离散数学(Ch9基本概念)
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b c d e a d e d e b c
b a
G
GS
GS’
13
三类常用子图 定义9.6 设GS=<VS,ES>, GS’=<VS’,ES’>是G=<V,E> 的子图, 如果 ES’=E－ES. VS’= ES’关联顶点集 未包含在VS中的孤立顶点 则称GS’ 是GS相对于G的补图.
补图的边集是一分为二, 而顶点集只是 VS’VS=V 且 VS’VS不含孤立顶点.
u p q K1 v w r D11 s t K2 K3 D11*
半通路
定义9.17 如果有向图D不是弱连通的, 则称D为不连通图.
强连通 (3度连通) 单向连通 (2度连通) 弱连通 不连通 (1度连通) (0度连通) 23
u
x
u
x
u
v
v
w y
D4不连通
z
v
w
y
z
x
w
D6强连通
D5单向连通
w
u v x
u
v
w
x
z y
D7弱连通
D8强连通
24
按定义检查有向图的连通性, 需考察n(n-1)/2对顶点. 术语: 完备通路 --- 通过所有顶点的通路; 完备半通路 --- 通过所有顶点的半通路; 完备回路 --- 通过所有顶点的回路. 定理9.5 定理9.6 定理9.7
u p q
v
w
r
D11
s
t
顶点基: {t, u} {t, v} {t, w} 注意: {w, r, t}不是极小
28
定义9.20 在有向图D=<V,A>中, 一个极大强连通导 出子图, 称为D的一个强(连通)分图.
u p q
v
w r D11
s
t
强分图: {u,v,w} {p,q,r,s} {t}
定理9.8
n
奇顶点(度数为奇数的顶点) --- 必定有偶数个 偶顶点(度数为偶数的顶点)
11
正则图 --- (无向图)所有顶点的度数都为r.
2次正则图
3次正则图
完全图 --- r=n-1的正则图(任意两个顶点都相连) m = n· (n-1)/2
K1 (平凡图)
K2
K3
K4
K5
12
§9.3 子图
定义9.5 两个图G=<V, E>, GS=<VS, ES>, 如果VSV, ESE, 则称GS是G的子图, 并表示为GSG。 (已隐含了GS是图)
9
术语： 孤立顶点：度数为0 --- 无邻接顶点. 平凡图： 仅由一个孤立顶点构成.
顶点度数推广到顶点子集的度数： 设顶点子集XV， od(X) --- 起点在X中而终点在V－X中的弧数, id(X) ---起点在V－X中而终点在X中的弧数.
a d b c f h e g
2 4
1 5
3
7 6
8
od(a)=3 od(b)=1
id(a)=1 id(b)=2
d(a)=4 d(b)=3
d(1)=2 d(3)=3
d(2)=3 d(4)=2
10
定理9.1
对于一个具有顶点集V={u1, u2, …, un}的 (n, m)图，有 ∑d(ui)=2m
i=1 n
针对有向图： ∑od(ui) = ∑id(ui) = m
i=1 i=1
n
2
尤其是网络理论的建立，图论与线性规划、动态 规划等优化理论和方法的互相渗透，促使和丰富 了图论的内容和应用。它在通讯网络的设计分析 、电网络分析、印刷线路板分析、信号流图与反 馈理论、计算机流程图等众多领域都有成功的应 用。图论讨论的问题主要有两种形式。一种是问 “具有某种特征的对象是否存在 ？如果存在有几 个 ？或者至少有几个？”另一种是问“怎样”构 造一个满足某一性质的图或子图。这些问题体现 在以下5个最有兴趣的研究领域，它们是：连通性 、嵌入问题、染色问题、矩阵表示以及网络流。
a d c a d d c
e
e
e GS’不是导出子图15
G
GS导出子图
定义9.8
设GS=<VS,ES>是图G=<V,E>的子图, 且 VS=V, 则称GS为G的生成子图.
生成子图是“顶点数最多的子图”, 只是缺边。 --- 即在原图的基础上, 只可减边, 不可减顶点.
a e b e b e a b
定理9.3
如果u可达v, v可达w, 则 d(u,w) ≤ d(u,v) + d(v,w)
(三角不等式) 因u…v, v…w是一条u…w的通路，长度=和
21
定理9.4
含n个顶点的有向图中, 任何基本通路的长度≤ n-1. 任何基本回路的长度≤ n.
