数值分析分章复习(第七章 非线性方程求根)
第七章 非线性方程求根
要点：（1）迭代公式局部收敛性及收敛性判断
（2）迭代公式收敛阶概念
（3）Newton 迭代公式及收敛性定理 复习题：
1、建立一个迭代公式计算数
a =要求分析所建迭代公式的收敛性
解：
迭代式为：105
n x x +?=??
=?? 数a
应是函数()x ?=
()a a ?=）
注意到（1）当[0,5]x ∈时，恒有[,5)](0x ?∈
（2）当[0,5]x ∈
时，恒有()1
12
x ?<'=
<
依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛到a 2、对于方程2x
e x -=，
（1） 证明在区间［-1.9，-1］内有唯一实根
（2） 讨论迭代格式 10(12
.9,1)
k x
k x e x +?=∈--??-??的收敛性如何？
（3） 写出求解该实根的牛顿迭代公式
解：（1）记()2x
f x e x =-- 显然( 1.9)0.04960, (1)0.63210f f -=>-=-< 当[ 1.9,1]x ∈--时，恒有()10x
f x e '=-< 可见()f x 在区间[ 1.9,1]--内有且仅有一个零点
即方程在区间[ 1.9,1]--内有且仅有一个实根
（2）取()2x
x e ?=-
容易验证：（I ）当[ 1.9,1]x ∈--时，恒有[ 1.9](,1)x ?∈--，
(II) 当[ 1.9,1]x ∈--时，恒有1
)1(x
e
x e ?-'<=<
依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛
（3）记()2x
f x e x =--
牛顿迭代法形式： 1()
()
n n n n f x x x f x +=-
'
即：10
211.9n n x n n n x e x x x e x +?--=-?-??=-?
3、为求012
3
=--x x 在1.5附近的一个根，现将方程改写成等价形式，且建立相应的
迭代公式：（1）211x
x +=；（2）()3
1
21x x +=。试分析每一种迭代的收敛性
解：记 32
()1f x x x =--
(1) 迭代式为1211n n x x +=+
，这里记2
1()1x x ?=+ 注意到(1.3)(1.5)1f f <, 并且2
()32(32)0f x x x x x '=-=->, [1.3,1.5]x ∈ 所以区间[1.3,1.5]为有根区间
([1.3,1.5])[1.3,1.5]??, 并且当[1.3,1.5]x ∈时，恒有3
|()|2
11.3x ?≤
<'
依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛
(2) 迭代式为1231(1)n n
x x +=+，这里123
()(1)x x ?=+
同(1)中讨论，得结论：该迭代公式收敛
4、对于方程01=-x
xe 在0.5附近的根。
（1） 选取一个不动点迭代公式，判别其收敛性，并指出收敛阶。 （2） 给出求解该实根的牛顿迭代公式 解：(1) 01=-x
xe 1x x e
=
构造迭代式： 10
n x
n x e x -+?=????， 即取迭代函数 ()x
x e ?-=
首先，容易验证区间[0.1,1]是方程的一个有根区间
([0.1,1])[0.1,1]??, 并且当[0.1,1]x ∈时，恒有0.1|()|1x e ?-≤<'
依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛 设*
[0.1,1]x ∈是其根的精确值，
因为*
*()0x x e ?-'=-≠，故收敛为线性收敛，即收敛阶1p =
(2) 记()1x
f x xe =-
牛顿迭代法形式： 1()
()
n n n n f x x x f x +=-
'
即：10
1(1)1n n x n n n x n x e x x x e x +?-=-?+??=?
