三角函数与向量综合题练习

平面向量与三角函数综合练习

题型一 三角函数平移与向量平移的综合

三角函数与平面向量中都涉及到平移问题，虽然平移在两个知识系统中讲法不尽相同，但它们实质是一样的，它们都统一于同一坐标系的变化前后的两个图象中.解答平移问题主要注意两个方面的确定：(1)平移的方向；(2)平移的单位.这两个方面就是体现为在平移过程中对应的向量坐标.

例1 把函数y ＝sin2x 的图象按向量→a ＝(－π6

，－3)平移后，得到函数y ＝Asin(ωx ＋ϕ)(A ＞0，ω＞0，|ϕ|＝π2

)的图象，则ϕ和B 的值依次为 （ ） A ．π12，－3 B ．π3，3 C ．π3，－3 D ．－π12

，3 题型二 三角函数与平面向量平行(共线)的综合

此题型的解答一般是从向量平行(共线)条件入手，将向量问题转化为三角问题，然后再利用三角函数的相关知识再对三角式进行化简，或结合三角函数的图象与民性质进行求解.此类试题综合性相对较强，有利于考查学生的基础掌握情况，因此在高考中常有考查.

例2 已知A 、B 、C 为三个锐角，且A ＋B ＋C ＝π.若向量→p ＝(2－2sinA ，cosA ＋sinA)与向量→q ＝(cosA －sinA ，1＋sinA)是共线向量.

（Ⅰ）求角A ；

（Ⅱ）求函数y ＝2sin 2B ＋cos C －3B 2

的最大值. 题型三 三角函数与平面向量垂直的综合

此题型在高考中是一个热点问题，解答时与题型二的解法差不多，也是首先利用向量垂直的充要条件将向量问题转化为三角问题，再利用三角函数的相关知识进行求解.此类题型解答主要体现函数与方程的思想、转化的思想等.

例3 已知向量→a ＝(3sinα,cosα)，→b ＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(3π2

，2π)，且→a ⊥→b ． （Ⅰ）求tanα的值；

（Ⅱ）求cos(α2＋π3

)的值． 题型四 三角函数与平面向量的模的综合

此类题型主要是利用向量模的性质|→a |2＝→a 2，如果涉及到向量的坐标解答时可利用两种方法：（1）先进行向量运算，再代入向量的坐标进行求解；（2）先将向量的坐标代入向量的坐标，再利用向量的坐标运算进行求解.

例4 已知向量→a ＝(cosα,sinα)，→b ＝(cosβ,sinβ)，|→a －→b |＝25 5.(Ⅰ)求cos(α－β)的值；(Ⅱ)若－π2

＜β＜0＜α＜π2，且sinβ＝－513

，求sinα的值. 题型五 三角函数与平面向量数量积的综合

此类题型主要表现为两种综合方式：(1)三角函数与向量的积直接联系；(2)利用三角函数与向量的夹角交汇，达到与数量积的综合.解答时也主要是利用向量首先进行转化，再利用三角函数知识求解.

例5 设函数f(x)＝→a ·→b .其中向量→a ＝(m ，cosx)，→b ＝(1＋sinx ，1)，x ∈R ，且f(π2

)＝2.（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值.

六、解斜三角形与向量的综合

在三角形的正弦定理与余弦定理在教材中是利用向量知识来推导的，说明正弦定理、余弦定理与向量有着密切的联系.解斜三角形与向量的综合主要体现为以三角形的角对应的三角函数值为向量的坐标，要求根据向量的关系解答相关的问题.

例6 已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，其对边分别为a 、b 、c ，若→m ＝(－cos A 2，sin A 2

)，→n ＝(cos A 2，sin A 2)，a ＝23，且→m ·→n ＝12

． （Ⅰ）若△ABC 的面积S ＝3，求b ＋c 的值．

（Ⅱ）求b ＋c 的取值范围．