《数值分析》第六章答案

习题6

1．求解初值问题

y x y +=' )10(≤≤x 1)0(=y

取步长2.0=h ，分别用Euler 公式与改进Euler 公式计算，并与准确解

x

e x y 21+-=相比较。

解： 1) 应用Euler 具体形式为 )(1i i i i y x h x y ++=+，其中i x i 2.0= 10=y 计算结果列于下表

i i x i y )(i x y i i y x y -)( 1 0.2 1.200000 1.242806 0.042806 2 0.4 1.480000 1.583649 0.103649 3 0.6 1.856000 2.044238 0.188238 4 0.8 2.347200 2.651082 0.303882 5 1.0 2.976640 3.436564 0.459924

2) 用改进的Euler 公式进行计算，具体形式如下： 10=y

)()

(1i i i D i y x h y y ++=+ )()

(11)

(1D i i i C i y x h y y +++++= )(2

1)

(1)(11c i D i i y y y ++++= 4,3,2,1,0=i

计算结果列表如下

i i x i y )

(1D i y + )

(1c i y + i i y x y -)( 0 0.0 1.000000 1.200000 1.280000 0.000000 1 0.2 1.240000 1.528000 1.625600 0.002860 2 0.4 1.576800 1.972160 2.091232 0.006849 3 0.6 2.031696 2.558635 2.703303 0.012542 4 0.8 2.630669 3.316803 3.494030 0.020413 5 1.0 3.405417 0.031147

3. 对初值问题

1

)0(=-='y y y

)

0(>x ，证明用梯形公式所求得的近似值为

i

i h

h y ih y )22(

)(+-=≈ ),2,1,0( =i

并证明当0→h 时，它收敛于准确解i

x e y -=，其中ih x i =为固定点。

解：1) 对以上初值问题用梯形公式得 )]()[(2

11++-+-+=i i i i y y h y y ， ,2,1,0=i

10=y

其中ih x i = 由上式递推得 i

i h

h y )22(

+-= ， ,2,1,0=i

2) 22)2(2

)2

1()21(2121i i x h x

h i

i h h h h y ∙--+-=⎪⎪⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛

+-= i

i

i i

i x x x x h h x h n i h e

e

e

h h y --→-

-∞→→==

⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡+⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-=

2

2

2

20)

2

(2

)21(lim )21(lim lim

5．证明

)4(6

3211k k k h y y i i +++

=+

),(1i i y x f k = 2

(2h x f k i +

=，)2

11hk y i +

h x f k i +=(3，)221hk hk y i +- 是1个3阶公式。

证明 )4(6

3211k k k h y y i i +++

=+

),(1i i y x f k = 2

(2h x f k i +

= ，)2

1k h y i +

h x f k i +=(3 ，)221hk hk y i +- 是一个3阶公式

解局部截断误差为

)4(6

)()(32111K K K h x y x y R i i i ++--=++

))(,(1i i x y x f K = 2

(2h x f K i +

= ，)2

)(1K h x y i +

h x f K i +=(3 ，)2)(21hK hK x y i +- 由微分方程有

))(,()(x y x f x y =' y

x y x f x y x

x y x f x y ∂∂'+∂∂=''))

(,()

())

(,()(

⎢

⎣

⎡∂∂∂'+'∂∂∂+

∂∂=

'''y x x y x f x y x y y

x x y x f x

x y x f x y ))

(,()()())

(,())

(,()(22

2

2

y x y x f x y x y y

x y x f ∂∂''+⎥⎦

⎤'∂∂+

))

(,()()())

(,(2

2

y

x x y x f x y x

x y x f ∂∂∂'+∂∂=

))

(,()

(2))

(,(2

2

2

y

x y x f x y y

x y x f x y ∂∂''+∂∂'+))

(,()

())

(,()

(2

2

2

)(1i x y K '=