高等数学第一章课件-数 域
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§1.1 数 域
一、数域的定义 定义1 设 P ⊆ ℂ, 若以下条件成立 (1) 0,1 ∈ P ; (2) ∀a , b ∈ P , 有
� � � �
a + b ∈ P; a − b ∈ P; a ⋅ b ∈ P;
当 b ≠ 0 时，则 a ∈ P ,
b
即数集P对加法、 减法、乘法、除法 （除数不为 0）运算 封闭。
(1)ℚ( −1) = { a + bi | a, b ∈ ℚ};
(2)G = { n 2 | n ∈ ℤ}.
2、设 P , K 是数域， （1）试证：P ∩ K是一个数域； （2）举例说明 P ∪ K 不一定是数域； （3）试证：P ∪ K 是一个数域 ⇔ P ⊆ K 或 P ⊇ K .
例4
G = {a 3 2 | a ∈ ℚ}.
二、数域的性质
性质1 任意数域 P 必包含有理数域 ℚ 。 即，有理数域是最小数域。
推论1 数域 P 必包含无穷多个数。
性质2 ℝ 和 ℂ 之间不存在其他的数域。
最小数域 ℚ 有无穷 多数域 如ℚ( n )
实数域 ℝ 没有其 他数域 复数域 ℂຫໍສະໝຸດ Baidu
作业： 1、判断下列数集是否为数域，并说明理由
则称 P 是一个数域。
例1 有理数域 ℚ ；实数域 ℝ ；复数域 ℂ。 例2 自然数集 ℕ ；整数集 ℤ ；偶数集 2ℤ 。 例3 ℚ( 2) = {a + b 2 | a, b ∈ ℚ}.
ℝ ( 2) = { a + b 2 | a, b ∈ ℝ}.
ℤ( 2) = {a + b 2 | a, b ∈ ℤ}.
一、数域的定义 定义1 设 P ⊆ ℂ, 若以下条件成立 (1) 0,1 ∈ P ; (2) ∀a , b ∈ P , 有
� � � �
a + b ∈ P; a − b ∈ P; a ⋅ b ∈ P;
当 b ≠ 0 时，则 a ∈ P ,
b
即数集P对加法、 减法、乘法、除法 （除数不为 0）运算 封闭。
(1)ℚ( −1) = { a + bi | a, b ∈ ℚ};
(2)G = { n 2 | n ∈ ℤ}.
2、设 P , K 是数域， （1）试证：P ∩ K是一个数域； （2）举例说明 P ∪ K 不一定是数域； （3）试证：P ∪ K 是一个数域 ⇔ P ⊆ K 或 P ⊇ K .
例4
G = {a 3 2 | a ∈ ℚ}.
二、数域的性质
性质1 任意数域 P 必包含有理数域 ℚ 。 即，有理数域是最小数域。
推论1 数域 P 必包含无穷多个数。
性质2 ℝ 和 ℂ 之间不存在其他的数域。
最小数域 ℚ 有无穷 多数域 如ℚ( n )
实数域 ℝ 没有其 他数域 复数域 ℂຫໍສະໝຸດ Baidu
作业： 1、判断下列数集是否为数域，并说明理由
则称 P 是一个数域。
例1 有理数域 ℚ ；实数域 ℝ ；复数域 ℂ。 例2 自然数集 ℕ ；整数集 ℤ ；偶数集 2ℤ 。 例3 ℚ( 2) = {a + b 2 | a, b ∈ ℚ}.
ℝ ( 2) = { a + b 2 | a, b ∈ ℝ}.
ℤ( 2) = {a + b 2 | a, b ∈ ℤ}.