《高等数学》函数的微分
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(aax )(n) an eax
1
ax
(n)
(1)n
(a
n! x)n1
1 (n)
ax
n! (a x)n1
(sin x)(n)
sin(x
n
2
)
(cos x)(n)
cos( x
n
2
)
补例： y sin6 x cos6 x
解:
sin4 x sin2 x cos 2 x cos 4 x
可微
2. 微分运算法则
微分形式不变性 : d f (u) f (u) d u
( u 是自变量或中间变量 )
近似计算 3. 微分的应用 估计误差
机动 目录 上页 下页 返回 结束
补充题
1. 已知
求
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2. 已知
求
习题课 目录 上页 下页 返回 结束
即 dy f (x0 )x
线性主部
机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明: y f (x0 )x o(x) dy f (x0 )x
当 f (x0 ) 0 时 , lim y lim y x0 dy x0 f (x0 )x 1 lim y 1 f (x0 ) x0 x
所以 x 0 时 y 与 dy 是等价无穷小, 故当 x
dx
例3. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:
(1)
d(
1 2
x2
C
)
xdx
(2)
d(
1
sin
t
C)
cost dt
说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.
注意: 数学中的反问题往往出现多值性.
注意 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
1. 微分概念 • 微分的定义及几何意义
• 可导
二、 微分运算法则
设 u(x) , v(x) 均可微 , 则
du dv
(C 为常数)
vdu udv
5. 复合函数的微分 则复合函数
分别可微 , 的微分为
f (u) (x) dx du
dy f (u) du
微分形式不变
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.
求
解:
2 xe x 2 1 ex2
dx
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 设
求
解: 利用一阶微分形式不变性 , 有
d( y sin x) d(cos(x y)) 0
sin x dy y cos x dx sin(x y) (dx dy) 0
dy
y cos x sin(x y) sin(x y) sin x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理 : 函数
在点 x0可微的充要条件是
在点 处可导, 且
即
dy f (x0 )x
证: “必要性”
已知
在点 可微 , 则
y f (x0 x) f (x0 ) பைடு நூலகம்x o(x)
lim y lim ( A o(x) ) A
x0 x x0
x
故
在点 的可导, 且
x0x
故
称为函数在 x0 的微分
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定义: 若函数
在点 x0 的增量可表示为
Ax o(x)
( A 为不依赖于△x 的常数)
则称函数 y f (x) 在点 可微, 而 A x 称为
的微分, 记作
即
dy Ax
定理: 函数
在点 x0 可微的充要条件是
即
dy f (x0 )x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理 : 函数
在点 x0可微的充要条件是
在点 处可导, 且
即
dy f (x0 )x
“充分性” 已知
在点 的可导, 则
lim y x0 x
f (x0 )
y x
f (x0 )
( lim 0 ) x0
故 y f (x0 )x x f( x0 )x o(x)
1 3 sin2 2x 4
sin2 1 cos 2
2
y(n)
3 8
4n
cos(4x
n
2
)
a3 b3 (a b) (a2 ab b2 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
第五节
第二章
函数的微分
一、微分的概念 二、微分运算法则 三、微分在近似计算中的应用 四、微分在估计误差中的应用
机动 目录 上页 下页 返回 结束
一、微分的概念
引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其
边长由x0 变到 x0 x , 问此薄片面积改变了多少?
