极值点偏移问题PPT课件
《极值点偏移问题》课件
代数法
代数法是一种通过代数运算和不等式技巧来解决极值点偏移问题的方法。
它通常涉及到对函数进行变形、代换和构造新函数等操作，以简化问题并 找到解决方案。
代数法在处理一些复杂问题时可能比较繁琐，但对于一些特定的问题，它 能够提供简洁明了的解法。
微分法
微分法是通过求导数来研究 函数性质的一种方法，它可 以用于解决极值点偏移问题
数的极值点。
数值分析法对于处理大规模和高维度的极值点偏移问题非常有
03
效，但需要一定的计算资源和时间来获得结果。
04
极值点偏移问题的应用实例
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
在物理问题中的应用
解决物理问题中的极值点偏移问题，需要利用数学模型和物理原理，通过分析受力情况和运动状态，找到极值点并解决偏移 问题。
模型参数解释
模型中的参数反映了函数的形状 、大小和方向等特性，通过调整 参数可以模拟不同情况的极值点 偏移。
模型应用范围
极值点偏移的数学模型可以应用 于各种领域，如物理学、工程学 、经济学等，用于描述和预测各 种实际问题的极值点偏移现象。
03
极值点偏移问题的解决方法
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
在工程问题中的应用
在工程领域中，极值点偏移问题也具有广泛的应用价 值，例如在结构设计、机械振动、控制系统等方面。 解决这类问题需要运用数学方法和工程知识，通过建 立数学模型和进行数值模拟，找到极值点并解决偏移 问题。
在工程问题中，极值点偏移问题常见于结构设计、机 械振动、控制系统等领域。例如，在机械振动中，结 构的共振频率和振型可能会受到多种因素的影响，包 括结构的质量分布、刚度、阻尼等。通过建立数学模 型和运用工程知识，可以分析结构的极值点和偏移情 况，从而优化结构设计和提高机械设备的稳定性。此 外，在控制系统中，也需要考虑极值点偏移问题，以 实现系统的稳定控制和优化设计。
数学-极值点偏移问题的求解策略(共14张PPT)
解法二：（分离参数）
f ( x) ( x 2)e a( x 1) 有两个零点 x (2 x)e 有两根. 方程 a 2 ( x 1)
x 2
(2 x)e g ( x) 2 ( x 1)
x
(0, )
问题提出
【2016 全国课标Ⅰ卷理 21】 【题目】已知函数 f ( x) ( x 2)e a( x 1) 有两个零点. （Ⅰ）求 a 的取值范围； (0, ) （Ⅱ） 设 x1 , x2 是 f ( x) 的两个零点， 证明：x1 x2 2 .
2
所以f (2 x2 ) x2e
2 x2
( x2 2)e . 令g ( x) xe2x ( x 2)ex .
x2
x
令g( x) ( x 1)(e e ). 所以当 x 1 时， g ( x) 0 ，而 g (1) 0 ，
2 x
故当 x 1 时， g ( x) 0. 从而 g ( x2 ) f (2 x2 ) 0, 故x1 x2 2.
x 2
x1 x2 1 x1 x2 2 2
问题解决
f (2 x2 ) 0 0 f ( x2 ) f (2 x2 )
f ( x1 ) f (2 x2 )
x1 2 x2 x1 x2 2
问题解决
不妨设 x1 1 x2 ， 则2 x2 (1, ).
问题提出
【2016 全国课标Ⅰ卷理 21】 【题目】已知函数 f ( x) ( x 2)e a( x 1) 有两个零点. （Ⅰ）求 a 的取值范围； （Ⅱ） 设 x1 , x2 是 f ( x) 的两个零点， 证明：x1 x2 2 .
极值点偏移问题课件-2025届高三数学一轮复习
(3)用导求解:利用导数求解函数h(t)的最值,从而可证得结论.
视角二
极值点偏移问题之消参减元、差值代换
[例2]若函数f(x)=x-aex+b(a>0,b∈R)有两个不同的零点x1,x2,证明:x1+x2<-2ln a.
1 − e1 + = 0,
1 −2
1
2
【证明】由题知
两式相减得x1-x2=a(e -e ),即a= 1 2 .
令h'(x)>0,则x>1,令h'(x)<0,则0<x<1.
