偏微分方程求解-有限差分法

--以有限差分法为例偏微分方程数值求解

1. 偏微分方程求解问题的描述

教材P653[12.1.1]椭圆型

教材P653[12.1.2]

教材P664[12.2.1]双曲型

教材P665[12.2.4]拉普拉斯泊松

对流

波动

教材P684[12.3.1]抛物型

教材P685[12.3.6]扩散

对流扩散

教材P686[12.3.8]二维扩散

教材P678[12.2.23]二维对流

⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤==≥≤≤==≤≤=>≥≤≤≤≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=∂∂0,0, ),(),,(),(),0,(0,0,),(),,(),(),,0(,0,),()0,,(0,0 , 0 , 0 21212222t L x t x v t L x u t x v t x u t L y t y t y L u t y t y u L y x y x y x u b t L y L x y u x u b t u μμϕΩ

求解域初值条件边值条件)

,,(t y x u 未知函数

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<<-==≥<<==≥≤≤-==≥≤≤==≤≤==≤≤≤≤≤≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=∂∂0 , 50 , sin 255sin ),(),5,(0 , 50 , 0),(),0,(0 , 50 , 5sin sin 25),(),,5(0 , 50 , 0),(),,0(5,0,0),()0,,( 10000 , 50 , 50 001.022********t x x x t x v t x u t x t x v t x u t y y y t y t y u t y t y t y u y x y x y x u t y x y u x u t u μμϕΩ

求解域初值条件边值条件以具体问题为例演示具体的求解过程)

,,(t y x u 未知函数

0x 1x 2x 3x 4

x 0y 1y 2y 3y 4y 0t 1

t 2

t 3t 4

t x j jh x =y k kh y =τn t n =x

h x 区间的剖分步长τ区间的剖分步长t y h y 区间的剖分步长y x h h h ==

0x 1x 2x 3x 4

x 0y 1y 2y 3y 4y 0t 1

t 2

t 3t 4

t jh x j =kh y k =τn t n =x

h x 区间的剖分步长τ区间的剖分步长t y h y 区间的剖分步长y x h h h ==

1x 2x 3x 4

x 0y 1y 2y 3y 4y 0t 1

t 2

t 3

t 4

t 0x

)

,,(n k j t y x ⎩⎨⎧===4..0 , 4..04..0j k n 0x 1x 2x 3x 4x 0y 1y 2y 3y 4y 0t 1

t 2

t 3t 4

t ),,(211t y x ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤=Ω100005050),,(t y x t y x ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧====Ω4..04..04..0),,(j k n t y x n k j n kj

0x 1x 2x 3x 4x 0y 1y 2y 3y 4

y 0

t 1

t 2t 3t 4

t ⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤=Ω100005050),,(t y x t y x ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧====Ω4..04..04..0),,(j k n t y x n k j n kj ?

),,(),,(=Ω

∈t y x t y x u ?

),,(),,(=Ω∈n

kj

n k j t y x n k j t y x u 求解目标

求解目标离散化

n kj

u

4

040====k k j j 或或或边界点：1x 2

x 3

x 4

x 0

y 1

y 2

y 3

y

4y 0

t 1

t 2t 3

t 4

t 0

x

4

040≠≠≠≠k k j j 且且且内点：

1x 2

x 3

x 4

x 0

y 1

y 2

y 3

y

4y 0

t 1

t 2t 3

t 4

t 0

x

1

x 2

x 3

x 4

x 0y 1

y 2

y 3

y 4

y 0

t 1

t 2t 3

t 4

t 0

x 5

,0,0)0,,(≤≤=y x y x u 初值条件0

),,(04

..04..00====t y x u u

k j k j kj 0kj

u

000

u

001

u

002

u

003

u

004

u

1

x 2

x 3

x 4

x 0

y 1

y 2

y 3

y 4

y 0t 1

t 2t 3

t 4

t 0

x