区间非线性规划问题的确定化描述及其递阶求解

2005年1月系统工程理论与实践第1期　文章编号:100026788(2005)0120110207
区间非线性规划问题的确定化描述及其递阶求解
蒋　峥,戴连奎,吴铁军
(工业控制技术国家重点实验室,浙江大学智能系统与决策研究所,浙江杭州310027)
摘要:　讨论以区间参数形式给出的不确定性非线性规划问题,提出了一种含有决策风险因子的新的区
间参数不确定非线性规划的一般命题形式,并分别就不确定性参数出现在目标函数或约束条件中的不
同情况,给出不同的表达形式Λ文章给出用遗传算法,采用递阶优化方式求解区间参数不确定非线性规
划的具体算法Λ仿真结果表明该形式的可行性Λ
关键词:　区间规划;非线性规划;遗传算法;决策风险
中图分类号:　O221 文献标识码:　A
D eterm in istic In terp retati on of In terval N on linear
P rogramm ing and Its H ierarch ical Op ti m izati on So lu ti on s
J I AN G Zheng,DA I L ian2ku i,W U T ie2jun
(N ati onalL abo rato ry of Indu strial Con tro l T echno logy,In stitu te of In telligen t System and D ecisi onM ak ing,Zhejiang U n i2 versity,H angzhou310027,Ch ina)
Abstract:　W e con sider a determ in istic fram ew o rk fo r non linear p rogramm ing invo lving in terval coeffi2
cien ts.A new in terp retati on of non linear p rogramm ing under uncertain ty is p ropo sed by the in troducti on
of the decisi on m ak ing risk coefficien t.W e p resen t differen t fo rm u lati on s fo r con tro lling the effects of
param eter uncertain ty p resen t in the ob jective functi on o r con strain ts.A n algo rithm com b in ing Genetic
A lgo rithm(GA)is p resen ted app lying the h ierarch ical op ti m izati on structu re.T he si m u lati on examp le
show s the feasib ility of the fo rm u lati on s.
Key words:　in terval p rogramm ing;non linear p rogramm ing;genetic algo rithm;decisi on m ak ing risk
coefficien t
1　引言
与传统的确定性数学规划不同,不确定系统优化问题中的部分参数是未知不确定的Λ按照这些不确定性参数表达方式的不同,可以将这类优化问题划分为随机规划(Stochastic P rogramm ing)、模糊规划(Fuzzy P rogramm ing)和区间参数规划(In terval P rogramm ing)[1]等三种主要形式Λ在随机规划中,决策者将不确定量看作是具有一定概率分布特性的随机变量Λ文献[2]与[3]提出了鲁棒优化(Robu st O p ti m iza2 ti on,RO)的概念,将非线性目标函数的期望值与方差进行加权平均,作为新的待优化的目标函数;在模糊规划中,决策者将不确定量看作是具有确定隶属度的模糊集Λ文献[4]对有约束条件的多个投资项目的选择问题,建立了一个模糊规划模型,并将其转化为一个线性规划模型Λ
对于随机规划和模糊规划,决策者必须掌握决策变量的概率分布函数或隶属度函数Λ但实际上,要精确获得参数的这些性质往往很难,而获得这些参数的置信区间要容易得多Λ区间规划就是将目标函数或约
收稿日期:2004203229
资助项目:973计划资助(2002CB312200)
作者简介:蒋峥(1970-),男,湖北武汉人,博士研究生Λ研究领域为复杂工业过程智能优化ΛE2m ail:zjiang@ii pc.zju. ;戴连奎(1963-),男,浙江余杭人,工学博士,副教授Λ研究领域为复杂工业过程的建模、控制与智能优化ΛE2m ail: lkdai@ii ;吴铁军(1950-),男,浙江杭州人,工学博士,教授,博士生导师Λ研究领域为分布式智能系统控制与优化、微型及柔性机器人控制ΛE2m ail:tj w u@ii Λ
束条件中的不确定性参数,以区间的形式给出并加以求解Λ文献[5]定义了区间线性规划的标准型,给出一种反映决策者满意度的区间数序关系,从而将区间不等式约束转化为确定型约束Λ文献[6]分别讨论了区间数线性规划问题保守可能解、保守必然解、冒进可能解和冒进必然解的最优性条件Λ文献[7]提出了一种基于模糊约束满意度的求解方法,把区间线性规划问题转化为确定型的一般参数规划问题来解决Λ文献
[1]将系统可靠性优化设计问题描述为一个区间线性规划模型,提出了将区间规划模型转化为双目标规划模型,然后采用遗传算法求出双目标规划的Pareto 解Λ文献[8]提出了一种目标函数系数为区间数的区间线性规划的最大最小后悔解(m in i m ax ab so lu te regret )的启发式算法Λ
目前对于区间不确定性规划问题的研究仅限于线性规划,但在实际的决策问题中,目标函数和约束条件函数往往是非线性的,如何在此情形下表达和处理决策者追求最优值和准备承担风险的能力是一个具有重要实际意义的研究领域Λ
本文讨论区间不确定性非线性规划问题,引入决策风险因子,以反映决策者在追求最大目标函数值时所愿意承担的风险程度;同时,在目标函数中引入偏差惩罚项,以体现决策者对实际决策偏差大小的不同要求Λ由此将区间不确定性非线性规划问题转化为一个确定性的极大极小问题Λ
2　区间非线性规划问题的确定化描述
许多实际不确定性非线性系统的单目标优化问题可描述为[2]
P1: m ax u J (y ,u ,w )(1a )
sub .to:y =y (u ,w )(1b )
y ∈[y m in ,y m ax ],u ∈[u m in ,u m ax ],w ∈[w m in ,w m ax ].