以上概念是针对两个顶点之间的连接情况， 下面将讨论基于整个图的连接情况。
在有向图D=<V,A>中, 每个顶点在一个且 仅在一个强分图中.
没有不在强分图中的顶点; 任意两个强分图没有公共顶点.
29
定义9.21 设有向图D=<V,A>有强分图K1,K2,…,Kn, 构造新的有向图D*: ⑴ V(D*) = { K1, K2, …, Kn } ⑵ A(D*) = {<Ki, Kj> | ij, uv(uKivKj<u,v>A} 则称D*为D的压缩.
也可写成: (u1, u2, u3, …, ut, ut+1) --- 由顶点序列构成
简单通路 --- 每条弧都不重复; 基本通路 --- 每个顶点都不重复. 基本通路定是简单通路. (∵ 弧是两个顶点的序偶)
回路 --- 起点u1和终点ut+1是同一顶点的通路. 简单回路 --- 每条弧都不重复; 基本回路 --- 每个顶点都不重复(除u1和ut+1之外)
22
定义9.14 有向图D中, 如果每一对顶点u和v, 从u可 达v并且从v可达u, 则称D为强连通图.
双向可达
定义9.15 有向图D中, 如果每一对顶点u和v, 从u可 达v或者从v可达u, 则称D为单向连通图.
单向可达
定义9.16 有向图D中, 如果每一对顶点u和v, u和v 是连接的, 则称D为弱连通图.
定义9.13 距离---两个顶点之间的最短通路的长度. • 距离至少是基本通路的距离, • 无通路(顶点之间不可达)时, 记距离d为∞. • 同一顶点到其自身的距离为0. • 有向图中, 距离不一定是对称的.
u
v
w
x
y
z
d(u,u) = 0 d(u,w) = 2, d(w,u) = ∞ d(v,x) = 2, d(x,v) = 1
8
§9.2 图的基本结构
图的基本结构主要是指图的顶点之间、弧(边) 之间、以及顶点与弧(边)之间的连接情况。
术语： 如果顶点u和v之间有弧(边)e=<u, v>, 则称顶点 u和v邻接, 边e关联于顶点u和v, u和v是e的端点(起 点、终点), 关联于同一顶点的各弧(边)称为是相邻 的。
定义9.4 引出次数(出度) 引入次数(入度) 次数(度) 无向图 od(u) 以u为起点的弧数; id(u) 以u为终点的弧数; d(u) = od(u) + id(u) d(u) 与u相连的边数.
u◦ ◦ w ◦v u ◦ v◦ ◦w
定义9.1
无向图 G=<V, E>, 其中V是非空的顶点集, E是边集. 边记为e=(u,v).
6
术语 自环: 平行弧: 平行边: 简单图: 加权图: 一个顶点到它自身的弧(边); 两个顶点之间的同向弧多于一条; (有平行弧的有向图称为多重弧图) 两个顶点之间的边多于一条; (有平行边的无向图称为多重边图) 无自环, 也无平行弧(边)的图; --- 无特别说明时, 都是指简单图. 在弧(边)上附加信息. (如边数, 距离, 流量等)
7
图的同构 定义9.3 设有两个无向图G=<V, E>和G’=<V’, E’>, 如果存在双射: VV’, 且 e=(u,v)E e’=((u), (v))E’ 则称图G和G’同构.
a d b c d’ c’ a’ b’
w v u x
x’Βιβλιοθήκη Baiduv’
w’ u’
• 同一个图可画成多种形式; • 反之, 同构的图从本质上是一样的, 只是标记不同; • 图的同构是一种等价关系, 可划分出等价类.
