第一章线性系统的状态空间描述
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第一章线性系统的状态空间描述
1. 内容
系统的状态空间描述
化输入—输出描述为状态空间描述
由状态空间描述导出传递函数矩阵线性系统的坐标转换
组合系统的状态空间方程与传递函数矩阵
2. 基本概念
系统的状态和状态变量
状态:完全描述系统时域行为的一个最小变量组。
状态变量:构成系统状态的变量。
状态向量
设系统状态变量为X't), X2(t),…,X n(t)写成向量形式称为状态向量,记为
"X i(t)"l
X2 (t)
x(t)= :
N (t) 一
状态空间
状态空间:以状态变量为坐标轴构成的n维空间。
状态轨迹:状态变量随时间推移而变化,在状态空间中形成的一条
轨迹。
3. 状态空间表达式
设系统r个输入变量:山⑴,U2(t),,山(t)
m个输出:y i(t), y2(t)厂,y m(t)
n 个状态变量:X i(t), X2(t), , X n (t)
例:图示RLC电路,建立状态空间描述
L
AAAA
i L
T U c
电容C和电感L两个独立储能元件,有两个状态变量, 如图中所注, 方程为
L dLk^ Ri L(t) U c(t)二U(t)
dt
du「t)
L(t)
dt
X i(t)二L(t), X2(t)二U c(t)
状态方程
LX1(t) RX1(t) x2(t) = U(t)
Cx2(t)二X i(t)
X i(t) -R/L -1/ L X i(t) 1
u 1 -=1I+|U(t)
.X2(t) 1/C0.X2(t)_A
状态方程:状态变量与输入变量之间的关系
dX i (t) dt = X i (t) = f i &i (t), X 2(t),
,X n (t); U i (t), U 2(t), ,U r (t);t 丨
dX 2(t) dt = X 2(t) = f 2 l-X i (t), X 2(t)「,X n (t); U i (t),U 2(t), ,U r (t);t 1
dX n (t) dt = X n (t)二 f n 〔X i (t), X 2(t),
九⑴;U i (t), U ? (t),
, U 「(t); t 1
用向量表示,得到一阶的向量微分方程
x(t)二 f !-X(t), u (t), t 1
其中
输出方程:系统输出变量与状态变量、输入变量之间的关系,即
y i (t) =g i k(t), X 2(t),
, X n (t); U i (t), U 2(t),
,U r (t);t 1 y 2(t)二 g 2 !X i (t), X 2(t)「,X n (t); U i (t), U 2(t),
, U r (t); t 1
y m (t)二 g m -X i (t), X 2(t)「,X n (t); U i (t), U 2(t),…,U 「(t ); t 1
用向量表示为
y(t) = g X(t), U(t), t 1
X 2(t) m
€ R n , U (t) = U 2(t) s
E R r , f(・) =
f 2(*)
a
.X n
(t) _
U r (t )
一
1 1
/n
(*)_
X i (t)
U i (t)
f i (*) X(t):
二
R n
输出方程
y (t) = U c (t) = 1
]X i (t)
殳⑴.
4系统分类:
1) 非线性时变系统
”x"(t) = f lx(t), u(t), t ] y(t)二
g Ix(t), u(t), t 〕
2) 非线性定常系统
x(t) = f 〔x(t), u(t) 1 y(t)二 g 〔x(t), u(t)l
3)线性时变系统
X i = a il (t) X i + … + a in (t )X n + b ii (t)u i + … + b ir (t)u r
- :
X ;
=a ni (t)X i + …+a nn (t)X n +b ni (t)u i + …十5「化川「
写成向量形式即为
「x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) y(t) =C(t)x(t) + D(t)u(t) 其中:
4)线性定常系统
■ a ii (t) a 2i (t)
a i2(t)… a 22(t)…
A(t)= s
* -
a in (t)1 _
b ii (t) b i2(t)
a 2n (t)
b 2i (t) b 22(t)
:,B(t)= :
: a nn (t) 一
-b ni (t)
b n2(t)
b ir (t) b 2r (t)
a
b nr (t)
一
- C ii (t)
G2(t)…
C in (t)
- d ii (t)
d
i2
(t)…
d ir (t) C(t)=
C 2i (t)
9 C 22(t)… 9 9 C 2n (t) 9 ,D(t)
— d 2i (t) d
22 (t)… a a
d 2r (t)
9
C mi (t)
C m2(t)…
C mn (t)_
- d mi (t) d m2 (t)…
d mr (t) _
_a ni (t)
a n2(t)