(1c )其中,u ∈R m 为决策向量,y ∈R r 为系统约束输出,w ∈R q 为系统不确定参数,w m in 、w m ax 分别为w 置信区间的下界与上界ΖJ 通常是一个非线性目标函数,经常表示为收益Ζy =y (u ,w )表示包含有不确定参数的非线性等式约束Ζ
针对上述优化问题,本文将不确定性的目标函数转化为一个确定性的极大极小问题;而对于不确定性的约束条件,本文仅考虑硬约束,即要求每个决策对所有不确定参数都是满足约束条件的Ζ下面首先讨论不确定性目标函数的转化问题Ζ
211　不确定性目标函数的确定性转化
对于优化问题P 1,给定一个决策u ∈[u m in ,u m ax ],则目标函数值J (u ,w )的变化区间可表示为7=
[J m in (u ),J m ax (u )],其中
J m in (u )=m in w ∈W J (u ,w ),J m ax (u )=m ax w ∈W
J (u ,w ),而区间W Χ{w w m in ≤w ≤w m ax }表示不确定参数w 的变化范围Ζ
对于区间7中任意值Κ∈7,定义风险系数Α1,
Α1=Κ-J m in (u )J m ax (u )-J m in (u ).(2)
这里Α1表示因参数w 的不确定性而使决策u 实际获得的目标函数值大于等于Κ的风险因子,显然Α1∈
[0,1]Ζ特别地,当Κ=J m in (u )时,Α1=0,表示决策者肯定能获得大于等于J m in (u )的目标函数值;当Κ=J m ax (u )时,Α1=1,表示决策者要想获得大于等于J m ax (u )的目标函数值所面临的风险最大Ζ将(2)式变换,得到
Κ=Α1J m ax (u )+(1-Α1)J m in (u ),
(3)
(3)式表示在具有风险系数Α1的前提下,决策u 可以获得的最大目标函数值为ΚΖ于是,可将原不确定目标函数(1a )式转化为以下确定性的优化目标:
m ax u Α1J m ax (u )+(1-Α1)J m in (u ),(4)
其中,风险系数Α1∈[0,1]表示决策者在追求最大目标函数值时所愿意承担的风险程度Ζ
此外,考虑到不确定参数w 会给决策u 实际获得的目标函数值J (u ,w )造成偏差,其最大偏差为
d (u )=J m ax (u )-J m in (u ).