含义 相连的边序列 (边不重复) (顶点不重复) (链的起点和终点相同) (基本闭合链) (链或圈的边数) (最短链的长度) (两顶点之间存在链)
26
无向图中顶点之间的连通关系, 满足自反、对称、 可传递, 是等价关系。该等价关系将无向图中的顶 点划分出等价类, 这些等价类即称为连通分支。
u
u v w x G1 G2 w v wy G3 z G4
u v
D强连通 D弱连通
w 完备通路 单向连通
D有一条完备回路. D有一条完备半通路.
u v w x
D单向连通 D有一条完备通路.
x
y
z
完备半通路 弱连通
25
无向图的连通性
有向图 通路 简单通路 基本通路 回路 基本回路 长度 距离 可达/连接 无向图
链 简单链 基本链 闭合链 圈 长度 距离 连通
d G
c
d
c G1导出子图
d
c G2生成子图
16
去点、去边、加边 (运算)
u3 u2 u5 u2 u1 u3 u5
u4
u1
G
u3 u2 u5 u2
去点 G-u4
u3 u5
u4
u4
u1
去边 G-(u2,u4)
u1
加边 G + (u1,u5)
17
§9.4 连通性
定义9.9 在有向图D=<V, A>中, 相连的弧序列 (a1, a2, …, at ) 称为一条通路.
第三篇 图论
图论是以图为研究对象的数学分支。 图论中的图指的是一些点以及连接这 些点的线的总体。通常用点代表事物， 用连接两点的线代表事物间的关系、 图论则是研究事物对象在上述表示法 中具有的特征与性质的学科 。
（见七桥问题）很多人都曾试验过，但都失败了。L.欧拉把七桥问题 化为一个数学问题，并给出一笔画问题的判别准则，从而判定七桥问 题不存在解。这是图论发展的萌芽时期最具代表性的问题，那时不少 图论问题都是围绕着游戏而产生的。
v
u
x
u v w x
对于连通无向图: 割点 --- 去掉该顶点所得的子图不再连通; 割边 --- 去掉该边所得的子图不再连通. (也称为桥)
27
§9.5 顶点基和强分图
定义9.19 设有向图D=<V,A>中有顶点子集BV, 如果V－B的每个顶点都可以从B可达, 且B是极小的, 则称B为D的一个顶点基.
3
第三篇 图论
第九章 基本概念
第十章
第十一章
通路问题
图的矩阵表示
第十二章
第十三章
树
穿程问题
第十四章
第十五章
二分图的匹配问题
平面图及色数
4
第九章 基本概念
§9.1 有向图及无向图
§9.2
§9.3
图的基本结构
子图
§9.4
§9.5
连通性
顶点基和强分图
5
§9.1 有向图及无向图
图的本质是一种二元关系. 定义9.1 有向图 D=<V, A>, 其中V是非空的顶点集(有穷), A是弧(序偶)集---V中的二元关系.
通路P的长度|P| --- 通路P中包含的弧数(t).
18
u
v
w
u
v
w
x
y
z
x
y 简单通路 长度=5
z
有向图
v
u
w
u
v
w
x
y
z
x
y
z
基本通路 长度=5
基本回路 长度=4
19
定义9.10 如果存在从u到v的通路, 则称u可达v. “可达”是V中的一个二元关系: 自反、可传递。 定理9.2 如果u到v可达, 则存在从u到v的基本通路. 定义9.11 如果在弧序列(a1, a2, …, at )中, 或者ai=<ui, ui+1>, 或者ai=<ui+1, ui>, 则称该弧序列为半通路. 半通路的弧序列中, 每条弧和序列中的下一条弧只 是相邻, 方向不一定一致. 定义9.12 如果存在从u到v的半通路, 则称u连接v. “连接”是V中的一个二元关系: 自反. 对称. 可传递 . 20
1
第九章 基本概念
从19世纪中叶开始图论进入第二个发展阶段，这个时期图论 问题大量出现，诸如由“绕行世界”游戏发展起来的哈密顿 问题、关于地图染色的四色问题以及与之相关联的图的可平 面性问题等。这个时期也出现了以图为工具去解决其他领域 中一些问题的成果，比如把树的理论应用到化学和电网络分 析等。
直到1936年D.柯尼希发表了图论的第一本专著《有限与无限 图理论》，这时图论才成为一门学科，以后图论进入第三个 发展阶段。由于生产管理、军事、交通运输和计算机网络等 方面提出大量实际问题的需要，特别是许多离散化问题的出 现，以及由于大型高速电子计算机而使许多大规模计算问题 求解成为可能，图论的理论及其应用研究得到飞速发展。
14
定义9.7
设GS=<VS,ES>是图G=<V,E>的子图, 且 ES={e | e=(u,v)E u,vVS } 则称GS为VS的导出子图. 如果GS只是G的一般子图, 则ES只满足 ES{e | e=(u,v)E u,vVS } 可见: 导出子图是顶点子集VS下“边数最多的子图 b b ”. b
b a
G
GS
GS’
13
三类常用子图 定义9.6 设GS=<VS,ES>, GS’=<VS’,ES’>是G=<V,E> 的子图, 如果 ES’=E－ES. VS’= ES’关联顶点集 未包含在VS中的孤立顶点 则称GS’ 是GS相对于G的补图.
