区间非线性规划问题的确定化描述及其递阶求解

　2005年1月系统工程理论与实践第1期　文章编号:100026788(2005)0120110207

区间非线性规划问题的确定化描述及其递阶求解

蒋　峥,戴连奎,吴铁军

(工业控制技术国家重点实验室,浙江大学智能系统与决策研究所,浙江杭州310027)

摘要:　讨论以区间参数形式给出的不确定性非线性规划问题,提出了一种含有决策风险因子的新的区

间参数不确定非线性规划的一般命题形式,并分别就不确定性参数出现在目标函数或约束条件中的不

同情况,给出不同的表达形式Λ文章给出用遗传算法,采用递阶优化方式求解区间参数不确定非线性规

划的具体算法Λ仿真结果表明该形式的可行性Λ

关键词:　区间规划;非线性规划;遗传算法;决策风险

中图分类号:　O221 文献标识码:　A

D eterm in istic In terp retati on of In terval N on linear

P rogramm ing and Its H ierarch ical Op ti m izati on So lu ti on s

J I AN G Zheng,DA I L ian2ku i,W U T ie2jun

(N ati onalL abo rato ry of Indu strial Con tro l T echno logy,In stitu te of In telligen t System and D ecisi onM ak ing,Zhejiang U n i2 versity,H angzhou310027,Ch ina)

Abstract:　W e con sider a determ in istic fram ew o rk fo r non linear p rogramm ing invo lving in terval coeffi2

cien ts.A new in terp retati on of non linear p rogramm ing under uncertain ty is p ropo sed by the in troducti on

of the decisi on m ak ing risk coefficien t.W e p resen t differen t fo rm u lati on s fo r con tro lling the effects of

param eter uncertain ty p resen t in the ob jective functi on o r con strain ts.A n algo rithm com b in ing Genetic

A lgo rithm(GA)is p resen ted app lying the h ierarch ical op ti m izati on structu re.T he si m u lati on examp le

show s the feasib ility of the fo rm u lati on s.

Key words:　in terval p rogramm ing;non linear p rogramm ing;genetic algo rithm;decisi on m ak ing risk

coefficien t

1　引言

与传统的确定性数学规划不同,不确定系统优化问题中的部分参数是未知不确定的Λ按照这些不确定性参数表达方式的不同,可以将这类优化问题划分为随机规划(Stochastic P rogramm ing)、模糊规划(Fuzzy P rogramm ing)和区间参数规划(In terval P rogramm ing)[1]等三种主要形式Λ在随机规划中,决策者将不确定量看作是具有一定概率分布特性的随机变量Λ文献[2]与[3]提出了鲁棒优化(Robu st O p ti m iza2 ti on,RO)的概念,将非线性目标函数的期望值与方差进行加权平均,作为新的待优化的目标函数;在模糊规划中,决策者将不确定量看作是具有确定隶属度的模糊集Λ文献[4]对有约束条件的多个投资项目的选择问题,建立了一个模糊规划模型,并将其转化为一个线性规划模型Λ

对于随机规划和模糊规划,决策者必须掌握决策变量的概率分布函数或隶属度函数Λ但实际上,要精确获得参数的这些性质往往很难,而获得这些参数的置信区间要容易得多Λ区间规划就是将目标函数或约

收稿日期:2004203229

资助项目:973计划资助(2002CB312200)

作者简介:蒋峥(1970-),男,湖北武汉人,博士研究生Λ研究领域为复杂工业过程智能优化ΛE2m ail:zjiang@ii pc.zju. ;戴连奎(1963-),男,浙江余杭人,工学博士,副教授Λ研究领域为复杂工业过程的建模、控制与智能优化ΛE2m ail: lkdai@ii ;吴铁军(1950-),男,浙江杭州人,工学博士,教授,博士生导师Λ研究领域为分布式智能系统控制与优化、微型及柔性机器人控制ΛE2m ail:tj w u@ii Λ

