逻辑学第四章谓词逻辑
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（2）形成规则：包括项的形成规则和公式的形成规则。 ①项的形成规则：单个的个体变元（v，u，w，…）和个体常项（a，
b，c，…）称为项。
2020/11/12
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一阶语言L
②公式的形成规则： 1、如果R是n元谓词（n1）,t1…tn是n个项，则Rt1…tn是公式（原子 公式）； 2、如果A是公式，则A 3、如果A和B是公式，则A∧B、A∨B、A→B是公式； 4、如果A是公式，v是个体变元，则vA和vA是公式（vA称为全称公 式；vA称为存在（特称）公式）。
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命题的形式化
（1）凡事物都是发展的。 用x表示个体词，用D表示“是发展的”，形式化为：xDx
（2）凡是自然数都大于零。 用N表示“是自然数”，用E表示“大于零”，形式化为： x(NxEx）
（3）所有大学生都不是儿童。 用S表示“是大学生”，用C表示“是儿童”，形式化为： x(SxCx)
➢ 一阶语言L 的一个符号串是（合式）公式，当且仅当它符合以上形成规则。 ➢ 一阶语言L 的全体（合式）公式，记为Form（L ）。 ➢ 一阶语言L 是形式语言L ′的扩充。
（3）定义：用来表示符号串的缩写。
如：AB=df (A→B)∧(B→A)。
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量词的辖域
量词的辖域：量词的作用范围。 量词的辖域可定义为：如果B是vB和vB的子公式，则称B 为量词v和v的辖域。 在公式中，量词的辖域是该量词及紧接该量词的最短公式。
（4）有的大学生是儿童：x(Sｘ∧Cｘ) （5）小李没有同任何人吵架。
a：小李；Ｍ：…是人，D：…同…吵架，形式化为：x（Ｍx→Ｄax） （6）有些大一学生认识小李。
a：小李；F ：…是大一学生，R：…认识…，形式化为： x(Fx∧Rxa)
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命题的形式化
在对以上命题形式化时，没有限制论域，即论域是全 域。我们也可在一定的范围内讨论问题，因些个体变元的 变域往往被限制在某个特定的范围内。
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个体词和谓词的符号化
➢个体常项：表示一定范围内确定的个体，记为小写的：a,b,c,…； ➢个体变元：表示一定范围内不确定的个体，记为小写的： x,y,z,…； ➢个体域也称论域：个体变元的变化范围，记为：D。 ➢谓词符号：表示性质或关系的符号，记为大写：D、E、F、G…； ➢一元谓词公式，记为：Dx，Ex，Fx，…； ➢二元谓词公式，记为：Dxy，Exy，Hxy，Rxy，…；
（7）有的学生（Ｓ）作对（Ｒ）所有试题（Ｔ） 不限制论域：x（Ｓx∧y(Ty→Rxy)） 限制论域：x的变域:X=学生； y的变域:Y=试题
则形式为: xyRxy
一阶逻辑：量词是只对命题中的个体变元进行量化，而不 对谓词变元进行量化。
高阶谓词：不仅对个体变元而且对谓词变元进行量化。
2020/11/12
主讲人：何向东
--进入--
第四章 谓词逻辑
第一节 谓词逻辑概述
命题逻辑和谓词逻辑
命题逻辑：不分析简单命题内部结构，讨论关于联 结词的推理理论。例如：
如果某甲作案，那么他一定有作案动机。 某甲没有作案动机。 所以，某甲没有作案。
谓词逻辑：分析简单命题的内部结构，讨论关于量 词的推理理论。例如：
所有的作案者都有作案动机。 某甲没有作案动机。 所以，某甲不是作案者。
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量词
表示论域D中个体数量的语词
➢全称量词：指称论域D中个体的全部。 例如：所有，任何，每一个，…。
➢存在量词：指称论域D中个体至少有一个存在。 例如：存在，有，有些，…。
➢符号化的量词： 全称量词：所有x，任何x，…，均记为：x。 存在量词：有x，存在x，…，均记为：x。
➢全称命题：含有全称量词的命题。 ➢特称(存在)命题：含有存在量词的命题。
➢三元谓词公式，记为：Gxyz，Bxyz，Pxyz，Kxyz，…；
➢n元谓词公式，记为：Sx1x2…xn，Wx1x2…xn，…。
个体词和谓词的符号化实例:
