偏微分方程求解-有限差分法

--以有限差分法为例偏微分方程数值求解
1. 偏微分方程求解问题的描述
教材P653[12.1.1]椭圆型
教材P653[12.1.2]
教材P664[12.2.1]双曲型
教材P665[12.2.4]拉普拉斯泊松
对流
波动
教材P684[12.3.1]抛物型
教材P685[12.3.6]扩散
对流扩散
教材P686[12.3.8]二维扩散
教材P678[12.2.23]二维对流
⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤==≥≤≤==≤≤=>≥≤≤≤≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=∂∂0,0, ),(),,(),(),0,(0,0,),(),,(),(),,0(,0,),()0,,(0,0 , 0 , 0 21212222t L x t x v t L x u t x v t x u t L y t y t y L u t y t y u L y x y x y x u b t L y L x y u x u b t u μμϕΩ
求解域初值条件边值条件)
,,(t y x u 未知函数
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<<-==≥<<==≥≤≤-==≥≤≤==≤≤==≤≤≤≤≤≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=∂∂0 , 50 , sin 255sin ),(),5,(0 , 50 , 0),(),0,(0 , 50 , 5sin sin 25),(),,5(0 , 50 , 0),(),,0(5,0,0),()0,,( 10000 , 50 , 50 001.022********t x x x t x v t x u t x t x v t x u t y y y t y t y u t y t y t y u y x y x y x u t y x y u x u t u μμϕΩ
求解域初值条件边值条件以具体问题为例演示具体的求解过程)
,,(t y x u 未知函数
0x 1x 2x 3x 4
x 0y 1y 2y 3y 4y 0t 1
t 2
t 3t 4
t x j jh x =y k kh y =τn t n =x
h x 区间的剖分步长τ区间的剖分步长t y h y 区间的剖分步长y x h h h ==
0x 1x 2x 3x 4
x 0y 1y 2y 3y 4y 0t 1
t 2
t 3t 4
t jh x j =kh y k =τn t n =x
h x 区间的剖分步长τ区间的剖分步长t y h y 区间的剖分步长y x h h h ==
1x 2x 3x 4
x 0y 1y 2y 3y 4y 0t 1
t 2
t 3
t 4
t 0x
)
,,(n k j t y x ⎩⎨⎧===4..0 , 4..04..0j k n 0x 1x 2x 3x 4x 0y 1y 2y 3y 4y 0t 1
t 2
t 3t 4
t ),,(211t y x ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤=Ω100005050),,(t y x t y x ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧====Ω4..04..04..0),,(j k n t y x n k j n kj
0x 1x 2x 3x 4x 0y 1y 2y 3y 4
y 0
t 1
t 2t 3t 4
t ⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤=Ω100005050),,(t y x t y x ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧====Ω4..04..04..0),,(j k n t y x n k j n kj ?
),,(),,(=Ω
∈t y x t y x u ?
),,(),,(=Ω∈n
kj
n k j t y x n k j t y x u 求解目标
求解目标离散化
n kj
u
4
040====k k j j 或或或边界点：1x 2
x 3
x 4
x 0
y 1
y 2
y 3
y
4y 0
t 1
t 2t 3
t 4
t 0
x
4
040≠≠≠≠k k j j 且且且内点：
1x 2
x 3
x 4
x 0
y 1
y 2
y 3
y
4y 0
t 1
t 2t 3
t 4
t 0
x
1
x 2
x 3
x 4
x 0y 1
y 2
y 3
y 4
y 0
t 1
t 2t 3
t 4
t 0
x 5
,0,0)0,,(≤≤=y x y x u 初值条件0
),,(04
..04..00====t y x u u
k j k j kj 0kj
u
000
u
001
u
002
u
003
u
004
u
1
x 2
x 3
x 4
x 0
y 1
y 2
y 3
y 4
y 0t 1
t 2t 3
t 4
t 0
x
000u
001
u
002
u
003u
004
u
1
x 2
x 3
x 4
x 0
y 1
y 2
y 3
y 4
y 0t 1
t 2t 3
t 4
t 0
x 010
u
011
u
012
u
013
u
014
u
000u 001
u
002
u
003u 004
u
1
x 2
x 3
x 4
x 0
y 1
y 2
y 3
y 4
y 0t 1
t 2t 3
t 4
t 0
x 010
u
011u 012u 013
u
014u 020
u
021
u
022
u
023
u
024
u
000u 001u 002u 003u 004u 1
x 2
x 3
x 4
x 0
y 1
y 2
y 3
y 4
y 0t 1
t 2t 3
t 4
t 0
x 010u 011u 012u 013u 014u 020u 021u 022u 023u 024u 030