所以函数h(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
因为函数g(x)有两个不同的零点,即h(x)=a有两个不同的根,所以a>h(1)=1,
所以g(x)有两个不同的零点x1,x2且0<x1<1<x2,且h(x1)=h(x2)=a,
ln 1 −ln 2
2
>
,即ln
1 −2
1 +2
1 2(1 −2 )
>
,
2
1 +2
1
令c= (c>1),则不等式变为ln
2
2(−1)
c>
.
+1
2
1 +2
,所以原问题等价于证明
令h(c)=ln
2(−1)
c,c>1,
+1
1
4
(−1)2
所以h'(c)= =
>0,
化变形.
【极值点偏移的定义】
一般地,若连续函数f(x)在[a,b]内有唯一的极值点x0,对于任意的x1,x2∈[a,b],当
高中数学课件-拓展视野9 极值点偏移问题
＝(x1＋x2)ln
x1－Hale Waihona Puke n x1－x2x2，只需证ln
x1－ln x1－x2
x2＞x1＋2 x2，
只需证 ln x1－ln x2＜2（xx11＋－xx22），只需证 ln xx12＜2（xxxx1212＋－11），
11
令xx12＝t(0＜t＜1)，只需证 ln t＜2（tt＋－11）， 令 H(t)＝ln t－2（tt＋－11）， H′(t)＝1t －（t＋41）2＝（tt（＋t1＋）12）－24t＝t（（tt－＋11））22＞0， 所以 H(t)在(0，1)上单调递增， 所以 H(t)＜H(1)＝0，即 ln t＜2（tt＋－11）成立， 所以 x1x2＞e2 成立.
9
类型 二 比(差)值换元构造辅助函数 通过代数变形，将所证的双变量不等式通过代换 t＝xx12(t＝x1－x2)化为
单变量的函数不等式，利用函数单调性证明. 例 2 (2024·通州模拟节选)已知函数 f(x)＝ax－ax－ln x(a＞0)，且当 0
＜a＜1e时 g(x)＝f(x)＋ax有两个零点 x1，x2，证明：x1x2＞e2.
1
拓展视野9 极值点 偏移问题
2
已知函数 f(x)图象顶点的横坐标就是极值点 x0，若 f(x)＝c 的两根的中 点刚好满足x1＋2 x2＝x0，即极值点在两根的正中间，也就是说极值点没有偏 移，此时函数 f(x)在 x＝x0 两侧，函数值变化快慢相同，如图(1)所示.若x1＋2 x2 ≠x0，则极值点偏移，此时函数 f(x)在 x＝x0 两侧，函数值变化快慢不同， 如图(2)(3)所示.
极值点偏移问题-2024届高三数学二轮复习课件
(3)对F ( x)求导, 得出极值点"某一侧" (不需完整 )的单调性
(4)代该侧中的 xi (如此题中的 x2 )进F (x) ()F (x0 ) 0 (5)利用f (x j ) f (xi )替换(4)中不等式, 回归f (x)在"另一侧"的单调性
f (x1) f (2 x2 ) 0
a[ln(2a) 2]2 a 0
在(1,)上单调递增
f (x)的两个极值 f (1), f (ln(2a))均小于零,
易知f (1) e 0
f (x)的零点最多只有一个 .
x 时,
综上所述 , a的取值范围是 [0,)
(x 2)ex 0, a(x 1)2
f (x) x 时,易知f (x) f (x)有两个零点
对极点左右两边的陡缓 研究,可转化成 由原函数与对称函数构 成的差函数 ,以及对差值函数单调性 研究.
如何求一个函数的对称 函数,理论依据是什么 ?
理论 : 如果f (a x) f (a x), 则f (x)关于x a对称 f (x)关于x a对称后得 f (2a x)
(x0是f (x)的一个极值点 )
设F (x) f (x) f (e2 )( x e1)
F
'(x)
ln
x
1
x e2 x 2
[(ln(
e2
)
1]
(1
ln
x)(e2 x2
1)
x
e2x2
f (x)在(0, e1)上单调递减 x e1, F'(x) 0 F(x)在(e1,)上单调递增
f (x)在(e1,)上单调递增 f (x)只有极小值为 f (e1) e1 0,无极大值 f (x)只有极小值为 f (e1) e1 0,无极大值
极值点偏移课件高二下学期数学人教A版选择性
知识梳理
极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象 不具有对称性.