束条件中的不确定性参数,以区间的形式给出并加以求解Λ文献[5]定义了区间线性规划的标准型,给出一种反映决策者满意度的区间数序关系,从而将区间不等式约束转化为确定型约束Λ文献[6]分别讨论了区间数线性规划问题保守可能解、保守必然解、冒进可能解和冒进必然解的最优性条件Λ文献[7]提出了一种基于模糊约束满意度的求解方法,把区间线性规划问题转化为确定型的一般参数规划问题来解决Λ文献

[1]将系统可靠性优化设计问题描述为一个区间线性规划模型,提出了将区间规划模型转化为双目标规划模型,然后采用遗传算法求出双目标规划的Pareto 解Λ文献[8]提出了一种目标函数系数为区间数的区间线性规划的最大最小后悔解(m in i m ax ab so lu te regret )的启发式算法Λ

目前对于区间不确定性规划问题的研究仅限于线性规划,但在实际的决策问题中,目标函数和约束条件函数往往是非线性的,如何在此情形下表达和处理决策者追求最优值和准备承担风险的能力是一个具有重要实际意义的研究领域Λ

本文讨论区间不确定性非线性规划问题,引入决策风险因子,以反映决策者在追求最大目标函数值时所愿意承担的风险程度;同时,在目标函数中引入偏差惩罚项,以体现决策者对实际决策偏差大小的不同要求Λ由此将区间不确定性非线性规划问题转化为一个确定性的极大极小问题Λ

2　区间非线性规划问题的确定化描述

许多实际不确定性非线性系统的单目标优化问题可描述为[2]

P1: m ax u J (y ,u ,w )(1a )

sub .to:y =y (u ,w )(1b )

y ∈[y m in ,y m ax ],u ∈[u m in ,u m ax ],w ∈[w m in ,w m ax ].

(1c )其中,u ∈R m 为决策向量,y ∈R r 为系统约束输出,w ∈R q 为系统不确定参数,w m in 、w m ax 分别为w 置信区间的下界与上界ΖJ 通常是一个非线性目标函数,经常表示为收益Ζy =y (u ,w )表示包含有不确定参数的非线性等式约束Ζ

针对上述优化问题,本文将不确定性的目标函数转化为一个确定性的极大极小问题;而对于不确定性的约束条件,本文仅考虑硬约束,即要求每个决策对所有不确定参数都是满足约束条件的Ζ下面首先讨论不确定性目标函数的转化问题Ζ

211　不确定性目标函数的确定性转化

对于优化问题P 1,给定一个决策u ∈[u m in ,u m ax ],则目标函数值J (u ,w )的变化区间可表示为7=

[J m in (u ),J m ax (u )],其中

J m in (u )=m in w ∈W J (u ,w ),J m ax (u )=m ax w ∈W

J (u ,w ),而区间W Χ{w w m in ≤w ≤w m ax }表示不确定参数w 的变化范围Ζ

对于区间7中任意值Κ∈7,定义风险系数Α1,

Α1=Κ-J m in (u )J m ax (u )-J m in (u ).(2)

这里Α1表示因参数w 的不确定性而使决策u 实际获得的目标函数值大于等于Κ的风险因子,显然Α1∈

[0,1]Ζ特别地,当Κ=J m in (u )时,Α1=0,表示决策者肯定能获得大于等于J m in (u )的目标函数值;当Κ=J m ax (u )时,Α1=1,表示决策者要想获得大于等于J m ax (u )的目标函数值所面临的风险最大Ζ将(2)式变换,得到

Κ=Α1J m ax (u )+(1-Α1)J m in (u ),

(3)

(3)式表示在具有风险系数Α1的前提下,决策u 可以获得的最大目标函数值为ΚΖ于是,可将原不确定目标函数(1a )式转化为以下确定性的优化目标:

m ax u Α1J m ax (u )+(1-Α1)J m in (u ),(4)

其中,风险系数Α1∈[0,1]表示决策者在追求最大目标函数值时所愿意承担的风险程度Ζ

此外,考虑到不确定参数w 会给决策u 实际获得的目标函数值J (u ,w )造成偏差,其最大偏差为

d (u )=J m ax (u )-J m in (u ).

(5)1

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