用a表示“张三”，用Dx表示一元谓词“会死” ，则命题“张三会死”可表 示为：Da。 如是Fxy表示二元谓词“…是…的朋友”，那么：Fab表示“a是b的朋 友”;¬Fab表示“a不是b的朋友”。
带横线部分指明了存在量词的辖域。 (1)xＤx∨Ｅx (2)x（Ｆxy∧yＧy） (3)xy（Ｆxy∧xz（Ｇxz→Ｈyz）
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
约束变元和自由变元
➢变元的约束出现：一个变元在公式里的出现是 约束的，当且仅当，这种出现是在采用该变元的 量词的辖域内。
➢变元的自由出现：一个变元在公式里的出现是 自由的,当且仅当，该变元的出现不是约束的。
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开语句
没有真假的命题函数，即从个体到真值的函数。例如:
P：…是紫色的。 Px：x是紫色的。
让开语句有真值的方法：
（1）用个体常项代替个体变元。 用a表示“这朵玫瑰花”，则Pa表示语句“这朵玫瑰花是紫色的”。 （2）对个体变元进行量化。 例如:命题“存在玫瑰花是紫色的”为真。
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第四章 谓词逻辑
第二节 一阶语言及其语义解释
一阶语言L
（1）初始符号
➢个体变元符号：x,y,z,…；x1,x2,… ➢若干（可以为0个）个体常项符号：a,b,c… ➢若干（至少一个）谓词符号：D,E,F,G,R，… ➢联结词符号：,∧,∨,→ ➢量词符号：,； ➢辅助符号：括号：（，）；逗号：，。
（1）对于公式Px→Qx，用A(x)来表示x是自由变元：A(x)：Px→Qx （2）对于公式x(Qx∧Rxy)，用B(y)来表示y是自由变元：B（y）：x(Qx∧Rxy)；（3）用个 体变元y代替A(x)中的自由变元：A(x/y)：Py→Qy； （4）用常元a代替A(x)中的自由变元：A(x/a)：Pa→Qa。
约束变元就是约束出现的变元；自由变元就是自由 出现的变元。
例如：在 xＤx∨Ｅx中，变元x出现了三次，前两次出 现是在量词x的辖域中，因而是约束出现的，第三次是自 由出现的。
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自由变元的代入
如果公式A中有自由变元v，则把该公式记为：A(v)。以个体词t代入A(v) 中的v，则记为：A(v/t)。例如：
b，c，…）称为项。
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一阶语言L
②公式的形成规则： 1、如果R是n元谓词（n1）,t1…tn是n个项，则Rt1…tn是公式（原子 公式）； 2、如果A是公式，则A 3、如果A和B是公式，则A∧B、A∨B、A→B是公式； 4、如果A是公式，v是个体变元，则vA和vA是公式（vA称为全称公 式；vA称为存在（特称）公式）。
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命题的形式化
（1）凡事物都是发展的。 用x表示个体词，用D表示“是发展的”，形式化为：xDx
（2）凡是自然数都大于零。 用N表示“是自然数”，用E表示“大于零”，形式化为： x(NxEx）
（3）所有大学生都不是儿童。 用S表示“是大学生”，用C表示“是儿童”，形式化为： x(SxCx)
➢ 一阶语言L 的一个符号串是（合式）公式，当且仅当它符合以上形成规则。 ➢ 一阶语言L 的全体（合式）公式，记为Form（L ）。 ➢ 一阶语言L 是形式语言L ′的扩充。
（3）定义：用来表示符号串的缩写。
如：AB=df (A→B)∧(B→A)。
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量词的辖域
量词的辖域：量词的作用范围。 量词的辖域可定义为：如果B是vB和vB的子公式，则称B 为量词v和v的辖域。 在公式中，量词的辖域是该量词及紧接该量词的最短公式。
（4）有的大学生是儿童：x(Sｘ∧Cｘ) （5）小李没有同任何人吵架。
a：小李；Ｍ：…是人，D：…同…吵架，形式化为：x（Ｍx→Ｄax） （6）有些大一学生认识小李。
a：小李；F ：…是大一学生，R：…认识…，形式化为： x(Fx∧Rxa)
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命题的形式化
在对以上命题形式化时，没有限制论域，即论域是全 域。我们也可在一定的范围内讨论问题，因些个体变元的 变域往往被限制在某个特定的范围内。