极值点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题中，这类题往往对思维 要求较高，过程较为烦琐，计算量较大.
解决极值点偏移问题，有对称化构造函数法和比值代换法，二者各有 千秋，独具特色.
例题讲解 题型一 不含参数的极值点偏移
x x 1 1 2
即：x1＋x2>2.
2
x x 1 2
2
例题讲解 题型二 含参数的极值点偏移
方法： 比值代换
例题讲解 题型二 含参数的极值点偏移
方法： 比值代换
例题讲解 题型二 含参数的极值点偏移
方法： 比值代换
例题讲解 题型二 含参数的极值点偏移
方法： 对称化构造函数
跟踪训练 题型二 含参数的极值点偏移 方法： 比值代换
恒成立， 故原不等式 x1 x2 2 亦成立.
归纳总结
归纳总结
【对称构造法】
本质： 将双变元的不等式转化为单变元不等式，利用构造新的函数来
达到消元的目的，
口诀： 极值偏离对称轴， 构造函数觅行踪； 四个步骤环相扣， 一求二构造三单调四比较。
归纳总结
【对称构造法】
对称化构造函数法构造辅助函数 (1)对结论x1＋x2>2x0型，构造函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x). (2)对结论 x1x2>x20型，方法一是构造函数 F(x)＝f(x)－f xx20，通过研究 F(x) 的单调性获得不等式；方法二是两边取对数，转化成 ln x1＋ln x2>2ln x0， 再把 ln x1，ln x2 看成两变量即可.
方法一 差值代换
第1步: 确定变量范围 0 x1 1 x2
《极值点偏移问题》课件
极值点偏移的影响和危害
极值点偏移可能导致优化结果的不准确性和不稳定性，从而影响工程设计的 性能和效果。它还可能导致资源的浪费和成本的增加。
常见的解决方法和技术
为了解决极值点偏移问题，研究者们提出了许多方法和技术，如增加数据采 样量、改进优化算法、优化模型等。
实际案例分析Biblioteka 本节将通过一些实际案例来分析极值点偏移问题的具体情况和解决方法，以帮助读者更好地理解和应对 这个问题。
极值点偏移问题的未来研究方向
虽然已经有一些解决方法和技术，但极值点偏移问题仍然具有挑战性。未来的研究可以聚焦于改进现有 方法、提出新的算法和技术等方面。
结论和总结
通过本课件的学习，我们深入了解了极值点偏移问题的背景和重要性，了解了它的定义和原因，以及影 响和危害。同时，我们也了解到了一些常见的解决方法和技术。未来的研究将继续推动这个领域的发展。
《极值点偏移问题》PPT 课件
本课件介绍了极值点偏移问题，包括问题的背景和重要性，极值点偏移的定 义和原因，以及极值点偏移的影响和危害。
问题的背景和重要性
极值点偏移问题在各个领域都存在，无论是科学研究还是工程设计，都需要充分了解这个问题的背景和 重要性。
极值点偏移的定义和原因
极值点偏移是指在优化问题中，最优解点的位置发生偏移的现象。这种偏移可能由多种因素引起，如测 量误差、模型不准确等。
高中数学课件-导数中的综合问题-第4课时 极值点偏移问题
高考重难突破一导数中的综合问题第4课时极值点偏移问题已知函数 图象顶点的横坐标就是极值点 0.（1）若 = 的两根的中点满足1+22=0 ，即极值点在两根的正中间，也就是说极值点没有偏移.此时函数 在 =0两侧的函数值变化快慢相同，如图①.（2）若 = 的两根的中点1+22≠0 ，则极值点偏移，此时函数在 =0 两侧的函数值变化快慢不同，如图②、图③.技法一构造对称和（或差）法例1(2023·湖南郴州质量检测)已知函数=ln −122+1，若设函数的两个零点为1，2，证明：1+2>2.【证明】′=1−=1+1−>0，令′=0，解得=1.当0<<1时，′>0，在0,1上单调递增；当>1时，′<0，在1,+∞上单调递减，所以max=1=12>0,且当→0+时，→−∞，2=ln 2−1<0，则的两个零点1，2满足0<1<1<2<2.令=−2−,0<<1,则′=y+y2−=2K122−.当0<<1时，′>0，单调递增，所以<1=0，即<2−.因为0<1<1<2<2，所以0<2−2<1,所以2−2<2=1.