§3.5 洛朗(Laurent)级数展开

y
o
z −1 < 2
−1 上展开为泰勒级
+1 x
数 1 1 1 1 1 1 ⋅ = ⋅ = ⋅ 2 z + 1 2 ( z − 1) + 2 4 1 + z − 1 2
1 k z −1 = ∑ ( −1) 4 k =0 2
∞ k
z −1 < 2
∞ 1 1 k +1 1 k ∴ f (z) = + ∑ ( −1) z − 1) k +2 ( 2 z − 1 k =0 2
∞
k
∞ 1 z 1 k k 从而 f ( z ) = ∑ z − ∑ k = ∑ 1 − k +1 z 2 k =0 2 2 k =0 k =0 k
∞
∞
无负幂项.原因是 f (z)在圆域 z <1 内处处解析 .
(2)
1 在1 < z < 2内， < 1 z
1 1
∞ k ∞ k
展开成幂级数或展开成类似于幂级数的形式？ 展开成幂级数或展开成类似于幂级数的形式？
定义： 定义：双边幂级数及其收敛圆环
k =−∞
∑ a (z − z )
k 0
∞
k
=
−2 −1
L + a− k ( z − z0 ) + L + a−2 ( z − z0 ) + a−1 ( z − z0 )
−k
+ a0 + a1 ( z − z0 ) + a2 ( z − z0 ) 2 + L + ak ( z − z0 ) k + L
k =0
∞
2 k
)
= −∑ z
k =0
∞
2k
−1
o
+1 x
为奇点， （2）展开中心z0=1为奇点， 展开中心z =1为奇点
1 1 1 1 1 f (z) = 2 = = − z − 1 ( z − 1)( z + 1) 2 z − 1 z + 1
第一项已经是展开式的一项， 第一项已经是展开式的一项， 对第二项，z=1不是奇点， 对第二项，z=1不是奇点， 不是奇点 z=- 是奇点， z=-1是奇点，可在
∞ n
z z = 1 − + −L 3! 5!
2
4
0< z <∞
ez 例2： 把 f ( z ) = 2 在以z = 0为中心的圆环域内 z 展开成洛朗级数.
ez 1 z 1 z2 z3 解: 2 = 2 ⋅ e = 2 (1 + z + + + ...) z z z 2! 3! 1 1 1 z2 z2 = 2 + + + + + ... z z 2! 3! 4!
= − ∑ ( k + 2 ) z 2k
k =−∞ −3
z
2
(z
1
2
− 1)
2
3 1 1 z d 1 = = 6 − 2 z 2 dz 1 − 1 1 6 z 1 − 2 2 z z
∞ k
z < ∞ 内，

