保险精算 第7章3 准备金
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7.4 责任准备金的递推公式
全离散型更一般情况： ( x)投保， 第j 1个保单年度末给付死亡 保险金b j1 , 保单年度初缴纳纯保费 j ( j 0,1,) 第h 1个保单年度末的纯保费 责任准备金为
h1
V bh j v j p xh1q xh1 j h1 j v j p xh1
7.6.3 保费和损失结合法
根据各年的满期保险费以及预期的赔付率和IBNR赔 款占总赔款额的比率来估计IBNR损失，进而得到 IBNR准备金。 适用于损失数据波动较大且在右边有长“尾巴”分 布 的场合。 数学模型为：
解：由递推公式得 ( h-1V h-1 )(1 i) pxh1 h V qxh1 bh
for h 1,2,,20
例2答案
( h-1V h-1 )(1 i)hV 即 h-1 vh Vh-1V 两边同时乘 v h1 , 有 v h1 h-1 v h h V v h1 h-1V
②美国保险监督官标准
产生背景：FPT适用于低费率保单，如果是高费 率保单，第一年冲销的费用就过多了。 美国保险监督官标准：
如果是低保费保单： FPT 19 P 采用FPT调节； x 1 如果是高保费保单： FPT 19 P ，则 x 1
Com
Com
19 Px1 A
“钱的去 向”
②
例2
一份完全离散型均衡缴费10年的20年期两全保险的 保单规定，若被保险人在保险期内死亡，则保险人将 在其死亡的年末给付死亡保险金，且保险金额等于死 亡年末的纯保费准备金；若被保险人生存到保险期满， 则保险人给付的生存保险金为1000元。设年利率为 6%，
计算均衡纯保费 ，以及第 5年年末的纯保费准备金 V。 5
修正责任准备金原理——阶梯保费值
责任准备金的修正
即
或
常用的修正准备金方法
①一年定期修正法——FTP法 （Full preliminary term)完全初年修正
条件：第一年的修正净保费为第一年的死亡受益现值。
cx (
F
1 Ax : 1| )
F
P cx P a x :n 1|
例4
某种x岁投保、按年均衡缴费n年，从x+n岁开始 每年领取1元的延期年金，该保单规定，若领取人在 x+n岁前死亡，保险人将于其死亡的年末给付金额等 于那时的纯保费准备金的保险金。
求该年金的年缴均衡纯 保费， 第k年年末的纯保费责任准 备金的数额。
解： ( h1V )(1 i) hV pxh1 hV qxh1 for h 1,2,n
则
v
h 1
20
h 1
v V V
20 h -1 20 0
例3
已知35岁的人购买了一种完全离散型寿险，该 保险在第10年年末的死亡给付额为2500元，准 备金按利率i=6%计算，年缴纯保费为P。 假定 9V P10V 500, 求 q44。
解：(9V P)(1 i) 2500 q359 10V p359
1 x:1
说明：该方法是以20年缴费的终身寿险为划分标准。
③加拿大修正制
条件： Can P E Can，其中 E Can 为第一年费用按均 衡保费衡量的额外补贴，有
ECan min(a, b, c)
其中：
a＝150％净均衡保费 b＝新契约费 c＝仍然提供的管理费用及保单持有人分红时在第二年及 以后年中可收回费用的精算现值。
方法类似于例2
n
xn , 0V 0 V a
7.5 修正责任准备金
修正责任准备金的产生:
如果不考虑费用责任准备金的因素，始终以净保费 责任准备金为准计算保险公司的债务，会使保险 公司保险初年的负担很重，而且利润溢出各年变 动非常大。 为了保险公司的利润溢出比较平滑，也同时兼顾被 保险人的利益，有了修正责任准备金的概念。
j 1 j j 0 j 0
h1
V bh v qxh1 h1 vpxh1 ( bh j v j1 pxh qxh1 j h1 j v j1 pxh )
j j 1 j 1 j 1
递推公式（一）
h1
V h1 bh v qxh1 v pxh1 hV
7.6 IBNR责任准备金的估计方法
7.6.1 已发生未报告准备金 本节适用于财产保险 已发生未报告（incurred but not reported） 赔款准备金简称IBNR准备金
பைடு நூலகம்本节主要介绍IBNR的两种估计方法： 平均法、保费和损失结合法
7.6.2 平均法
IBNR赔案的赔款总额取决于三个因素： 延迟报告赔案的个数（N） 每个赔案的赔款金额（X） 延迟时间（T） 平均法就是用这三个因素的平均数 来估计未来IBNR赔款总额。
期初保费+期初准备金
=期内死亡给付和期末准备金的精算现值
递推公式（二）
( h1V h1 )(1 i) bh qxh1 hV pxh1
“钱的去向”
例1
已知：
i 0.04 ,