又函数在0,1上单调递增，所以1>2−2,即1+2>2.对称变换求极值点偏移的步骤第一步：求导，获得的单调性，极值情况，求出的极值点0，再由1=2得出1,2的取值范围；第二步：构造辅助函数（对结论1+2><20,构造=−20−；对结论12><02,构造=−02,）求导，限定1或2的范围，判定符号，获得不等式；第三步：代入1（或2），利用1=2及的单调性证明结论.【对点训练】已知函数=−1e−，∈.设1,2是函数的两个零点，证明：1+2<0.证明：令=−1e−=0，则=−1e.设=−1e，则′=⋅e，当<0时，′<0,在−∞,0上单调递减，当>0时，′>0,在0,+∞上单调递增.所以min=0=−1，且→−∞时，→0,当>1时，>0.所以，当−1<<0时，有两个零点1，2，且12<0，1=2=0，不妨设1<0，2>0，则−2<0.令=−−=−1e+1+e−，则′=e−e−，当<0时，′=e−e−>0，此时在−∞,0上为增函数，所以<0,即=−−<0，即<−.因为−2<0，所以−2<2,因为1=2=0，所以−2<1,因为在−∞,0上为减函数，所以−2>1，即1+2<0.技法二消参减元法例2已知函数=−2e+−12有两个零点.（1）求的取值范围；【解】′=−1e+2−1=−1e+2.①设=0，则=−2e，只有一个零点.②设>0，则当∈−∞,1时，′<0；当∈1,+∞时，′>0.所以在−∞,1上单调递减，在1,+∞上单调递增.又1=−e<0，2=>0，取满足<0且<ln2，则>2−2+−12=2−32g>0，故存在两个零点.③设<0，由′=0得=1或=ln−2.若≥−e2，则l n−2≤1，故当∈1,+∞时，′>0，因此在1,+∞上单调递增.又当≤1时，<0，所以不存在两个零点.若<−e2，则l n−2>1，故当∈ 1,ln−2时，′<0；当∈ln−2,+∞时，′>0.因此在1,ln−2上单调递减，在ln−2,+∞上单调递增.又当≤1时，<0，所以不存在两个零点.综上，的取值范围为0,+∞.（2）设1，2是的两个零点，证明：1+2<2.证明：不妨设1<2，由（1）知1∈−∞,1，2∈1,+∞，2−2∈−∞,1,又在−∞,1上单调递减，所以1+2<2等价于1>2−2，即2−2<0.由于2−2=−2e2−2+2−12，而2=2−2e2+2−12=0，所以2−2=−2e2−2−2−2e2.设=−x2−−−2e，则′=−1e2−−e.所以当>1时，′<0，而1=0，故当>1时，<0.从而2=2−2<0，故1+2<2.消参减元，主要是利用导数把函数的极值点转化为导函数的零点，进而建立参数与极值点之间的关系，消参或减元，从而简化目标函数.其基本解题步骤如下：（1）建立方程：利用函数的导函数，建立极值点所满足的方程，抓住导函数中的关键——导函数解析式中使导函数变号的因式部分；（2）确定关系：根据极值点所满足的方程，建立极值点与方程系数之间的关系；（3）构建函数：根据消参、减元后式子的结构特征，构造相应的函数；（4）求解问题：利用导数研究所构造的函数的单调性、极值、最值等，解决相应的问题.【对点训练】已知函数=122−+En .若函数有两个极值点1，2，证明：1+2>−ln 22−34.证明：由题意得，′=−1+=2−r>0.因为函数有两个极值点1，2，所以方程2−+=0在0,+∞上有两个不同的实数根1，2，则&1+2=1>0，&12=>0，且=1−4>0，所以0<<14.由题意得1+2=1212−1+En 1+1222−2+En 2 =1212+22−1+2+En12=121+22−12−1+2+En12=12−−1+En =En −−12.令ℎ=En −−12 0<<14，则ℎ′=ln <0，所以ℎ在0,14上单调递减，所以ℎ>ℎ14=−ln 22−34，所以1+2>−ln 22−34.技法三比（差）值换元法例3已知函数=Bln +（，为实数）的图象在点1,1处的切线方程为=−1.（1）求实数，的值及函数的单调区间；【解】′=1+ln >0，由题意得&′1==1，&1==0，解得&=1，&=0.令′=1+ln =0，解得=1e.当>1e时，′>0，在1e,+∞ 上单调递增；当0<<1e时，′<0，在0,1e上单调递减.