信号与系统 第一章典型例题

5 5 5 2.5 个单位 f (5 − 2t ) = f [−2(t − )] 左移 → f [ −2( t − + )] = f (−2t ) 2 2 2 1 反褶 → f ( 2t ) 展宽一倍 → f ( 2t × ) = f (t ) 2
（２）
１
f ( − 2t )
f ( 2t )
f ( 2t + 3)
f ( −2t + 3)
２
− 1 2
２
２
０
－１
1 3 2 2
5 2
t
－２ －１ ０ －１
１
t
－１
０ －１ห้องสมุดไป่ตู้
１
２
t
结论： 1）不同变量方式得到的最终结果相同。 2）需特别注意先尺度后时移的情况，此时的时移量与尺度有关 3）由 f (t ) → f ( at + t 0 ) 最安全方式是先根据 t 0 值将 f (t ) 时移，然后根 据 a 值对时移后的 f (t + t 0 ) 进行尺度变换和（或）反褶变换。 4） 尺度变换相对纵轴，横坐标每一点都变为原来的
2
１ t−2 ２
τ
3）当 4 ≤ t < 5 时， g ( t ) = ∫ 2(τ − 1) dτ = 1
1
０
t−4
2 t− 4
１ ２
t −2
τ
4）当 5 ≤ t < 6 时， g ( t ) = ∫ 2(τ − 1) dτ = −t 2 + 10t − 24
１
t−4
２
τ
5）当 t ≥ 6 时，
g (t) = 0
f ( 2t )
１
t
（２） 1 １ 2
t
f (t )
１ －１ ０ １
（４） ２
t
－１ 1 ０ − 2
1 2
1 ０ − 2
2 .5 个单位 法 2：f (5 − 2t ) 反褶 → f (5 + 2t ) 右移 → f [2( t +
5 5 倍 − )] = f ( 2t ) 展宽 1 → f (t ) 2 2
f 1 (t ) ∗ δ (t ) = f 1 (t ) = e − t u (t )
f ( 2t )
f (− 2t )
f ( −2t + 3)
２
− 1 2
２
２
０
－１ 法 4：
1 3 2 2
5 2
t
−
5 3 1 ０ 1 − − 2 2 2 2
t
－１
０ －１
１
２
t
3 0 .5 倍 .5 个单位 f (t ) 压缩为原来的 → f ( 2t ) 左移 1 → f (2t + 3) = f [2( t + )] 反褶 → f (−2t + 3) 2
０
１
０
１
２
t
２
０ －２
１
２
３
４
５
t
若信号 f 1 (t ) 的波形为下图所示，则 f 1 (t ) 与 f 2 (t ) 卷积的波形为：
f 1( t ) ∗ f 2 (t )
f1 (t ) ２
t
２
０
１ ２
１
２
３
４
t
０
－２
例 1-5：已知信号 x (5 − 2t ) = g 1 (t − 2 ) + δ ( t − 3.5) ，其中
倍 5 个单位 法 3： f (5 − 2t ) 展宽 1 → f ( 5 − t ) 反褶 → f ( 5 + t ) 右移 → f ( t )
f (t )
f ′( t )
１ －１ ０ １
（４） ２
t
（１） －１ ０ －１ １ ２
（４）
t
例 １－３：已知 f 1 (t ) 和 f 2 (t ) 的波形如图所示，求 f 1 (t ) ∗ f 2 (t ) = g (t ) 的波形。
其中： s (t ) = [u (t ) − u (t − 2)] ∗ [u ( t ) − u (t − 2)] 为三角形
y (t )
4
(4)
2
0
−4 −2
2
4
t
例 1-6：已知 f1 (t ) ∗ tu (t ) = (t + e −t − 1)u (t ) ，求 f 1 (t ) 。 解：
d2 d2 [ f ( t ) ∗ tu ( t )] = (t + e −t − 1)u (t ) 1 2 2 dt dt d2 d 即： f 1 (t ) ∗ 2 [tu (t )] = (1 − e −t )u (t ) = e −t u (t ) dt dt
例 1-1：已知 f (t ) 波形如下图所示，求 f (−2t + 3) 的波形。
f (t )
f (t ) → f (at + t 0 )
2 1 -1 ０ -1 1 2 3 4 5
（ a 、 t0 是给定的实数）
t
2 p3 =6 种方式
3个单位 0。 5倍 解：法 1： f (t ) 左移 → f (t + 3) 反褶 → f (−t + 3) 压缩为原来 → f ( −2t + 3)
g (t ) １ ０ １ ２ ３ ４ ５ ６
t
例 1-4：求下图中信号 f 1 (t ) 与 f 2 (t ) 卷积的波形。
f1 (t ) ２
f 2 (t ) １ ０ １ ２
t
０
１
３
t
－１
解：
′ f1 (t ) (2)
∫
１
３ (2)
f 1 (t ) ∗ f 2 ( t )
t
t
−∞
f 2 (τ )dτ
g 1 (t ) = u (t + 0.5) − u (t − 0.5) 。
（ 1）试画出 x (t ) 的波形图； （ 2）试画出 y (t ) = x (t ) ∗ x (t ) 的波形图。 解： （ 1）
g 1 (t )
１
x (5 − 2t )
１ (1)
− 0.5
x (−2 t )
0.5
t
x( 2t )
f ( −t )
f (− 2t )
f ( −2t + 3)
２ －５ －４－３ －２ －１ ０ －１ １ t
5 3 − − 2 2
２ ０ 1 －１ 2
２
t
－１ ０ １ －１
２
t
法 3：
3 0 .5 倍 1 .5 个单位 f (t ) 压缩为原来的 → f (2t ) 反褶 → f (−2t ) 右移 → f [ −2(t − )] = f ( −2t + 3) 2
1 .5 2.5
3.5
t
1
−1 0
(1)
(1)
1
0
1
t
−1
1
t
x (t )
(2)
1
0
−2
（ 2） y (t ) = x (t ) ∗ x (t )
2
= [u (t ) − u (t − 2) + 2δ (t + 2)] ∗ [u (t ) − u (t − 2) + 2δ ( t + 2 )] = [u (t ) − u (t − 2)] ∗ [u ( t ) − u (t − 2)] + 4[u (t + 2) − u (t )] + 4δ (t + 4)
1 倍。 a
例 1-2：已知 f (5 − 2t ) 的波形，试画出 f (t ) 和 f ′(t ) 的波形，并写出 f (t ) 的数学 表达式。
f (5 − 2t )
１ ０
（２） １ 3 ２ 5 ３ 2 2
t
解： f (t ) = [u (t + 1) − u( t − 1)] + ( −t + 2)[ u (t − 1) − u (t − 2)] + 4δ (t − 2) 法 1：
f (t + 3)
f ( − t + 3)
f ( −2t + 3)
2 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2
t
2 1 -2 -1 0 1 2 3 4 t
2 1 -1 0 1 2 -1
t
法 2：
3 5倍 。 5 个单位 f (t ) 反褶 → f (−t ) 压缩为原来 0。 → f ( −2t ) 右移 1 → f [ −2(t − )] = f ( −2t + 3) 2
f1 (t )
f 2 (t )
１ ０ １ ２
t
２ ０ ２ ４
解：１）当 t < 3 时， g ( t ) = 0 ２）当 3 ≤ t < 4 时， g ( t ) = ∫
t −2 1
2(τ − 1)dτ =t 2 − 6t + 9
２ １
t−4