(5)1
11第1期区间非线性规划问题的确定化描述及其递阶求解
为了体现决策者在决策时对这种偏差大小的不同要求,本文在优化问题P 1的基础上分三种情况加以讨论:
情况1:决策者要求偏差尽可能的小
这时的优化目标可以用以下式子来表示
m ax u
Α1J m ax (u )+(1-Α1)J m in (u )-M d (u ),(6)其中,M ≥0为一个反映目标函数大小与不确定性的平衡常数Ζ若决策者认为不确定性的影响小于追求最优值的要求,则M 取值应偏小Ζ反之,若决策者非常关注不确定性给决策结果造成偏差的后果,则M 取值应偏大Ζ
情况2:决策者要求偏差严格限制在一定范围内
这时的优化目标可以用以下式子来表示
m ax u Α1J m ax (u )+(1-Α1)J m in (u )(7)
sub.to:d (u )≤d m ax ,
其中,d m ax >0为最大允许的偏差Ζ
情况3:决策者要求偏差最好限制在一定范围内,即使超出该范围,也应尽可能的小
这时的优化目标可以用以下式子来表示
m ax u Α1J m ax (u )+(1-Α1)J m in (u )-M m ax (0,d (u )-d m ax ),(8)
其中,M 为一个取值很大的正常数Ζ
其实,情况3为情况1与情况2的综合反映Ζ若d m ax =0,则(8)式等价于(6)式;若M =+∞,则(8)式与(7)式等价Ζ
(8)式的Α1J m ax (u )+(1-Α1)J m in (u )项反映了在风险因子Α1下所能取得的最优值,而M m ax (0,d (u )-d m ax )项反映了决策者对不确定参数给目标值造成偏差的容忍程度Ζ这样,(8)式就在风险因子意义下把问题P 1的不确定目标函数确定化了Ζ
上述对目标函数的确定化方法可用下列数值例子来说明Ζ假设原目标函数为
J (u ,w )=-0101u 2+u (w -8)-40,
(9a )其中,决策量u ∈[100,1000],不确定参数w ∈[10,20]Ζ针对不确定参数w 取值的不同,目标函数与决策量u 的对应关系如图1所示,其中上边界即为J m ax (u ),下边界为J m in (u )Ζ假设按情况3的确定化方法,取M =100、d m ax =40,则确定化后的新目标函数为J θ(u )=Α1J m ax (u )+(1-Α1)J m in (u )-
100m ax (0,d (u )-40)(9b )其中,Α1为风险系数Ζ
212　约束条件中的不确定性
考虑优化问题P 1,对于给定的决策u ∈[u m in ,u m ax ],定义
y -j (u )Χm in w ∈W y j (u ,w ),y +j (u )Χm ax w ∈W y j (u ,w ),j =1,…,r .(10)
本文仅考虑硬约束问题,即要求存在一个可行决策区域D ,使D 中任意一个决策u ∈D ,对任何w ∈W ,均满足
y j m in ≤y -j (u )≤y +j (u )≤y j m ax , j =1,…,r .
(11) 上述对约束条件的确定化方法可用下列数值例子来说明Ζ假设原约束条件为
y (u ,w )=2w e -(u -2)22sin (013u )+4(1-w )e -(u -7)218sin (015u )+2,(12)
其中,决策量u ∈[1,6],不确定参数w ∈[0,1],约束输出y ∈[112,412]Ζ
2
11系统工程理论与实践2005年1月
图1
　目标函数值的不确定性图2　约束条件中的不确定性
如图2所示,因不确定参数w的取值不同,y(u,w)呈现为一个具有不同宽度的带状曲线簇,其上边界为y+(u),下边界为y-(u)Ζ假设要求112≤y(u,w)≤412,则对应的可行决策区域D为D={[1,1185], [3105,3172],[5151,6]}Ζ采用上述对约束条件的确定化方法,则确定化后的新的约束条件为
y-(u)=m in
w∈W y(u,w),y+(u)=m ax
w∈W
y(u,w)
112≤y-(u)≤y+(u)≤412,1≤u≤6,
其中,W=[0,1]表示不确定参数w的变化范围Ζ
3　递阶优化算法
通过上述讨论,原不确定性优化问题P1可转化为以下确定性优化命题:
P2: m ax
u
Α1J m ax(u)+(1-Α1)J m in(u)-M m ax(0,d(u)-d m ax)(13) sub.to:y j m in≤y-j(u)≤y+j(u)≤y j m ax,j=1,…,r,
u∈[u m in,u m ax]
其中,y-j(u)=m in
w∈W y j(u,w),y+j(u)=m ax
w∈W
y j(u,w)Ζ
对于问题P2,由于目标函数和约束条件为非解析的非线性函数,采用基于导数的常规优化方法很难进行有效的求解,并且易陷入局部极值点Ζ而作为智能优化算法的代表之一的遗传算法,是一种随机优化和搜索方法,与目标函数是否可导无关,具有良好的全局优化性能和稳健性,适合于此类优化问题的求解Ζ另一方面,优化命题P2中存在着有待计算的J m ax(u)、J m in(u)、y-j(u)和y+j(u)的非线性子优化问题Ζ采用随机搜索策略求解P2时,参与搜索的种群规模越大,总的计算量就越大Ζ