所以的单调递减区间为0,1e，单调递增区间为1e,+∞ .（2）设函数=+1，证明：1=21<2时，1+2>2.证明：由（1）得=En >0，故=+1=ln +1>0，由1=21<2,得l n 1+11=ln 2+12，即2−112=ln21>0.要证1+2>2，即证1+2⋅2−112>2ln21,即证21−12>2ln21.设21=>1，则需证−1>2ln >1.令ℎ=−1−2ln >1，则ℎ′=1+12−2= 1−12>0.所以ℎ在1,+∞上单调递增，则ℎ>ℎ1=0，即−1>2ln .故1+2>2得证.比（差）值换元的目的也是消参，就是先根据已知条件建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之比（或差）作为变量，实现消参、减元的目的.设法用两个极值点的比值或差值表示所求解的不等式，进而转化为相应的函数问题求解，多用来研究含对数（或指数）式的函数的极值点偏移问题.其基本解题步骤如下：（1）建等式：利用极值点所满足的条件建立两个关于极值点1，2的方程；（2）设比差：根据两个数值之间的大小关系，选取两数之商或差作为变量，建立两个极值点之间的关系；（3）定关系：用一个极值点与比值或差值表示另一个极值点，代入方程.通过两个方程之差或商构造极值点与比值或差值之间的关系，进而通过解方程用比值或差值表示两个极值点；（4）构函数：将关于极值点的目标代数式用比值或差值表示出来，构造相应的函数；（5）解问题：利用导数研究所构造的函数的单调性、极值、最值等，解决相应的问题.【对点训练】已知函数=e−B有两个零点1，21<2.证明：2−1<21−2.证明：由题意得&e1=B1,&e2=B2,令=2−1>0，两式相除得e=e2−1=21=1+1，即1=e−1>0，欲证2−1<21−2，即证<2 e−1 −2，即证2+2r2e<2.记ℎ=2+2r2e>0，ℎ′=2r2e− 2+2r2 ee2=−2e<0，故ℎ在0,+∞上单调递减，所以ℎ<ℎ0=2，即2+2r2e<2，所以2−1<21−2得证.。
极值点偏移问题课件
05
总结与展望
研究成果总结
01
02
03
04
极值点偏移问题的理论框架得 到完善
针对不同类型的数据，提出了 多种极值点偏移的检测方法
分析了极值点偏移现象在气候 、金融等领域的应用效果
与之前的研究相比，提高了极 值点偏移的检测精度
存在的问题与不足
现有的检测方法仍存在一定的误 报和漏报概率
对于复杂数据分布情况下的极值 点偏移问题，还需进一步研究
THANK YOU
03
极值点偏移问题的解决方法
基于数值计算的解决方法
01
02
03
数值逼近法
利用数值逼近理论，通过 选取适当的逼近函数和参 数，对极值点进行近似求 解。
梯度下降法
通过迭代计算，不断调整 函数的参数，使函数在极 值点的附近达到最小值。
牛顿法
利用牛顿定理，通过已知 函数的一阶导数和初始值 ，求解函数的极值点。
极值点偏移问题课件
contents
目录
• 引言 • 极值点偏移问题的基础知识 • 极值点偏移问题的解决方法 • 极值点偏移问题的应用实例 • 总结与展望
01
引言
背景介绍
01
极值点偏移问题在经济、社会、 自然等领域都有广泛的应用，例 如在金融分析、人口统计、气候 变化等领域。
02
随着大数据时代的到来，极值点 偏移问题在数据挖掘、预测分析 等领域也受到越来越多的关注和 研究。
研究目的和意义
研究极值点偏移问题的目的在于寻找 数据中出现的极端异常值，并分析其 产生的原因和影响。
通过极值点偏移问题的研究，可以更 好地理解数据分布和变化规律，为决 策提供科学依据。
内容结构概述
高考数学微专题：偏移问题研究ppt
a
a
a
所以 G(x)
在
(0,
1) a
为增函数，又
0
x1
1 a
，则 G(x1)
G(1)
0
，即
F (x1)
F(2 a
x1)
又
F
( x1
)
F
( x2
)
，故
F
( x2
)
F
(
2 a
x1)
，
又
2 a
x1
1 a
，
x2
1 a
，
F(x) 在 (1 a
, ) 上递减，所以
x2
2 a
x1 ，即
x2
x1
2 a
，故
x0
1
因为 h(x)
0
解法
5：因为 h(x)
ln x 1 ， h(x) ax