补图的边集是一分为二, 而顶点集只是 VS’VS=V 且 VS’VS不含孤立顶点.
u p q K1 v w r D11 s t K2 K3 D11*
半通路
定义9.17 如果有向图D不是弱连通的, 则称D为不连通图.
强连通 (3度连通) 单向连通 (2度连通) 弱连通 不连通 (1度连通) (0度连通) 23
u
x
u
x
u
v
v
w y
D4不连通
z
v
w
y
z
x
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D6强连通
D5单向连通
w
u v x
u
v
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x
z y
D7弱连通
D8强连通
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按定义检查有向图的连通性, 需考察n(n-1)/2对顶点. 术语: 完备通路 --- 通过所有顶点的通路; 完备半通路 --- 通过所有顶点的半通路; 完备回路 --- 通过所有顶点的回路. 定理9.5 定理9.6 定理9.7
u p q
v
w
r
D11
s
t
顶点基: {t, u} {t, v} {t, w} 注意: {w, r, t}不是极小
28
定义9.20 在有向图D=<V,A>中, 一个极大强连通导 出子图, 称为D的一个强(连通)分图.
u p q
v
w r D11
s
t
强分图: {u,v,w} {p,q,r,s} {t}
定理9.8
n
奇顶点(度数为奇数的顶点) --- 必定有偶数个 偶顶点(度数为偶数的顶点)
11
正则图 --- (无向图)所有顶点的度数都为r.
2次正则图
3次正则图
完全图 --- r=n-1的正则图(任意两个顶点都相连) m = n· (n-1)/2
K1 (平凡图)
K2
K3
K4
K5
12
§9.3 子图
定义9.5 两个图G=<V, E>, GS=<VS, ES>, 如果VSV, ESE, 则称GS是G的子图, 并表示为GSG。 (已隐含了GS是图)
9
术语： 孤立顶点：度数为0 --- 无邻接顶点. 平凡图： 仅由一个孤立顶点构成.
顶点度数推广到顶点子集的度数： 设顶点子集XV， od(X) --- 起点在X中而终点在V－X中的弧数, id(X) ---起点在V－X中而终点在X中的弧数.
a d b c f h e g
2 4
1 5
3
7 6
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od(a)=3 od(b)=1
id(a)=1 id(b)=2
d(a)=4 d(b)=3
d(1)=2 d(3)=3
d(2)=3 d(4)=2
10
定理9.1
对于一个具有顶点集V={u1, u2, …, un}的 (n, m)图，有 ∑d(ui)=2m
i=1 n
针对有向图： ∑od(ui) = ∑id(ui) = m
i=1 i=1
n
2
尤其是网络理论的建立，图论与线性规划、动态 规划等优化理论和方法的互相渗透，促使和丰富 了图论的内容和应用。它在通讯网络的设计分析 、电网络分析、印刷线路板分析、信号流图与反 馈理论、计算机流程图等众多领域都有成功的应 用。图论讨论的问题主要有两种形式。一种是问 “具有某种特征的对象是否存在 ？如果存在有几 个 ？或者至少有几个？”另一种是问“怎样”构 造一个满足某一性质的图或子图。这些问题体现 在以下5个最有兴趣的研究领域，它们是：连通性 、嵌入问题、染色问题、矩阵表示以及网络流。
a d c a d d c
e
e
e GS’不是导出子图15
G
GS导出子图
定义9.8
设GS=<VS,ES>是图G=<V,E>的子图, 且 VS=V, 则称GS为G的生成子图.
生成子图是“顶点数最多的子图”, 只是缺边。 --- 即在原图的基础上, 只可减边, 不可减顶点.
a e b e b e a b
定理9.3
如果u可达v, v可达w, 则 d(u,w) ≤ d(u,v) + d(v,w)
(三角不等式) 因u…v, v…w是一条u…w的通路，长度=和
21
定理9.4
含n个顶点的有向图中, 任何基本通路的长度≤ n-1. 任何基本回路的长度≤ n.