为了更好地适应大规模问题求解的实时性要求,本文采用递阶优化的方法来提高优化的性能Ζ递阶优化问题用来描述具有层次结构的决策问题,通常可归结为如下形式:上层决策者首先给定一个决策参数(或向量),下层决策者则在该参数下,根据自己的偏好在可能范围内优化自己的目标,上层再在下层的最佳反应的基础上,在可能范围内作出整体的最优决策Ζ由于下层决策可以采用并行计算的求解策略,这使得整体的寻优速度大幅度提高Ζ
本文采用递阶遗传算法求解问题P2(如图3所示),其基本思想是:首先选取一定规模的上层决策{u i}构成初始种群,上层将相应的决策传递给下层单元,各下层单元再并行地计算J m ax(u i)、J m in(u i)、y+j(u i)和y-j(u i),并将结果反馈给上层,上层根据下层的反映对相应的决策作出评价,并进行遗传操作,寻求上层的最优决策u3Ζ算法实现步骤如下:
1)给定风险因子Α1、平衡常数M≥0、惩罚因子M1>0、M2>0和最大允许偏差d m ax>0,随机产生规模为n的种群u i∈[u m in,u m ax],1≤i≤n,其中u i为种群中的第i个候选解Ζ同时设定群体进化代数;
2)将种群中所有决策u i,1≤i≤n,分配到各下层计算单元(共r+1个);
3)在其中r个下层计算单元,分别计算以下子优化问题:
311
第1期区间非线性规划问题的确定化描述及其递阶求解
y +j (u i )=m ax w ∈W y j (u i ,w ),y -j (u i )=m in w ∈W y j (u i ,w ),1≤i ≤n ,1≤j ≤r ;(14)
在第r +1个下层计算单元,计算以下子优化问题:J m ax (u i )=m ax w ∈W J (u i ,w ),J m in (u i )=m in w ∈W
J (u i ,w ),1≤i ≤n .(15) 4)将y +j (u i ),y -j (u i ),J m ax (u i ),J m in (u i ),1≤j ≤r ,1≤i ≤n ,送回上层主计算单元;
5)在主计算单元,对于种群中每一个候选解u i ,1≤i ≤n ,计算相应的综合目标函数:J θ(u i )=Α1J m ax (u i )+(1-Α1)J m in (u i )-M m ax (0,d (u i )-
d m ax )-M 1∑r j =1m ax (0,y
j m in -y -j (u i ))-M 2∑r
j =1m ax (0,y +j (u i )-y j m ax ).(16)
6)
保存至当前代为止的最优解u 3;7)
如果已完成群体进化代数,转9),否则继续下一步;8)
在式(16)的候选解目标评价基础上,进行复制、交叉、变异等遗传操作,产生新的种群,转2);9)最优解u 3输出
Ζ
图3　递阶优化算法框图
对于问题P 2,采用递阶遗传算法和常规遗传算法的计算时间比较分析如下:
假设遗传算法的种群规模为n ,迭代次数为m ,交叉概率为P c ,变异概率为P m Ζ由于每一个候选解的综合目标函数值的计算式(16)涉及到2(r +1)个子优化问题,设每一个子优化问题求解需要的计算时间为t f Ζ每次迭代中,除适应值计算外的其它运行时间设为t 0Ζ则在单台计算机上,采用常规遗传算法求解问题P 2所需机器运行时间t 1大致为:
t 1=m [t 0+2(r +1)t f (p c +p m )n ]Ζ(17)
若在r +2台计算机上(其中1台作为上层主计算单元,其余r +1台用来并行地求解子优化问题(14)和(15)),采用递阶遗传算法求解问题P 2,所需机器运行时间t 2大致为:
t 2=m [t 0+2t f (p c +p m )n +t c ],(18)
其中t c 表示计算机间的通讯时间Ζ考虑到在通常情况下,有t f µt 0µt c ,p c µp m ,由式(17)和(18)我们可以估计出采用递阶遗传算法后,所需的计算时间占使用普通遗传算法求解所需时间的比值约为:
t 2t 1=1r +1,(19)
由此可见,对于问题P 2的求解,递阶遗传算法的寻优速度比常规遗传算法有很大提高Ζ
4　计算举例
考虑以下反应器温度过程控制的区间非线性规划问题[2]:
4
11系统工程理论与实践
2005年1月
P3:　m ax u x 2(150)(20)
sub .to:d x 1(t )d t
+2(010444+w 1)e -
2500 Η(t )x 21(t )=0(21)d x 2(t )d t
-(010444+w 1)e -2500 Η(t )x 21(t )+(688910+w 2)e -5000 Η(t )x 2(t )=0(22)d x 3(t )d t -(688910+w 2)e -5000 Η(t )x 2(t )=0(23)
Η(t )=u 1(t -75)(t -150)11250-u 2t (t -150)5625+u 3t (t -75)11250
(24)x 1(0)=2000,x 2(0)=0,x 3(0)=0
x 1(150)-100≥0,x 3(150)-55≥0,Πw ∈W .