ln x ax2
，所以 h(x0 )
ln x0 ax02
，有(Ⅰ)知 a
0，
所以只需证 ln x0 0 ln x0 0 x0 1 x1 x2 2 ．
设
x1
x2
，由(Ⅰ)知，
1 e
x1
1
x2
，
ln
x1
1
ax1, ln
x2
1
则
F
/
(x)
(x)
(2
x)
ln x2
x
ln(2 x) (2 x)2
(2
x)2 ln x x2 ln(2 x2(2 x)2
x)
当 x (0,1) 时，下面说明 (2 x)2 ln x x2 ln(2 x) 0 ，即证 (2 x)2 ln x x2 ln(2 x)
极值点偏移课件
不妨设0＜ x 1＜1＜ x 2，∵0＜ x 1＜1，∴2－ x 1＞1，
设 G ＝ g － g 2 − ，则 G ＝ ln − 2 ＋ + 1 －[ln 2 −
－ 2 − 2 ＋ 2 − ＋1]＝ln x －ln 2 − －2 x ＋2，
③
④
ln 1 −ln 2
由③－④得
＝a，
1 −2
1
故要证 x 1·x 2＜ 2 ，
即证 x 1·x 2＜
2
1 −2
1
1
2
2
，即证ln ＜ ＋ －2，
ln 1 −ln 2
2
2
1
1
1
2
设 ＝ t ， t ∈(0，1)，ln t ＜ t ＋ －2，
2
1
2
设 g ( t )＝ln t － t － ＋2，只需证 g ( t )＜0.
f'
2 −4+2
＝－
.
e
令 h ＝ x 2－4 x ＋2，则 h ＝0的两根分别为 x 1＝2－ 2 ，
x 2＝2＋ 2 .
当 x ＜2－ 2 或 x ＞2＋ 2 时，f' ＜0；
当2－ 2 ＜ x ＜2＋ 2 时，f' ＞0，
所以 f 的单调递增区间为 2 − 2，2 + 2 ，单调递减区间为
∴只要证明 f ( x 2)＞ f (2 a － x 1)，
即证 f ( x 1)＞ f (2 a － x 1).
设函数 g ( x )＝ f ( x )－ f (2 a － x )，
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（2016年全国I卷21题）f (x) (x - 2)ex a(x 1)2 有两个零点. (1)求a的取值范围；
（2）设x1, x2是f ( x)的两个零点，证明：x1 x2 2
（2010年天津卷）已知f (x) xex , x R. (3)如果x1 x2 , 且f (x1) f (x2 ), 证明：x1 x2 2.
(I )求函数f (x)的单调区间；
（II）证明：当f (x1) f ( x2 )(x1 x2. )时, x1 x2 0
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策略二：切实落实课堂上所传授的解题方法与策略；我们可以把高考题按照解题的 思路分类，使得学生练习的习题与老师所讲的例题属于同一种题型，讲一练三。
（2016年全国I卷21题）f (x) (x - 2)ex a(x 1)2 有两个零点. (1)求a的取值范围；
f (x1) f (x2 ) (x1 2)ex1 a(x1 1)2 (x2 2)ex2 a(x2 1)2
(x1 2)ex1 (x2 2)ex2 a(x2 x1)(x1 x2 2)
利用好各类教学方面的报刊杂志，里面有我们老师们发表的优秀的文章， 如果能够拿来归我所用，对我们的帮助我想是巨大的，在这一方面做得 比较好的是陕西师大的教学参考，里面有一个栏目“高考频道”，对于我 们复习备考很有帮助。
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策略一：关注最近几年来的各省的高考题，以它们为蓝本，组织二轮复习， 不一定要做太多太烂的复习题。提高复习材料的质量是关键。
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策略三：高考题绝对不会是只有一种解法，故对于所选出来的例题，注重一题多解， 开拓学生的思路，培养学生灵活解题的能力。
对于极值点偏转问题解法很多：如：
（2010年天津卷）已知f (x) xex , x R.
