概率论与数理统计第四版课后习题答案
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概率论与数理统计课后习题答案
第七章 参数估计
1.[一] 随机地取8只活塞环,测得它们的直径为(以mm 计)
求总体均值μ及方差σ2的矩估计,并求样本方差S 2。
解:μ,σ2的矩估计是
61
22
106)(1ˆ,002.74ˆ-=⨯=-===∑n
i i x X n X σμ
621086.6-⨯=S 。
2.[二]设X 1,X 1,…,X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。
(1)⎩
⎨
⎧>=+-其它,0,)()1(c
x x c θx f θθ 其中c >0为已知,θ>1,θ为未
知参数。
(2)
⎪⎩⎪⎨
⎧≤≤=-.,01
0,)(1其它x x θx f θ 其中θ>0,θ为未知参数。
(5)()p p m x p p x X P x
m x m x ,10,,,2,1,0,)
1()(<<=-==- 为未知参数。 解:(1)
X
θc
θθc θc θc θdx x c θdx x xf X E θθc
θ
θ
=--=-==
=
+-∞+-∞+∞
-⎰
⎰
1
,11)()(1令,得c
X X θ-=
(2)
,1)()(10
+=
=
=
⎰
⎰
∞+∞
-θθdx x
θdx x xf X E θ
2
)1(,1
X X θX θθ-==+得令
(5)E (X ) = mp 令mp =
X
, 解得m
X p
=ˆ
3.[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 解:(1)似然函数
1211
)()()(+-===
∏θn θ
n n n
i i
x x x c
θ
x f θL
0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 1
1
=-
+=-++=∑∑
==n
i i
n
i i x
c n n θθ
d θL d x θc θn θn θL
∑=-=
n
i i
c
n x
n
θ1
ln ln ˆ (解唯一故为极大似然估计量)
(2)
∑
∏=--
=-+-===
n
i i
θn n
n
i i
x θθn
θL x x x θ
x f θL 1
1
212
1
ln )1()ln(2)(ln ,)
()()(
∑∑====+⋅-=n
i i
n
i i
x n θ
x
θ
θn θd θL d 1
2
1
)
ln (ˆ,0ln 21
12)(ln 。(解唯一)故为极大
似然估计量。
(5)∑∑==-
=-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===∏
n
i n
i i
i
x mn x n n
i i p p
x m x m x X P p L 1
1
)1(}{)(11
,
()),1ln()(ln ln )(ln 1
1
1
p x mn p x
p L n
i i n
i i
n
i m x i
--
++=
∑∑∑===
01)
(ln 1
1
=---
=∑∑==p
x
mn p x
dp
p L d n
i i
n
i i
解得
m
X mn
x
p n
i i
=
=
∑=2
,(解唯一)故为极大似然估计量。
4.[四(2)] 设X 1,X 1,…,X n 是来自参数为λ的泊松分布总体
的一个样本,试求λ的极大似然估计量及矩估计量。
解:(1)矩估计 X ~ π (λ ),E (X )= λ,故λˆ=X 为矩估计量。 (2)极大似然估计λn n x n
i i e x x x λλx P λL n
i i
-=∑==
=∏!
!!);()(2111
,
λn x λx
λL n
i i
n
i i
--
=
∑∑==1
1
!ln ln )(ln
X λn λ
x
λ
d λL d n
i i
==-=∑=ˆ,0)
(ln 1
解得为极大似然估计量。
(其中),1,0,!
}{);( ====-i λ
i x i i x e x λx X P λx p i
5.[六] 一地质学家研究密歇根湖湖地区的岩石成分,随机地自该地区取100个样品,每个样品有10块石子,记录了每个样品中属石灰石的石子数。假设这100次观察相互独立,并由过去经验知,它们都服从参数为n =10,P 的二项分布。P 是该地区一块石子是石灰石的概率。求p 的极大似然估计值,该地质学家所
解:λ的极大似然估计值为λˆ=X = [四(1)] 设总体X 具有分布律