u
031
u
032
u
033
u
034
u
000u 001u 002u 003u 004u 1
x 2
x 3
x 4
x 0
y 1
y 2
y 3
y 4
y 0t 1
t 2t 3
t 4
t 0
x 010u 011u 012u 013u 014u 020u 021u 022u 023u 024u 030u 031
u 032
u
033u 034
u
040
u
041
u
042
u
043
u
044
u
的存储设计
计算数据0kj
u 1
x 2
x 3
x 4
x 0
y 1
y 2
y 3
y 4
y 0t 1
t 2t 3
t 4
t 0
x 000u 001u 002u 003u 004u 010u 011u 012u 013u 014u 020u 021u 022u 023u 024u 030u 031
u 032
u
033u 034
u
040
u
041
u
042
u
043
u
044
u
12345
1
2
345
行号列号
MATLAB
矩阵U0
的存储设计
计算数据0kj
u 1
x 2
x 3
x 4
x 0
y 1
y 2
y 3
y 4
y 0t 1
t 2t 3
t 4
t 0
x 000u 001u 002u 003u 004u 010u 011u 012u 013u 014u 020u 021u 022u 023u 024u 030u 031
u 032
u
033u 034
u
040
u
041
u
042
u
043
u
044
u
01234
1
234
行号列号
C 语言
矩阵U0
的图像计算结果可视化)0,,( :y x u 1
x 2
x 3
x 4
x 0
y 1
y 2
y 3
y 4
y 0t 1
t 2t 3
t 4
t 0
x 000u 0
01u 002
u 003u 004u 010u 011u 012u 013u 014u 020u 021u 022u 023u 024u 030u
031u 032u 033u
034u 040
u
041
u
042
u
043
u
044
u
12345
1
2
345
行号
列号
MATLAB 矩阵U0
0kj
u
),,()
0,,(0kj
k j u y x y x u 上的点
4
..0,4..0 ),,( :211===k j t y x u u k j kj
求步第
边值条件1
11
04
t x 1
03
t x y 1
02t x y 1
01t x y 1
00t x y 0
,50 , 0),,0(≥≤≤=t y t y u 0
),,(104
..00===t y x u u
k k k
边值条件1
10
4
t
x 10
3
t x y 10
2t
x y 10
1t
x y 1
0t x y 140
u 130
u 1
20
u 110
u 100
u 0
),,(104
..010===t y x u u
k k k 0
,50 , 0),,0(≥≤≤=t y t y u
边值条件2
5
sin )()sin(25),,(2
144
..01
4k k k k k y y t y x u u
-===1
4t 1
4t 1
4t x 1
41
t x 1
40
t x y 0
,50 , 5sin sin 25),,5(2
≥≤≤-=t y y y t y u
边值条件2
5
sin )()sin(25),,(2
144
..01
4k k k k k y y t y x u u
-===1
4t 14t 1
4
t
x 141
t x 14
t x y 1
44
u
134
u
1
24u 1
14
u
104
u 0
,50 , 5sin sin 25),,5(2
≥≤≤-=t y y y t y u
边值条件3
),,(103
..110===t y x u u
j j j 0
,50 , 0),0,(≥<<=t x t x u 1
10t x y 1
20t x y 1
30t x y
边值条件3
),,(103
..110===t y x u u
j j j 110t x y 12
0t
x y 13
0t x y 101
u
1
02
u 103
u 0
,50 , 0),0,(≥<<=t x t x u
边值条件4
1
1t x 1
2t x 1
3t x )
sin(255sin )(),,(2
143
..114j j j j j x x t y x u u
-===0
,50 , sin 255sin ),5,(2
≥<<-=t x x x t x u
边值条件4
11t x 12t x 1
3t x )
sin(255sin )(),,(2
143
..11
4j j j j j x x t y x u u
-===0
,50 , sin 255sin ),5,(2
≥<<-=t x x x t x u 1
41
u 142
u
143
u
141u 142u 1
43u 101u 102u 103u 144u 134u 124u 1
14u 1
04
u 140
u 130u 120u 110u 1
00
u
1
,,+n j k t x y n
j k t x y ,,1+n
j k t x y ,,1-n
j k t x y ,,1-n
j k t x y ,,1+n
j k t x y ,,策略”
1
,,+n j
k t x y n
j k t x y ,,1
+n j k t
x y ,,1-n
j
k t x y ,,1-n
j k t x y
,,1+n
j k
t x y ,,2
,1,12
1
,1
,22h
u u u
b
h
u u u
b
u
u
j
k kj j
k j k kj j k kj
kj
-+-++-++-=-τ
策略”
1+n kj u n
kj u n
j k u 1
,-n
j k u 1,+n
j u ,n
j
k u ,1+
策略”
1+n kj
u
n kj
u
n j k u
1
,-n j k u 1
,+n j
k u
,1-n j
k u
,1+2
,1,12
1
,1
,22h
u u u
b
h
u u u
b
u
u
j
k kj j
