再考虑到1l上的数不大于7，所以7
C=。

下图是一种填法（填法不唯一）。

3
1254
1
73
4
8
4
5
9
5
917
17
82
1
3
1
2
9
2
12
3523
9
26
20
20
10
24
19
9
6
22
28
20
27
10
6
【答案】C=7。

【例 18】用数字1至9填满空格，一个格子只能填入一个数字，每个数字在每一行，每一列（相连或不相连）及每个粗线围成的区域中至多出现一次。

【考点】数阵图与数论【难度】5星【题型】填空
【关键词】走美杯，3年级，决赛，第11题，12分
【解析】如图1，因为a、b、c、d所在列已经出现8，所以a、b、c、d不等于8，
在这四个数所在的粗黑线围成的区域中可知8
e=，那么g、f不等于8，而在h、i所在的列
小学奥数特训营
中出现了数字8，所以h、i不等于8，那么8
j ，之后用同样的方法可以得出结果如图2。

h
g
i
f
j
e
d
c
b
a
6
6
1
28
7
3
8
3
7
1
9
95
4
图
1
7
3
2
4
5
8
1
9
4
1
3
927
8
593
6
4
5
7
16
2
5
4
1
87
6
23
图2
4
5
9
9
1
7
3
8
37
8
2
1
6
6
4
6
2
58
【答案】
【例 19】用l—9填满三角形空格，一个格子只能填入一个数字，使每个数字在每一行，每一列(包括不相连的行，列)及每个粗黑线围成的区域中至多出现一次．
【考点】数阵图与数论【难度】6星【题型】填空
【关键词】走美杯，初赛，六年级，第10题
【解析】解题顺序如第二附图，依照A、B、C、D……的顺序.。