设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 A x2 , 当 x 在 x0 取
得增量x 时, 面积的增量为
x x0x (x)2
关于△x 的 x 0时为
线性主部 高阶无穷小
x0 A x02
x0 x
从而 dy f (x) dx
导数也叫作微商
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例如, y x3,
dy x 2 3x2 dx x 2 0.24
dx 0.02
dx 0.02
又如, y arctan x ,
dy
1
1 x2
dx
基本初等函数的微分公式
机动 目录 上页 下页 返回 结束
很小时, 有近似公式
y dy
机动 目录 上页 下页 返回 结束
微分的几何意义
切线纵坐标的增量
dy f (x0 )x tan x
当 x 很小时, y dy 当y x 时，
记
y x dx 称x为自变量的微分, 记作 dx 则有 dy f (x) dx
dy
y y f (x)
y
o
x0
x
1
ax
(n)
(1)n
(a
n! x)n1
1 (n)
ax
n! (a x)n1
(sin x)(n)
sin(x
n
2
)
(cos x)(n)
cos( x
n
2
)
补例： y sin6 x cos6 x
解:
sin4 x sin2 x cos 2 x cos 4 x
可微
2. 微分运算法则
微分形式不变性 : d f (u) f (u) d u
( u 是自变量或中间变量 )
近似计算 3. 微分的应用 估计误差
机动 目录 上页 下页 返回 结束
补充题
1. 已知
求
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2. 已知
求
习题课 目录 上页 下页 返回 结束
即 dy f (x0 )x
线性主部
机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明: y f (x0 )x o(x) dy f (x0 )x
当 f (x0 ) 0 时 , lim y lim y x0 dy x0 f (x0 )x 1 lim y 1 f (x0 ) x0 x
所以 x 0 时 y 与 dy 是等价无穷小, 故当 x
dx
例3. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:
(1)
d(
1 2
x2
C
)
xdx
(2)
d(
1
sin
t
C)
cost dt
说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.
注意: 数学中的反问题往往出现多值性.
注意 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
1. 微分概念 • 微分的定义及几何意义
• 可导
二、 微分运算法则
设 u(x) , v(x) 均可微 , 则
du dv
(C 为常数)
vdu udv
5. 复合函数的微分 则复合函数
分别可微 , 的微分为
f (u) (x) dx du
dy f (u) du
微分形式不变
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.
求
解:
2 xe x 2 1 ex2
dx
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 设
求
解: 利用一阶微分形式不变性 , 有
d( y sin x) d(cos(x y)) 0
sin x dy y cos x dx sin(x y) (dx dy) 0
dy
y cos x sin(x y) sin(x y) sin x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理 : 函数
在点 x0可微的充要条件是
在点 处可导, 且
即
dy f (x0 )x
证: “必要性”
已知
在点 可微 , 则
y f (x0 x) f (x0 ) பைடு நூலகம்x o(x)
lim y lim ( A o(x) ) A
x0 x x0
x
故
在点 的可导, 且
x0x
故
称为函数在 x0 的微分
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定义: 若函数
在点 x0 的增量可表示为
Ax o(x)
( A 为不依赖于△x 的常数)
则称函数 y f (x) 在点 可微, 而 A x 称为
的微分, 记作
即
dy Ax
定理: 函数
在点 x0 可微的充要条件是
即
dy f (x0 )x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理 : 函数
在点 x0可微的充要条件是
在点 处可导, 且
即
dy f (x0 )x
“充分性” 已知
在点 的可导, 则
lim y x0 x
f (x0 )
y x
f (x0 )
( lim 0 ) x0
故 y f (x0 )x x f( x0 )x o(x)
1 3 sin2 2x 4
sin2 1 cos 2
2
y(n)
3 8
4n
cos(4x
n
2
)
a3 b3 (a b) (a2 ab b2 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
第五节
第二章
函数的微分
一、微分的概念 二、微分运算法则 三、微分在近似计算中的应用 四、微分在估计误差中的应用
机动 目录 上页 下页 返回 结束
一、微分的概念
引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其
边长由x0 变到 x0 x , 问此薄片面积改变了多少?
设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 A x2 , 当 x 在 x0 取
得增量x 时, 面积的增量为
x x0x (x)2
关于△x 的 x 0时为
线性主部 高阶无穷小
x0 A x02
x0 x
从而 dy f (x) dx
导数也叫作微商
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例如, y x3,
dy x 2 3x2 dx x 2 0.24
dx 0.02
dx 0.02
又如, y arctan x ,
dy
1
1 x2
dx
基本初等函数的微分公式
机动 目录 上页 下页 返回 结束
很小时, 有近似公式
y dy
机动 目录 上页 下页 返回 结束
微分的几何意义
切线纵坐标的增量
dy f (x0 )x tan x
当 x 很小时, y dy 当y x 时，
记
y x dx 称x为自变量的微分, 记作 dx 则有 dy f (x) dx
dy
y y f (x)
y
o
x0
x