k j k kj j k kj
kj
-+-++-++-=-τ
策略”
1+n kj
u
n kj
u
n j k u
1
,-n j k u 1
,+n j
k u
,1-n j
k u
,1+2
,1,12
1
,1
,22h
u u u
b
h
u u u
b
u
u
j
k kj j
k j k kj j k kj
kj
-+-++-++-=-τ
策略”
1+n kj
u
n kj
u
n j k u
1
,-n j k u 1
,+n j
k u
,1-n j
k u
,1+2
,1,12
1
,1
,22h
u u u
b
h
u u u
b
u
u
j
k kj j
k j k kj j k kj
kj
-+-++-++-=-τ
)
(, 22.3.12,41
:2
2h PDE h b +O =−−−→−≤ττ
误差估计的解原偏微分方程求出的近似解
按显式差分格式当可证收敛并稳定
{}
1
..1,1-=+M j k n kj u {}
M
j k n
kj u ..0,=目标
{}
M
j M k n kj
u 或或或001==+“隐式差
1
,,+n j k t x y 1
1,,++n j k t x y 1
1,,+-n j k t x y 1
1,,+-n j k t x y 1
1,,++n j k t x y n
j k t x y ,,“隐式差
1
,,+n j
k t x y 11
,,++n j k t x y 11,,+-n j k t x y 1
1,,+-n j k t x y 1
1,,++n j k t x y
n j k t x y ,,“隐式差
11
,+-n j k u
1
1,++n j k u 1,1++n j
k u 1
,1+-n j
k u
n
j
k u ,1
+n kj u
“隐式差11
,+-n j k u
11
,++n j k u 1,1++n j
k u 1,1+-n j
k u
n
j
k u
,1+n kj
u
τ
n kj
n kj
u
u
-+1=2
11
,1,11
,2h u
u
u
b n j k n j k n j k +-++++-21,11,1,12h u
u
u
b n j k n j k n j
k +-++++-+2
h
b
c τ
=标准化
n
j k n j k n j k n j k n j k n j k u u c u c u c u c u c ,1
,111,1,11,1,1)41(=∙-∙-++∙-∙-++++++-+-
“隐式差11
,+-n j k u
11
,++n j k u 1,1++n j
k u 1,1+-n j
k u
n j
k u
,1+n kj
u
n j
k n j
k n j k n j
k n j k n j
k u
u
c u
c u
c u
c u
c ,1,111
,1,11
,1,1)41(=∙-∙-++∙-∙-++++++-+-2
h
b
c τ
=
“隐式差11
,+-n j k u
11
,++n j k u 1,1++n j
k u 1,1+-n j
k u
n j
k u
,1+n kj
u
n j
k n j
k n j k n j
k n j k n j
k u
u
c u
c u
c u
c u
c ,1,111
,1,11
,1,1)41(=∙-∙-++∙-∙-++++++-+-2
h
b
c τ
=+1kj
n
“隐式差+1kj
n n n n n n n u
u
c u
c u
c u
c u
c 11111)41(=∙-∙-++∙-∙-+++++
111
+n u
110
+n u
112
+n u 121
+n u 101
+n u
n
u
11
列差分方程
层的内点值基于例如11
1:+n u t n n n n n n u
u
c u
c u
c u
c u
c 11
121
112
111
110
101
)41(=∙-∙-++∙-∙-+++++列差分方程
基于内点值111+n u “隐式差n n n n n n u
u
c u
c u
c u
c u
c 11111)41(=∙-∙-++∙-∙-+++++
112
+n u
111
+n u
113
+n u
122
+n u
102
+n u n u 12
列差分方程
层的内点值基于例如12
1:+n u t n n n n n n u
u
c u
c u
c u
c u
c 12
122
113
112
111
102
)41(=∙-∙-++∙-∙-+++++列差分方程
基于内点值112+n u “隐式差n n n n n n u
u
c u
c u
c u
c u
c 11111
)41(=∙-∙-++∙-∙-+++++
112
+n u
111
+n u
113
+n u 122
+n u
132
+n u
121
+n u
131
+n u
123
+n u
133
+n u
n 12
u
n 11
u
n 13
u
n 22
u
n 32
u
n 21
u
n 31
u
n 23
u
n 33
u
线性方程组
“隐式差n n n n n n u
u
c u
c u
c u
c u
c 11111)41(=∙-∙-++∙-∙-+++++红色标志方程组的未知量
绿色标志方程组的已知量
个差分方程
列出个内点值层的基于9)3..1,3..1(911==++j k u
t n kj
n
112
+n u
111
+n u
113
+n u 122
+n u
132
+n u
121
+n u
131
+n u
123
+n u
133
+n u
n
12
u n 11u n 13u n 22u n 32
u
n 21u n 31
u n 23
u n 33
u
线性方程组
“隐式差n n n n n n u
u
c u
c u
c u
c u
c 11111)41(=∙-∙-++∙-∙-+++++红色标志方程组的未知量
绿色标志方程组的已知量
个差分方程
列出个内点值层的基于9)3..1,3..1(911==++j k u
t n kj
n )
( 32.3.12:2h PDE +O =−−−−→−τ误差估计的解原偏微分方程求出的近似解按隐式差分格式可证收敛并绝对稳定。