其中,u =(u 1,u 2,u 3)为决策量,取值范围为:
U ={u 298≤u i ≤398,i =1,2,3},
w =(w 1,w 2)为不确定量,取值范围为:
W ={w -010222≤w 1≤010222,-961446≤w 2≤961446}Ζ
如果给定决策量u 、不确定性参数w ,可以通过求解式(21)-(24)得到x 2(150),于是可以将u 、w 和x 2(150)之间的函数关系记作x 2(150)=J (u ,w )Ζ
为叙述方便,引入下列符号:
y 1(u ,w )=x 1(150)-100,y 2(u ,w )=x 3(150)-55,
y -1(u )=m in w ∈W y 1(u ,w ),y -2(u )=m in w ∈W y 2(u ,w ),J m in (u )=m in w ∈W
J (u ,w ),J m ax (u )=m ax w ∈W
J (u ,w ),d (u )=J m ax (u )-J m in (u ).则按照本文提出的方法,确定化后的优化问题成为:
m ax u
(1-Α1)J m in (u )+Α1J m ax (u )-M m ax [0,d (u )-d m ax ]-M 1{m ax [0,-y -1(u )]+m ax [0,-y -2(u )]}(25)
sub.to:u ∈U
假设在风险系数Α1下(25)式的最优解为u 3,最优值为
J
θ3(Α1)=(1-Α1)J m in (u 3)+Α1J m ax (u 3)-M m ax [0,d (u 3)-d m ax ]-M 1{m ax [0,-
y -1(u 3)]+m ax [0,-y -2(u 3)]}.
最优解u 3下的偏差为d 3(Α1)=d (u 3)
Ζ图4a Α1与J θ3(Α1)的关系
　图4b Α1与d 3(Α1)的关系
　采用第3节提出的递阶遗传算法求解问题(25),随机产生的初始种群规模取为n =30,群体进化代数取为m =100,惩罚因子取M 1=50,仿真结果如图4a 、图4b 所示Ζ当取风险因子Α1=016、
平衡常数M =5
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系统工程理论与实践2005年1月
100和最大允许偏差d m ax=80时,对问题(25)寻优后的最优解为u3=(33212,31412,31610),转换后的问题P2的目标函数值为79312503Ζ将该最优决策u3代入原问题P1的目标函数,可计算出由于不确定参数w的存在,目标值x2(150)可能的变化范围为区间[74513,82512]Ζ
从仿真结果可以看出,目标函数值的大小与风险系数、最大允许偏差和平衡常数有着密切关系Ζ当风险系数越大,目标函数值就越大,这表明决策者要想获得更大的收益,决策所承担的风险也随着增大;当最大允许偏差取值越大,目标函数值也越大,这表明决策者若放宽不确定量给目标值造成影响的要求,决策者就可以有更大范围的决策选择机会,所获得的最优值也相应的增大Ζ而平衡常数的选择,反映了决策者决策时,权衡在追求最大收益和不确定量给决策结果造成负面影响之间的重要性孰轻孰重时的心态Ζ这三个参数的选择,在实际决策中(如风险投资业,军事领域等各行业),需按照上述原则,针对具体情况具体确定Ζ
5　结论
本文提出了一种新的区间参数不确定非线性规划的一般命题形式,并分别就不确定性参数出现在目标函数或约束条件中的不同情况,给出不同的表达形式Λ该形式能够恰当地反映出决策者在追求最优值时所准备承担的风险程度,同时也能反映出决策者对不确定参数给目标函数造成偏差程度的不同要求Λ针对该形式,本文提出的递阶遗传算法可以适应大规模问题求解的实时性要求,具有全局搜索特性,它的并行处理特性可较好地提高优化的性能Λ仿真结果表明该形式的可行性Λ
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