1 d 1 ∞ 1 1 =− 3 ∑ z 2 = − 2 z 3 ∑ ( −2k ) z 2k +1 2 z dz k =0 k =0
<|zR2<|z-z0|<R1，则 内连续； (1) 在B内连续；
f (z) =
k = −∞
∑
∞
ak ( z − z0 )k
(2) 在B内解析，且于B内可逐项求导； 内解析，且于B内可逐项求导； 内可逐项积分。 (3) 在B内可逐项积分。
R1 R2
B
z0
定理3 （洛朗定理） 洛朗定理）
<|z设函数 f(z) 在环状域 R2<|z-z0|<R1 的内部单 值解析，则对于环内任一点z f(z)必 值解析，则对于环内任一点z， f(z)必可展开成
（1） z = z（即展开中心） 0 即展开中心） 的奇点， 可能不是 f ( z )的奇点， 但在 z − z0 ≤ R2 上，f ( z ) （2）洛朗系数 ak ≠ 因为
f(
k)
R1
z
R2
z0 C
CR2
存在奇点（即内圆以内存在奇点）； 存在奇点（即内圆以内存在奇点）；
( z0 )
k! f (ξ ) k! (k ) f ( z0 ) = ∫ c (ξ − z )k +1 dξ 2π i 0
举例
sin z =0的邻域上把 展开。 例1：在z0=0的邻域上把 展开。 z 解： f ( z ) = sin z z 有孤立奇点z=0 z=0， 有孤立奇点z=0，并在 0 < z < ∞
−1) z 2 n +1 sin z 1 ( 内有 f ( z ) = = ∑ z z n =0 ( 2n + 1) !
y
o
+1
+2 x
1 解：f ( z ) = ( z − 1)( z − 2) 1 1 = − 1− z 2 − z
y
o
(1) 在 0 < z < 1内, 由于 z < 1,
1 k =∑z , 1 − z k =0
∞
+1
+2 x
z < 1.有 2
1 1 1 1 z = ⋅ = ∑ k 2 − z 2 1 − z 2 k =0 2 2
0 < z <1
内，
z
2
(z
1
2
− 1)
2
1 1 d 1 = 2 2 z 2 z dz 1 − z
1 d ∞ 2k 1 ∞ 2 k −1 = 3 ∑ z = 2 z 3 ∑ 2k ⋅ z 2 z dz k =0 k =0
=
k =−2
∑ ( k + 2) ⋅ z
∞
2k
（2 ）在 1 <
无限项正幂项和 无限项正幂项和负幂项
(3)
z 在2 < z < +∞内， > 1, 2
1 2 此时 < 1， <1 z z
1 1 1 1 f ( z) = − = − z − 2 z −1 2 1 z 1 − z 1 − z z
1 2 1 1 2 −1 = ∑ k − ∑ = ∑ k +1 z k =0 z z k =0 z k =0 z
z − z0 < R1
对主要部分， 对主要部分，令 得
( 0 < R1 ≤ ∞ )
1 ξ= z − z0
2 3
a−1ξ + a−2ξ + a−3ξ +L
1 , 设其收敛（ 设其收敛（圆）区域 ξ < R2
即
(0
≤ R2 < ∞
)
z − z0 > R2
讨论： 讨论： 若 R2 < R1
，两部分有公共的收敛区域 收敛圆环； 收敛圆环；
f (z) =
∞
k =−∞
∑
ak ( z − z 0 )
k
CR1
R1
1 其中 ak = 2π i
∫ (ξ − z )
c 0
f (ξ )
k +1
dξ
z
R2
z0 C
CR2 称为洛朗系数， 称为洛朗系数，c为环域内按逆 时针方向绕内圆一周的任一闭合 曲线（也可取圆周）。 曲线（也可取圆周）。
CR1
几点说明
R2 < z − z0 < R1
则级数处处发散。 若 R2 > R1 ，则级数处处发散。
正则部分
∑ ak ( z − z0 )
k =0
∞
k
ak ( z − z0 ) k 主要部分 ∑
k =−1
−∞
R1
1 ζ = z − z0
z0
R2
z0
|z-z0|<R1
R1 R2
R2<|z-z0|
z0
收敛环 R2<|z-z0|<R1
其中： 其中：
an ( z − z0 ) n 称为解析（正则）部分； 称为解析（正则）部分； 正幂部分 ∑ 解析
负幂部分
∞
n = −1
an ( z − z0 ) n 称为主要（无限）部分。 称为主要（无限）部分。 主要 ∑
n =0 −∞
收敛区域（环）的确定 收敛区域（ 区域 正则部分的收敛（ 正则部分的收敛（圆）区域为
南区科技楼
§3.5
洛朗（ 洛朗（Laurent）级数展开 级数展开
已知：当 f(z)在圆|z-z0|<R内解析时，根据 f(z)在圆|z- |<R内解析时 在圆|z 内解析时，
Taylor定理，f(z)必可展开成幂级数。 Taylor定理，f(z)必可展开成幂级数。 定理 必可展开成幂级数
问题：当 f(z)在圆|z-z0|<R内有奇点时，能否 f(z)在圆|z- |<R内有奇点时 在圆|z 内有奇点时，
1 z 1 1 − = − ∑ k − ∑ f ( z) = − 2 k =0 2 z k =0 z z 1 2 1 − z 1 − 2 z
∞ ∞ ∞ zk 1 zk 1 = −∑ k +1 − ∑ k +1 = −∑ k +1 − ∑ k k =0 2 k =0 z k =0 2 k =1 z ∞
1 z
1 1 1 f ( z ) = z e = z (1 + + + 3 + ...) 2 z 2! z 3! z z 1 1 3 2 =z +z + + + + ... 2! 3! 4! z
3
1 3 z
例6 ：将
z
2
(z
1
2
− 1)
2
在 0 < z < 1 及 1 < z < ∞ 上展成
洛朗级数。 洛朗级数。 解：（1）在 ：（1
∞ k ∞ k ∞ k
无正幂项和 无正幂项和无限项负幂项
例5： 把函数 f ( z ) = z e 在 0 < z < +∞内展开 成洛朗级数.
1 z
1 3 z
解： e 在0 < z < +∞是处处解析的，从而有 1 1 1 1 e = 1+ + + + + ... 2 3 4 z 2! z 3! z 4! z

双边幂级数的性质
定理1 双边幂级数
k =−∞
∑ a (z − z )
k 0
∞
k
在收敛环上的
和函数是一解析函数， 和函数是一解析函数，并且在任意较小的 闭圆环 R2 < R2′ ≤ z − z0 ≤ R1′ < R1 上一致 收敛。 收敛。
R1
B
R2
z0
定理2
设双边幂级数
k = −∞
∑
∞
的收敛环B a k ( z − z 0 ) k 的收敛环B为
1 例３：将 f ( z ) = 分别在环域 1 < z < ∞ 2 z −1
以及z =1的邻域上展开为洛朗级数 的邻域上展开为洛朗级数。 以及z0=1的邻域上展开为洛朗级数。 解：（1） f ( z ) = ：（1
1 的奇点为 z = ±1，展开 2 z −1
1 1 ∑ z2 = ∑ z2 k =0 k =0
=
k =−1
∑ ( −1)
∞
k +1
1 2
k +2
( z − 1)
k
0 < z −1 < 2
有限项负幂项
y
−1
o
+1 x
1 例4 ： 把 函 数 f ( z ) = 在圆环域 ( z − 1)( z − 2)
(1)0 < z < 1 (2)1 < z < 2 (3) 2 < z < +∞ 内展开成洛朗级数.
∞ k ∞ k +1
中心z =0不是奇点 不是奇点， 中心z0=0不是奇点，
1 1 1 1 f ( z) = 2 = 2 = 2 z −1 z 1 − 1 z 2 z
1< z < ∞
无穷多个负幂项
只可展开为泰勒级数， 若在 z < 1 上，只可展开为泰勒级数，
1 f (z) = − 1− z2
y
= −∑ ( z
成立的条件是 f ( z ) 在C内解析； 内解析；
洛朗展开是唯一的； （3）洛朗展开是唯一的； （4）定义： 定义： 不解析（不可导或无意义），而在Z ），而在 若 f ( z )在Z0不解析（不可导或无意义），而在Z0 内解析， 的去心邻域 0 < z − z0 < ε 内解析，则称 Z=Z0 是 f ( z ) 的孤立奇点。若在Z0无论多么小的邻域内，总有除Z0 孤立奇点。若在Z 无论多么小的邻域内，总有除Z 外的奇点，则称Z 非孤立奇点。 外的奇点，则称Z0为 f ( z )的非孤立奇点。