有限元分析及应用+homework+I

《有限元分析及应用》习题I

要求：

(1) 每位同学独立完成；

(2) 请手写书面完成，交手写稿，不要打印稿；

(3) 跟随课堂进度完成相应的习题，在课程结束时一并上交，具体时间见通知。

1.如图所示的1D 杆结构，试用取微单元体的方法建立起全部基本方程和边界条件，并求出它的所有

解答。 注意：它的弹性模量为E ，横截面积为

A

第1题图

2.设平面问题中的应力为

123456789xx yy xy a a x a y

a a x a y a a x a y

σστ=++=++=++ 其中a i （i=1,2,…,9）为常数,令所有体积力为零，对下列特殊情况说明平衡是否满足？为什么？或者在a i 之间有什么关系才满足平衡。 （1）除a 1 、a 4 、a 7外，其余a i 为零。 （2）a 3=a 5=a 8=a 9=0 （3）a 2=a 6=a 8=a 9=0 （4）所有a i 均为非零。

3.如图所示，已知平面应力问题的应力状态为,,xx yy xy σστ， 求： （1）斜面上应力σN ，τN 的表达式。

（2）最大主应力、最小主应力及此时斜面的方向余弦。

第3题图

4.分别就以下情形，写出所有基本方程及边界条件（分量形式、指标形式）、各基本变量(分量形式、

指标形式以及对应关系)。 （1）1D 情形 （2）2D 情形 （3）3D 情形

5 设有应变分量的表达式为

22440122440122012()()()()()

xx yy xy A A x y x y B B x y x y C C xy x y C εεγ=++++=++++=+++ 其中0101012,,,,,,A A B B C C C 为常数，试问这些常数需要满足何种关系时，以上的应变分量才能成为一种真正的应变状态。

6. 分别给出平面应力和平面应变状态下的前提条件及表达式，推导两种情况下的物理方程，以及它们之间的转换关系。

7. 一个立方块的弹性体放在同样大小的刚性盒内，其上面用刚性盖密闭后加均匀压力q , 方块与盒

盖之间无摩擦力，设加压方向为z 轴，盒的侧面法向为x 轴和y 轴，求弹性体的应力,,xx yy zz σσσ和应变,,xx yy zz εεε

8. 某一长方体的位移分量为

321

132213

(12)

(,,)(12)

(,,)(12)

(,,)P u x y z x b y b z a E P v x y z y b z b x a E P w x y z z b x b y a E

μμμ−=−

+−+−=−+−+−=−+−+

其中123123,,,,,a a a b b b 为常数。试证明：该长方体只有体积改变，而无形状改变。若该长方体的原点无移动，该体也无转动，求该体的位移分量表达式中的各常数。

9. 证明1：指标形式与分量形式的应变能计算公式的对应关系为

11

[]22

ij ij xx xx yy yy zz zz xy xy yz yz zx zx d d σεσεσεσετγτγτγΩΩΩ=+++++Ω∫∫ 证明2：纯弯梁应变能的表达式为：

21

2l

U M dx EI

=

∫ 10. 如图所示为一受均布载荷的悬臂梁。

（1）用挠度方程求出精确解。

（2）写出二种以上的许可位移场（试函数）

（3）基于许可位移（至少用一种），分别用以下几种原理求挠度曲线v (x)，并和精确解比较。

z 最小势能原理（即Rayleigh-Ritz 法）。 z Galerkin 加权残值法。 z 残值最小二乘法。

第10题图

11. 试用最小势能原理，推导如图所示平面悬臂梁的挠度方程和边界条件。

第11题图

12. 设某一类1D 物理问题的微分方程为

220(01)d x x dx

ϕ

ϕ++=≤≤

边界条件为

(0)(1)0ϕϕ==

若采用下列试函数

1122()()()x c x c x ϕϕϕ=+

其中

12

2()(1)()(1)

x x x x x x ϕϕ=−=−

试应用以下方法求解该问题

(1) 加权残值法中的Galerkin 方法， (2) 加权残值法中的最小二乘方法，

(3) 定义一个泛函，然后采用求极值的方法(类似于最小势能原理)