x1
(3)如果x1 x2 , 且f (x1) f (x2 ), 证明：x1 x2 2.
f
( x)
1 x
2ax
2
a
2ax2
(2 x
a)x
1
(2x
1)(ax x
1)
,
f
(1 ) a
0,
f
( x)
1 x2
2a
Q 与x轴有两个交点a 0, f (x) 0, f (x)
f (x0 ) 0
f ( x1 x2 ) 2
f ( 1 ) a
x1 x2 2
1 a
设A(x1, 0),
B(x2, 0), (0
极值点偏移问题
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1
现在是互联网+时代，互联网技术体现在我们社会生活的各个方 面，我们的教育事业当然也离不开互联网。利用好互联网，可以极 大的提高我们的备课的效率和备课的质量。
在这一方面，我们的学生往往走到了我们的前面，你比如同学们 熟悉的“作业帮”，我们只需要在手机上下载一个APP就可以了，他不但 可以给我们提供习题的解答，还能提供一定量的变式练习；再比如我 们使用的QQ，里面有个腾讯课堂，里面有我们需要的各类视频以及其 他方面的教学资源。
f (2 x1) f (x1) f (x2 ) 2 x1 x2
2 x1
x2
即证：f (2 x1) f (x1)
加细不等式：ab a b a b (a b, a,b R+ ) ln a ln b 2
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（2010年天津卷）已知f (x) xex , x R. (3)如果x1 x2 , 且f (x1) f (x2 ), 证明：x1 x2 2.
（2）设x1, x2是f ( x)的两个零点，证明：x1 x2 2
（2010年天津卷）已知f (x) xex , x R. (3)如果x1 x2 , 且f (x1) f (x2 ), 证明：x1 x2 2.
（2011年辽宁理科高考21题）已知 : f (x) ln x ax2 (2 a)x (I )讨论f (x)的单调性；
ln x1 x1
ln x2 x2
2 x1 x2
x1 x2 2
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（2016年全国I卷21题）f (x) (x - 2)ex a(x 1)2 有两个零点. (1)求a的取值范围；
（2）设x1, x2是f ( x)的两个零点，证明：x1 x2 2
由（1）得：a 0, x 1是极值点，x1 1 x2 2
加细不等式：ab a b a b (a b, a,b R+ ) ln a ln b 2
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（2011年辽宁理科高考21题）已知 : f (x) ln x ax2 (2 a)x (I )讨论f (x)的单调性；
（III）若y f (x)的图像与x轴交于A，B两点， 线段AB的中点的横坐标为x0 , 证明：f (x0 ) 0.
x1
1 a
x2 ),
f (x1)
f (x2 ) 0
1 a
x12 x22 x1 x2 ln x1 ln x2 2(x1 x2 )
ln
x1 x2 1 x1 ln x2 2
x1 x2
x1 x2 1 2 2
x1 x2
Q
x1x2
x1 x2 ln x1 ln x2
x1 x2 2
（2011年辽宁理科高考21题）已知 : f ( x) ln x ax2 (2 a)x (I )讨论f ( x)的单调性；
（III）若y f ( x)的图像与x轴交于A，B两点，线段AB的中点的 横坐标为x0 , 证明：f ( x0 ) 0.
（2013年高考湖南卷文科21题）已知函数f (x) 1 x ex . 1 x
（III）若y f (x)的图像与x轴交于A，B两点， 线段AB的中点的横坐标为x0 , 证明：f (x0 ) 0.
（2013年高考湖南卷文科21题）已知函数f (x) 1 x ex . 1 x
(I )求函数f (x)的单调区间；
（II）证明：当f (x1) f ( x2 )(x1 x.2 )时, x1 x2 0
我们容易得到：x 1 是函数的极值点，0 x1 1 x2
由f (x1) f (x2 ) x1ex1 x2ex2 x1ex2 x2ex1
x2 ln x1 x1 ln x2
ln x1 ln x2 x1 x2
1 x1 x2 ln x1 ln x2
x1 x2 2