以上概念是针对两个顶点之间的连接情况， 下面将讨论基于整个图的连接情况。
在有向图D=<V,A>中, 每个顶点在一个且 仅在一个强分图中.
没有不在强分图中的顶点; 任意两个强分图没有公共顶点.
29
定义9.21 设有向图D=<V,A>有强分图K1,K2,…,Kn, 构造新的有向图D*: ⑴ V(D*) = { K1, K2, …, Kn } ⑵ A(D*) = {<Ki, Kj> | ij, uv(uKivKj<u,v>A} 则称D*为D的压缩.
也可写成: (u1, u2, u3, …, ut, ut+1) --- 由顶点序列构成
简单通路 --- 每条弧都不重复; 基本通路 --- 每个顶点都不重复. 基本通路定是简单通路. (∵ 弧是两个顶点的序偶)
回路 --- 起点u1和终点ut+1是同一顶点的通路. 简单回路 --- 每条弧都不重复; 基本回路 --- 每个顶点都不重复(除u1和ut+1之外)
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定义9.14 有向图D中, 如果每一对顶点u和v, 从u可 达v并且从v可达u, 则称D为强连通图.
双向可达
定义9.15 有向图D中, 如果每一对顶点u和v, 从u可 达v或者从v可达u, 则称D为单向连通图.
单向可达
定义9.16 有向图D中, 如果每一对顶点u和v, u和v 是连接的, 则称D为弱连通图.
定义9.13 距离---两个顶点之间的最短通路的长度. • 距离至少是基本通路的距离, • 无通路(顶点之间不可达)时, 记距离d为∞. • 同一顶点到其自身的距离为0. • 有向图中, 距离不一定是对称的.
u
v
w
x
y
z
d(u,u) = 0 d(u,w) = 2, d(w,u) = ∞ d(v,x) = 2, d(x,v) = 1
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§9.2 图的基本结构
图的基本结构主要是指图的顶点之间、弧(边) 之间、以及顶点与弧(边)之间的连接情况。
术语： 如果顶点u和v之间有弧(边)e=<u, v>, 则称顶点 u和v邻接, 边e关联于顶点u和v, u和v是e的端点(起 点、终点), 关联于同一顶点的各弧(边)称为是相邻 的。
定义9.4 引出次数(出度) 引入次数(入度) 次数(度) 无向图 od(u) 以u为起点的弧数; id(u) 以u为终点的弧数; d(u) = od(u) + id(u) d(u) 与u相连的边数.
u◦ ◦ w ◦v u ◦ v◦ ◦w
定义9.1
无向图 G=<V, E>, 其中V是非空的顶点集, E是边集. 边记为e=(u,v).
6
术语 自环: 平行弧: 平行边: 简单图: 加权图: 一个顶点到它自身的弧(边); 两个顶点之间的同向弧多于一条; (有平行弧的有向图称为多重弧图) 两个顶点之间的边多于一条; (有平行边的无向图称为多重边图) 无自环, 也无平行弧(边)的图; --- 无特别说明时, 都是指简单图. 在弧(边)上附加信息. (如边数, 距离, 流量等)
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图的同构 定义9.3 设有两个无向图G=<V, E>和G’=<V’, E’>, 如果存在双射: VV’, 且 e=(u,v)E e’=((u), (v))E’ 则称图G和G’同构.
a d b c d’ c’ a’ b’
w v u x
x’Βιβλιοθήκη Baiduv’
w’ u’
• 同一个图可画成多种形式; • 反之, 同构的图从本质上是一样的, 只是标记不同; • 图的同构是一种等价关系, 可划分出等价类.
