高考理科数学第2讲 数列求和及综合应用(大题细做)

限时规范训练(十)

(建议限时45分钟，实际用时________分钟)

解答题(本题共5小题，每小题12分，共60分)

1．(2019·天津卷)设{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，公比大于0.已知a 1＝b 1＝3，b 2

＝a 3，b 3＝4a 2＋3.

(1)求{a n }和{b n }的通项公式；

(2)设数列{c n }满足c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n 为奇数，

b n 2

，n 为偶数.求a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n (n ∈N *)．

解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .

依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3q ＝3＋2d ，3q 2＝15＋4d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，

q ＝3，

故a n ＝3＋3(n －1)＝3n ，b n ＝3×3n －1＝3n .

所以，{a n }的通项公式为a n ＝3n ，{b n }的通项公式为b n ＝3n . (2)a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n

＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)＋(a 2b 1＋a 4b 2＋a 6b 3＋…＋a 2n b n )

＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

n ×3＋n （n －1）2×6＋(6×

31＋12×32＋18×33＋…＋6n ×3n ) ＝3n 2＋6(1×31＋2×32＋…＋n ×3n )． 记T n ＝1×31＋2×32＋…＋n ×3n ，① 则3T n ＝1×32＋2×33＋…＋n ×3n ＋1，②

②－①得，2T n ＝－3－32－33－…－3n ＋n ×3n ＋1＝－3（1－3n ）1－3

＋n ×3n ＋1＝

（2n －1）3n ＋1＋32

.

所以，a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n ＝3n 2

＋6T n ＝

3n 2

＋3×（2n －1）3n ＋1＋3

2

＝

（2n －1）3n ＋2＋6n 2＋9

2

(n ∈N *)．

2．(2019·厦门质检)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n

2a n ＋3

，n ∈N *.

(1)求证：数列⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫

1a n 为等差数列；

(2)设T 2n ＝

1a 1a 2－1a 2a 3＋1a 3a 4－1a 4a 5＋…＋1a 2n －1a 2n －1a 2n a 2n ＋1

，求T 2n . 解：(1)证明：由a n ＋1＝

3a n

2a n ＋3，得1a n ＋1＝2a n ＋33a n ＝1a n ＋23，所以1a n ＋1－1a n ＝2

3.

又a 1＝1，则1a 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫1a n 是首项为1，公差为2

3的等差数列．

(2)设b n ＝1a 2n －1a 2n －1

a 2n a 2n ＋1＝⎝

⎛⎭⎪⎫1a 2n －1－1a 2n ＋11a 2n ， 由(1)得，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公差为23的等差数列，所以1a 2n －1－1a 2n ＋1

＝－43，

即b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2n －1－1a 2n ＋11a 2n

＝－43×1

a 2n ， 所以

b n ＋1－b n ＝－43⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2n ＋2－1a 2n

＝－43×43＝－16

9

.

又b 1＝－43×1a 2＝－43×

⎝⎛⎭⎫1a 1＋23＝－20

9

， 所以数列{b n }是首项为－209，公差为－16

9

的等差数列，

所以T 2n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝－209n ＋n （n －1）2×⎝⎛⎭⎫－169＝－49

(2n 2＋3n )． 3．(2019·内蒙古包头模拟)已知函数f (x )＝log m x (m ＞0且m ≠1)，点(a n ，2n )(n ∈N *)在函数f (x )的图象上．

(1)若b n ＝a n ·f (a n )，当m ＝3

3

时，求数列{b n }的前n 项和S n ； (2)设c n ＝

a n m n ·lg a n

m

n ，若数列{c n }是单调递增数列，求实数m 的取值范围． 解：(1)由题意，可得log m a n ＝2n ，∴a n ＝m 2n ， 当m ＝33

时，b n ＝a n ×log m a n ＝m 2

n ×2n ＝2n ×⎝⎛⎭⎫13n ， ∴S n ＝2×13

＋4×⎝⎛⎭⎫132＋6×⎝⎛⎭⎫133＋…＋(2n －2)×⎝⎛⎭⎫13n －1＋2n ×⎝⎛⎭⎫13n ，①

∴13

S n ＝2×⎝⎛⎭⎫132＋4×⎝⎛⎭⎫133＋6×⎝⎛⎭⎫134＋…＋(2n －2)×⎝⎛⎭⎫13n ＋2n ×⎝⎛⎭⎫13n ＋1，② ①－②得：23S n ＝2[13＋⎝⎛⎭⎫132＋⎝⎛⎭⎫133＋⎝⎛⎭⎫134＋…＋⎝⎛⎭⎫13n ]－2n ×⎝⎛⎭⎫13n ＋1 ＝2×13⎣⎡⎦⎤1－

⎝⎛⎭⎫13n 1－1

3

－2n ×⎝⎛⎭⎫13n ＋1

＝1－(2n ＋3)×⎝⎛⎭

⎫13n ＋1

，

∴S n ＝32－2n ＋3

2×3n

.

(2)由题意，得c n ＝a n m n ×lg a n m n ＝m 2n m n ×lg m 2n

m n ＝m n n lg m .

∵数列{c n }是单调递增数列， ∴c n ＜c n ＋1对任意的n ∈N *都成立， ∴m n n lg m ＜m n ＋1(n ＋1)lg m ，

即n lg m ＜m (n ＋1)lg m 对任意的n ∈N *都成立．

当0＜m ＜1时，m ＜n n ＋1＝1－1

n ＋1

对任意的n ∈N *都成立，

设h (n )＝1－1n ＋1，易知h (n )是单调递增函数，h (n )min ＝h (1)＝12，∴0＜m ＜1

2.

当m ＞1时，m ＞n n ＋1＝1－1

n ＋1，

∵1－

1

n ＋1

＜1对任意的n ∈N *都成立， ∴m ＞1.

综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，1

2∪(1，＋∞)． 4．(2019·宁波二模)已知数列{a n }中，a 1＝2，a n a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫

23n

. (1)求证：数列{a 2n }与{a 2n －1}都是等比数列；

(2)若数列{a n }的前2n 项和为T 2n ，令b n ＝(7－T 2n )n (n ＋1)，求数列{b n }的最大项． 解：(1)证明：依题意得a 1a 2＝23，又a 1＝2，则a 2＝13

.