5、应用牛顿法于方程2()10a
f x x
=-
=，导出求a 的迭代公式
解：牛顿迭代法形式： 1()
()
n n n n f x x x f x +=-
'
即：21312n n n n
a x x x a x +-
=-， 即312n n
n n x ax x x a +-=-，
即 3
132n n
n ax x x a
+-=
如果1a <，可取01x =， 如果1a >，可取0x a =
6、对于非线性证明方程02ln =--x x
（1） 证明在区间(1,∞)有一个单根.并大致估计单根的取值范围. （2） 写出Newton 迭代求解该根的迭代公式 解：（1）记()ln 2f x x x =--，显然()f x 处处可微 (1)10f =-<， lim ()x f x →+∞
=+∞
所以，在区间(1,∞)内至少存在一个实根
另外，由于1
()10 , (1,)f x x x
∈'=-
+∞> 所以，在区间(1,∞)内有且仅有一个实根
(3)1ln30f =-<，(4)2ln 40f =->
可见根 (3,4)x ∈
（2）牛顿迭代法形式： 1()
()
n n n n f x x x f x +=-
'
即：1ln 211n n n n n
x x x x x +--=--， 即2
1ln 21n n n n
n n n x x x x x x x +--=--
即1ln 1
n n n
n n x x x x x ++=
-
考虑取 04x =
7、据理证明*
1x =是方程4
3
2
231x x x x --+=的一个二重根，
并构造计算*
x 的具有平方收敛阶的Newton 迭代 解：记4
3
2
2)31(x x f x x x --+-= 因为 (1)0, (1)0, (1)0f f f '''=≠=
所以*
1x =是方程()0f x =的一个二重根
注意到，当α是0)(=x f 的m 重根)2(≥m 时，
牛顿迭代法求解0)(=x f 仅是线性收敛的
事实上，对于牛顿迭代法，其迭代函数是()
()'()
f x x x f x ?=-
，
由 α是0)(=x f 的m 重根，令()()(),m
f x x
g x α=- ()0,g α≠
则 ()()
()()()()
x g x x x mg x x g x α?α-=-
'+-
容易验证：1
()1m
?α'=-
，因1,()0,()1m x ?α?''>≠<且， 故牛顿迭代法是收敛的，但只是线性收敛。
求方程m 重根的牛顿迭代法形式： 1()
()
n n n n f x x x m
f x +=-'
即423132
232(1)
4343
n n n n n n n n n x x x x x x x x x +--+----+=
该迭代至少为平方收敛
8、求方程3
250x x --=在区间[2,3]内根的近似值有如下变形
x =（1）试判定对任意初始近似值0[2,3]x ∈简单迭代法1()k k x x ?+=的收敛性； （2）写出求解该实根的Newton 迭代格式，并考虑迭代初值的选取 解：（1
）记()x ?=
([2,3])[2,3]??
并且
|()|1x ?≤
<'
所以()x ?作为区间[2,3]上的压缩映射，存在一个不动点*
[2,3]x ∈
并且对于0[2,3]x ?∈，迭代式1()k k x x ?+=均收敛到*
x
（2）牛顿迭代法形式： 1()
()
n n n n f x x x f x +=-
'
即：21252(1)n n n n n x x x x x +--=--， 即215
2(1)
n n n n x x x x +++=-
取03x =（注：满足00()()0f x f x ''>）
9、为数值求得方程042=--x x 的正根*x ，可建立如下迭代格式
,2,1,
41=+=-n x x n n ,
试利用迭代法的收敛理论证明对于00>?x ，该迭代序列收敛，且满足.*lim x x n n =∞
→ 解：记
() 0x x ?=>
显然1()14
x ?'=
<<
所以，对于00x ?>，迭代式1()k k x x ?+=均收敛到*
x
10、对于非线性方程 1232cos 0x x -+= （1） 证明方程存在唯一实根
（2） 证明对于任意的0x R ∈，迭代式12
4cos 3
k k x x +=+ 产生的序列{}k x 收敛到方程的根
（3） 构造求解该方程根的Newton 迭代式 解：（1）记 ()1232cos f x x x =-+
显然()f x 连续可微，又, lim ()lim ()x x f x f x →-∞
→+∞
=+∞=-∞
所以根据连续函数零点存在定理可知 *(,)x ?∈-∞+∞，成立*
()0f x = 另外， ()32sin 0f x x '=--<，可见函数()f x 严格单调递减 故满足()0f x =的点*
x 唯一，即方程存在唯一实根
（2）记2
()4cos 3
x x ?=+
因为22()sin 133
x x ?'=
<<
所以，对于0x ?，迭代式1()k k x x ?+=产生的序列{}k x 均收敛到方程的根*
x
（3）牛顿迭代法形式： 1()
()
n n n n f x x x f x +=-
' 即：11232cos 32sin n n n n n x x x x x +-+=++， 即1122(cos sin )32sin n n n n n
x x x x x +++=+