含义 相连的边序列 (边不重复) (顶点不重复) (链的起点和终点相同) (基本闭合链) (链或圈的边数) (最短链的长度) (两顶点之间存在链)
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无向图中顶点之间的连通关系, 满足自反、对称、 可传递, 是等价关系。该等价关系将无向图中的顶 点划分出等价类, 这些等价类即称为连通分支。
u
u v w x G1 G2 w v wy G3 z G4
u v
D强连通 D弱连通
w 完备通路 单向连通
D有一条完备回路. D有一条完备半通路.
u v w x
D单向连通 D有一条完备通路.
x
y
z
完备半通路 弱连通
25
无向图的连通性
有向图 通路 简单通路 基本通路 回路 基本回路 长度 距离 可达/连接 无向图
链 简单链 基本链 闭合链 圈 长度 距离 连通
d G
c
d
c G1导出子图
d
c G2生成子图
16
去点、去边、加边 (运算)
u3 u2 u5 u2 u1 u3 u5
u4
u1
G
u3 u2 u5 u2
去点 G-u4
u3 u5
u4
u4
u1
去边 G-(u2,u4)
u1
加边 G + (u1,u5)
17
§9.4 连通性
定义9.9 在有向图D=<V, A>中, 相连的弧序列 (a1, a2, …, at ) 称为一条通路.
第三篇 图论
图论是以图为研究对象的数学分支。 图论中的图指的是一些点以及连接这 些点的线的总体。通常用点代表事物， 用连接两点的线代表事物间的关系、 图论则是研究事物对象在上述表示法 中具有的特征与性质的学科 。
（见七桥问题）很多人都曾试验过，但都失败了。L.欧拉把七桥问题 化为一个数学问题，并给出一笔画问题的判别准则，从而判定七桥问 题不存在解。这是图论发展的萌芽时期最具代表性的问题，那时不少 图论问题都是围绕着游戏而产生的。
v
u
x
u v w x
对于连通无向图: 割点 --- 去掉该顶点所得的子图不再连通; 割边 --- 去掉该边所得的子图不再连通. (也称为桥)
27
§9.5 顶点基和强分图
定义9.19 设有向图D=<V,A>中有顶点子集BV, 如果V－B的每个顶点都可以从B可达, 且B是极小的, 则称B为D的一个顶点基.
3
第三篇 图论
第九章 基本概念
第十章
第十一章
通路问题
图的矩阵表示
第十二章
第十三章
树
穿程问题
第十四章
第十五章
二分图的匹配问题
平面图及色数
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第九章 基本概念
§9.1 有向图及无向图
§9.2
§9.3
图的基本结构
子图
§9.4
§9.5
连通性
顶点基和强分图
5
§9.1 有向图及无向图
图的本质是一种二元关系. 定义9.1 有向图 D=<V, A>, 其中V是非空的顶点集(有穷), A是弧(序偶)集---V中的二元关系.
通路P的长度|P| --- 通路P中包含的弧数(t).
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u
v
w
u
v
w
x
y
z
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y 简单通路 长度=5
z
有向图
v
u
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u
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z
基本通路 长度=5
基本回路 长度=4
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定义9.10 如果存在从u到v的通路, 则称u可达v. “可达”是V中的一个二元关系: 自反、可传递。 定理9.2 如果u到v可达, 则存在从u到v的基本通路. 定义9.11 如果在弧序列(a1, a2, …, at )中, 或者ai=<ui, ui+1>, 或者ai=<ui+1, ui>, 则称该弧序列为半通路. 半通路的弧序列中, 每条弧和序列中的下一条弧只 是相邻, 方向不一定一致. 定义9.12 如果存在从u到v的半通路, 则称u连接v. “连接”是V中的一个二元关系: 自反. 对称. 可传递 . 20
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第九章 基本概念
从19世纪中叶开始图论进入第二个发展阶段，这个时期图论 问题大量出现，诸如由“绕行世界”游戏发展起来的哈密顿 问题、关于地图染色的四色问题以及与之相关联的图的可平 面性问题等。这个时期也出现了以图为工具去解决其他领域 中一些问题的成果，比如把树的理论应用到化学和电网络分 析等。
直到1936年D.柯尼希发表了图论的第一本专著《有限与无限 图理论》，这时图论才成为一门学科，以后图论进入第三个 发展阶段。由于生产管理、军事、交通运输和计算机网络等 方面提出大量实际问题的需要，特别是许多离散化问题的出 现，以及由于大型高速电子计算机而使许多大规模计算问题 求解成为可能，图论的理论及其应用研究得到飞速发展。
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定义9.7
设GS=<VS,ES>是图G=<V,E>的子图, 且 ES={e | e=(u,v)E u,vVS } 则称GS为VS的导出子图. 如果GS只是G的一般子图, 则ES只满足 ES{e | e=(u,v)E u,vVS } 可见: 导出子图是顶点子集VS下“边数最多的子图 b b ”. b