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个体词和谓词的符号化
➢个体常项：表示一定范围内确定的个体，记为小写的：a,b,c,…； ➢个体变元：表示一定范围内不确定的个体，记为小写的： x,y,z,…； ➢个体域也称论域：个体变元的变化范围，记为：D。 ➢谓词符号：表示性质或关系的符号，记为大写：D、E、F、G…； ➢一元谓词公式，记为：Dx，Ex，Fx，…； ➢二元谓词公式，记为：Dxy，Exy，Hxy，Rxy，…；
（7）有的学生（Ｓ）作对（Ｒ）所有试题（Ｔ） 不限制论域：x（Ｓx∧y(Ty→Rxy)） 限制论域：x的变域:X=学生； y的变域:Y=试题
则形式为: xyRxy
一阶逻辑：量词是只对命题中的个体变元进行量化，而不 对谓词变元进行量化。
高阶谓词：不仅对个体变元而且对谓词变元进行量化。
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主讲人：何向东
--进入--
第四章 谓词逻辑
第一节 谓词逻辑概述
命题逻辑和谓词逻辑
命题逻辑：不分析简单命题内部结构，讨论关于联 结词的推理理论。例如：
如果某甲作案，那么他一定有作案动机。 某甲没有作案动机。 所以，某甲没有作案。
谓词逻辑：分析简单命题的内部结构，讨论关于量 词的推理理论。例如：
所有的作案者都有作案动机。 某甲没有作案动机。 所以，某甲不是作案者。
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量词
表示论域D中个体数量的语词
➢全称量词：指称论域D中个体的全部。 例如：所有，任何，每一个，…。
➢存在量词：指称论域D中个体至少有一个存在。 例如：存在，有，有些，…。
➢符号化的量词： 全称量词：所有x，任何x，…，均记为：x。 存在量词：有x，存在x，…，均记为：x。
➢全称命题：含有全称量词的命题。 ➢特称(存在)命题：含有存在量词的命题。
➢三元谓词公式，记为：Gxyz，Bxyz，Pxyz，Kxyz，…；
➢n元谓词公式，记为：Sx1x2…xn，Wx1x2…xn，…。
个体词和谓词的符号化实例:
用a表示“张三”，用Dx表示一元谓词“会死” ，则命题“张三会死”可表 示为：Da。 如是Fxy表示二元谓词“…是…的朋友”，那么：Fab表示“a是b的朋 友”;¬Fab表示“a不是b的朋友”。
带横线部分指明了存在量词的辖域。 (1)xＤx∨Ｅx (2)x（Ｆxy∧yＧy） (3)xy（Ｆxy∧xz（Ｇxz→Ｈyz）
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
约束变元和自由变元
➢变元的约束出现：一个变元在公式里的出现是 约束的，当且仅当，这种出现是在采用该变元的 量词的辖域内。
➢变元的自由出现：一个变元在公式里的出现是 自由的,当且仅当，该变元的出现不是约束的。
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开语句
没有真假的命题函数，即从个体到真值的函数。例如:
P：…是紫色的。 Px：x是紫色的。
让开语句有真值的方法：
（1）用个体常项代替个体变元。 用a表示“这朵玫瑰花”，则Pa表示语句“这朵玫瑰花是紫色的”。 （2）对个体变元进行量化。 例如:命题“存在玫瑰花是紫色的”为真。
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第四章 谓词逻辑
第二节 一阶语言及其语义解释
一阶语言L
（1）初始符号
➢个体变元符号：x,y,z,…；x1,x2,… ➢若干（可以为0个）个体常项符号：a,b,c… ➢若干（至少一个）谓词符号：D,E,F,G,R，… ➢联结词符号：,∧,∨,→ ➢量词符号：,； ➢辅助符号：括号：（，）；逗号：，。
（1）对于公式Px→Qx，用A(x)来表示x是自由变元：A(x)：Px→Qx （2）对于公式x(Qx∧Rxy)，用B(y)来表示y是自由变元：B（y）：x(Qx∧Rxy)；（3）用个 体变元y代替A(x)中的自由变元：A(x/y)：Py→Qy； （4）用常元a代替A(x)中的自由变元：A(x/a)：Pa→Qa。
约束变元就是约束出现的变元；自由变元就是自由 出现的变元。
例如：在 xＤx∨Ｅx中，变元x出现了三次，前两次出 现是在量词x的辖域中，因而是约束出现的，第三次是自 由出现的。
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自由变元的代入
如果公式A中有自由变元v，则把该公式记为：A(v)。以个体词t代入A(v) 中的v，则记为：A(v/t)。例如：