第一章线性系统的状态空间描述

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第一章线性系统的状态空间描述

1. 内容

系统的状态空间描述

化输入—输出描述为状态空间描述

由状态空间描述导出传递函数矩阵线性系统的坐标转换

组合系统的状态空间方程与传递函数矩阵

2. 基本概念

系统的状态和状态变量

状态:完全描述系统时域行为的一个最小变量组。

状态变量:构成系统状态的变量。

状态向量

设系统状态变量为X't), X2(t),…,X n(t)写成向量形式称为状态向量,记为

"X i(t)"l

X2 (t)

x(t)= :

N (t) 一

状态空间

状态空间:以状态变量为坐标轴构成的n维空间。

状态轨迹:状态变量随时间推移而变化,在状态空间中形成的一条

轨迹。

3. 状态空间表达式

设系统r个输入变量:山⑴,U2(t),,山(t)

m个输出:y i(t), y2(t)厂,y m(t)

n 个状态变量:X i(t), X2(t), , X n (t)

例:图示RLC电路,建立状态空间描述

L

AAAA

i L

T U c

电容C和电感L两个独立储能元件,有两个状态变量, 如图中所注, 方程为

L dLk^ Ri L(t) U c(t)二U(t)

dt

du「t)

L(t)

dt

X i(t)二L(t), X2(t)二U c(t)

状态方程

LX1(t) RX1(t) x2(t) = U(t)

Cx2(t)二X i(t)

X i(t) -R/L -1/ L X i(t) 1

u 1 -=1I+|U(t)

.X2(t) 1/C0.X2(t)_A

状态方程:状态变量与输入变量之间的关系

dX i (t) dt = X i (t) = f i &i (t), X 2(t),

,X n (t); U i (t), U 2(t), ,U r (t);t 丨

dX 2(t) dt = X 2(t) = f 2 l-X i (t), X 2(t)「,X n (t); U i (t),U 2(t), ,U r (t);t 1

dX n (t) dt = X n (t)二 f n 〔X i (t), X 2(t),

九⑴;U i (t), U ? (t),

, U 「(t); t 1

用向量表示,得到一阶的向量微分方程

x(t)二 f !-X(t), u (t), t 1

其中

输出方程:系统输出变量与状态变量、输入变量之间的关系,即

y i (t) =g i k(t), X 2(t),

, X n (t); U i (t), U 2(t),

,U r (t);t 1 y 2(t)二 g 2 !X i (t), X 2(t)「,X n (t); U i (t), U 2(t),

, U r (t); t 1

y m (t)二 g m -X i (t), X 2(t)「,X n (t); U i (t), U 2(t),…,U 「(t ); t 1

用向量表示为

y(t) = g X(t), U(t), t 1

X 2(t) m

€ R n , U (t) = U 2(t) s

E R r , f(・) =

f 2(*)

a

.X n

(t) _

U r (t )

1 1

/n

(*)_

X i (t)

U i (t)

f i (*) X(t):

R n

输出方程

y (t) = U c (t) = 1

]X i (t)

殳⑴.

4系统分类:

1) 非线性时变系统

”x"(t) = f lx(t), u(t), t ] y(t)二

g Ix(t), u(t), t 〕

2) 非线性定常系统

x(t) = f 〔x(t), u(t) 1 y(t)二 g 〔x(t), u(t)l

3)线性时变系统

X i = a il (t) X i + … + a in (t )X n + b ii (t)u i + … + b ir (t)u r

- :

X ;

=a ni (t)X i + …+a nn (t)X n +b ni (t)u i + …十5「化川「

写成向量形式即为

「x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) y(t) =C(t)x(t) + D(t)u(t) 其中:

4)线性定常系统

■ a ii (t) a 2i (t)

a i2(t)… a 22(t)…

A(t)= s

* -

a in (t)1 _

b ii (t) b i2(t)

a 2n (t)

b 2i (t) b 22(t)

:,B(t)= :

: a nn (t) 一

-b ni (t)

b n2(t)

b ir (t) b 2r (t)

a

b nr (t)

- C ii (t)

G2(t)…

C in (t)

- d ii (t)

d

i2

(t)…

d ir (t) C(t)=

C 2i (t)

9 C 22(t)… 9 9 C 2n (t) 9 ,D(t)

— d 2i (t) d

22 (t)… a a

d 2r (t)

9

C mi (t)

C m2(t)…

C mn (t)_

- d mi (t) d m2 (t)…

d mr (t) _

_a ni (t)

a n2(t)

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