数值分析分章复习(第七章 非线性方程求根)

第七章 非线性方程求根

要点：（1）迭代公式局部收敛性及收敛性判断

（2）迭代公式收敛阶概念

（3）Newton 迭代公式及收敛性定理 复习题：

1、建立一个迭代公式计算数

a =要求分析所建迭代公式的收敛性

解：

迭代式为：105

n x x +⎧=⎪⎨

=⎪⎩ 数a

应是函数()x ϕ=

()a a ϕ=）

注意到（1）当[0,5]x ∈时，恒有[,5)](0x ϕ∈

（2）当[0,5]x ∈

时，恒有()1

12

x ϕ<'=

<

依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛到a 2、对于方程2x

e x -=，

（1） 证明在区间［-1.9，-1］内有唯一实根

（2） 讨论迭代格式 10(12

.9,1)

k x

k x e x +⎧=∈--⎪⎨-⎪⎩的收敛性如何？

（3） 写出求解该实根的牛顿迭代公式

解：（1）记()2x

f x e x =-- 显然( 1.9)0.04960, (1)0.63210f f -=>-=-< 当[ 1.9,1]x ∈--时，恒有()10x

f x e '=-< 可见()f x 在区间[ 1.9,1]--内有且仅有一个零点

即方程在区间[ 1.9,1]--内有且仅有一个实根

（2）取()2x

x e ϕ=-

容易验证：（I ）当[ 1.9,1]x ∈--时，恒有[ 1.9](,1)x ϕ∈--，

(II) 当[ 1.9,1]x ∈--时，恒有1

)1(x

e

x e ϕ-'<=<

依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛

（3）记()2x

f x e x =--

牛顿迭代法形式： 1()

()

n n n n f x x x f x +=-

'

即：10

211.9n n x n n n x e x x x e x +⎧--=-⎪-⎨⎪=-⎩

3、为求012

3

=--x x 在1.5附近的一个根，现将方程改写成等价形式，且建立相应的

迭代公式：（1）211x

x +=；（2）()3

1

21x x +=。试分析每一种迭代的收敛性

解：记 32

()1f x x x =--

(1) 迭代式为1211n n x x +=+

，这里记2

1()1x x ϕ=+ 注意到(1.3)(1.5)1f f <, 并且2

()32(32)0f x x x x x '=-=->, [1.3,1.5]x ∈ 所以区间[1.3,1.5]为有根区间

([1.3,1.5])[1.3,1.5]ϕ⊆, 并且当[1.3,1.5]x ∈时，恒有3

|()|2

11.3x ϕ≤

<'

依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛

(2) 迭代式为1231(1)n n

x x +=+，这里123

()(1)x x ϕ=+

同(1)中讨论，得结论：该迭代公式收敛

4、对于方程01=-x

xe 在0.5附近的根。

（1） 选取一个不动点迭代公式，判别其收敛性，并指出收敛阶。 （2） 给出求解该实根的牛顿迭代公式 解：(1) 01=-x

xe 1x x e

=

构造迭代式： 10

n x

n x e x -+⎧=⎪⎨⎪⎩， 即取迭代函数 ()x

x e ϕ-=

首先，容易验证区间[0.1,1]是方程的一个有根区间

([0.1,1])[0.1,1]ϕ⊆, 并且当[0.1,1]x ∈时，恒有0.1|()|1x e ϕ-≤<'

依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛 设*

[0.1,1]x ∈是其根的精确值，

因为*

*()0x x e ϕ-'=-≠，故收敛为线性收敛，即收敛阶1p =

(2) 记()1x

f x xe =-

牛顿迭代法形式： 1()

()

n n n n f x x x f x +=-

'

即：10

1(1)1n n x n n n x n x e x x x e x +⎧-=-⎪+⎨⎪=⎩

5、应用牛顿法于方程2()10a

f x x

=-

=，导出求a 的迭代公式

解：牛顿迭代法形式： 1()

()

n n n n f x x x f x +=-

'

即：21312n n n n

a x x x a x +-

=-， 即312n n

n n x ax x x a +-=-，

即 3

132n n

n ax x x a

+-=

如果1a <，可取01x =， 如果1a >，可取0x a =

6、对于非线性证明方程02ln =--x x

（1） 证明在区间(1,∞)有一个单根.并大致估计单根的取值范围. （2） 写出Newton 迭代求解该根的迭代公式 解：（1）记()ln 2f x x x =--，显然()f x 处处可微 (1)10f =-<， lim ()x f x →+∞

=+∞

所以，在区间(1,∞)内至少存在一个实根

另外，由于1

()10 , (1,)f x x x

∈'=-

+∞> 所以，在区间(1,∞)内有且仅有一个实根

(3)1ln30f =-<，(4)2ln 40f =->

可见根 (3,4)x ∈

（2）牛顿迭代法形式： 1()

()

n n n n f x x x f x +=-

'