计算 p38 解：①
20 23 15
V 0.585 ,
20 24 15
V 0.6
全离散型更一般情况： ( x)投保， 第j 1个保单年度末给付死亡 保险金b j1 , 保单年度初缴纳纯保费 j ( j 0,1,) 第h 1个保单年度末的纯保费 责任准备金为
h1
V bh j v j p xh1q xh1 j h1 j v j p xh1
7.6.3 保费和损失结合法
根据各年的满期保险费以及预期的赔付率和IBNR赔 款占总赔款额的比率来估计IBNR损失，进而得到 IBNR准备金。 适用于损失数据波动较大且在右边有长“尾巴”分 布 的场合。 数学模型为：
解：由递推公式得 ( h-1V h-1 )(1 i) pxh1 h V qxh1 bh
for h 1,2,,20
例2答案
( h-1V h-1 )(1 i)hV 即 h-1 vh Vh-1V 两边同时乘 v h1 , 有 v h1 h-1 v h h V v h1 h-1V
②美国保险监督官标准
产生背景：FPT适用于低费率保单，如果是高费 率保单，第一年冲销的费用就过多了。 美国保险监督官标准：
如果是低保费保单： FPT 19 P 采用FPT调节； x 1 如果是高保费保单： FPT 19 P ，则 x 1
Com
Com
19 Px1 A
“钱的去 向”
②
例2
一份完全离散型均衡缴费10年的20年期两全保险的 保单规定，若被保险人在保险期内死亡，则保险人将 在其死亡的年末给付死亡保险金，且保险金额等于死 亡年末的纯保费准备金；若被保险人生存到保险期满， 则保险人给付的生存保险金为1000元。设年利率为 6%，
计算均衡纯保费 ，以及第 5年年末的纯保费准备金 V。 5
修正责任准备金原理——阶梯保费值
责任准备金的修正
即
或
常用的修正准备金方法
①一年定期修正法——FTP法 （Full preliminary term)完全初年修正
条件：第一年的修正净保费为第一年的死亡受益现值。
cx (
F
1 Ax : 1| )
F
P cx P a x :n 1|
例4
某种x岁投保、按年均衡缴费n年，从x+n岁开始 每年领取1元的延期年金，该保单规定，若领取人在 x+n岁前死亡，保险人将于其死亡的年末给付金额等 于那时的纯保费准备金的保险金。
求该年金的年缴均衡纯 保费， 第k年年末的纯保费责任准 备金的数额。
解： ( h1V )(1 i) hV pxh1 hV qxh1 for h 1,2,n
则
v
h 1
20
h 1
v V V
20 h -1 20 0
例3
已知35岁的人购买了一种完全离散型寿险，该 保险在第10年年末的死亡给付额为2500元，准 备金按利率i=6%计算，年缴纯保费为P。 假定 9V P10V 500, 求 q44。
解：(9V P)(1 i) 2500 q359 10V p359
1 x:1
说明：该方法是以20年缴费的终身寿险为划分标准。
③加拿大修正制
条件： Can P E Can，其中 E Can 为第一年费用按均 衡保费衡量的额外补贴，有
ECan min(a, b, c)
其中：
a＝150％净均衡保费 b＝新契约费 c＝仍然提供的管理费用及保单持有人分红时在第二年及 以后年中可收回费用的精算现值。
方法类似于例2
n
xn , 0V 0 V a
7.5 修正责任准备金
修正责任准备金的产生:
如果不考虑费用责任准备金的因素，始终以净保费 责任准备金为准计算保险公司的债务，会使保险 公司保险初年的负担很重，而且利润溢出各年变 动非常大。 为了保险公司的利润溢出比较平滑，也同时兼顾被 保险人的利益，有了修正责任准备金的概念。
j 1 j j 0 j 0
h1
V bh v qxh1 h1 vpxh1 ( bh j v j1 pxh qxh1 j h1 j v j1 pxh )
j j 1 j 1 j 1
递推公式（一）
h1
V h1 bh v qxh1 v pxh1 hV
7.6 IBNR责任准备金的估计方法
7.6.1 已发生未报告准备金 本节适用于财产保险 已发生未报告（incurred but not reported） 赔款准备金简称IBNR准备金
பைடு நூலகம்本节主要介绍IBNR的两种估计方法： 平均法、保费和损失结合法
7.6.2 平均法
IBNR赔案的赔款总额取决于三个因素： 延迟报告赔案的个数（N） 每个赔案的赔款金额（X） 延迟时间（T） 平均法就是用这三个因素的平均数 来估计未来IBNR赔款总额。
期初保费+期初准备金
=期内死亡给付和期末准备金的精算现值
递推公式（二）
( h1V h1 )(1 i) bh qxh1 hV pxh1
“钱的去向”
例1
已知：
i 0.04 ,
计算 p38 解：①
20 23 15
V 0.585 ,
20 24 15
V 0.6