第八章 第七节 双曲线

第八章 第七节 双曲线

1.(2010·汕头一模)一条渐近线的距离为2，则双曲线方程为

( )

A ．x 2－y 2＝1

B ．x 2－y 2＝2

C ．x 2－y 2＝ 2

D ．x 2－y 2＝12

解析：由题意，设双曲线方程为x 2a 2－y 2

a 2＝1(a >0)，

则c ＝2a ，渐近线y ＝x ，∴|2a |

2＝2，∴a 2＝2.

∴双曲线方程为x 2－y 2＝2. 答案：B

2．已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)、F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且

1MF ·2MF ＝0，|1MF |·

|2MF

|＝2，则该双曲线的方程是 ( ) A.x 29－y 2＝1 B ．x 2－y 2

9

＝1 C.x 23－y 27＝1 D.x 27－y 2

3

＝1 解析：∵1MF ·2MF ＝0，∴1MF ⊥2MF ，∴MF 1⊥MF 2，

∴|MF 1|2＋|MF 2|2＝40，

∴(|MF 1|－|MF 2|)2＝|MF 1|2－2|MF 1|·|MF 2|＋|MF 2|2＝40－2×2＝36， ∴||MF 1|－|MF 2||＝6＝2a ，a ＝3， 又c ＝10，∴b 2＝c 2－a 2＝1， ∴双曲线方程为x 29－y 2

＝1.

答案：A

3.(2009·宁夏、海南高考)双曲线x 4－y 12＝1的焦点到渐近线的距离为 ( )

A ．23

B ．2 C. 3 D ．1

解析：双曲线x 24－y 2

12＝1的焦点为(4,0)或(－4,0)．渐近线方程为y ＝3x 或y ＝－3x .

由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等，d ＝|43＋0|

3＋1

＝2 3.

答案：A

4．(2010·普宁模拟)已知离心率为e 的曲线x 2a 2－y 2

7＝1，其右焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点

重合，则e 的值为 ( ) A.34 B.42323 C.43 D.234 解析：抛物线焦点坐标为(4,0)，则a 2＋7＝16， ∴a 2＝9，∴e ＝c a ＝43.

答案：C

5．(2009·江西高考)设F 1和F 2为双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，若F 1，F 2，

P (0,2b )是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为 ( ) A.32 B ．2 C.5

2 D ．3

解析：|PO ||F 1O |

＝tan60°，

2b c ＝3⇒4b 2＝3c 2⇒4(c 2－a 2)＝3c 2⇒c 2＝4a 2

⇒c 2a 2＝4⇒e ＝2. 答案：B

6．(2010·广州模拟)已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线

的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是 ( ) A ．(1，＋∞) B ．(1,2) C ．(1,1＋2) D ．(2,1＋2) 解析：如图，要使△ABE 为锐角三角形，只需∠AEB 为锐角，由双曲线对称性知△ABE

为等腰三角形，从而只需满足∠AEF <45°. 又当x ＝－c 时，y ＝b 2a ，

∴tan ∠AEF ＝|AF ||EF |＝b 2

a (a ＋c )<1，

∴e 2－e －2<0， 又e >1，∴1

7.(2010·西安调研)过点P (4,4)且与双曲线x 16－y 9＝1只有一个交点的直线有 ( )

A ．1条

B ．2条

C ．3条

D ．4条 解析：如图所示，满足条件的直线共有3条．

答案：C

8．设双曲线x 29－y 2

16＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 作平行双曲线的一条渐近线

的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________． 解析：由题意知，A (3,0)，F (5,0)，渐近线斜率k ＝±4

3，

则直线方程为y ＝4

3(x －5)，

代入x 29－y 216＝1，得x ＝175，

∴y ＝－3215，即B (175，－3215)，

∴S △AFB ＝12×2×3215＝32

15.

答案：32

15

9.(2010·德州模拟)P 为双曲线x 2

－y 15＝1右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋4)2＋y 2＝4和(x

－4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为________．

解析：双曲线的两个焦点为F 1(－4,0)、F 2(4,0)，为两个圆的圆心，半径分别为r 1＝2，r 2＝1，|PM |max ＝|PF 1|＋2，|PN |min ＝|PF 2|－1，故|PM |－|PN |的最大值为(|PF 1|＋2)－(|PF 2|－1)＝|PF 1|－|PF 2|＋3＝5. 答案：5

10．(1)已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x 2＋y 2＝10相交于点P (3，－1)，若此圆过点P 的切线与双曲线的一条渐近线平行，求此双曲线的方程；

(2)已知双曲线的离心率e ＝52，且与椭圆x 213＋y 2

3＝1有共同的焦点，求该双曲线的 方

程．

解：(1)切点为P (3，－1)的圆x 2＋y 2＝10的切线方程是3x －y ＝10. ∵双曲线的一条渐近线与此切线平行，且双曲线关于两坐标轴对称， ∴两渐近线方程为3x ±y ＝0.

设所求双曲线方程为9x 2－y 2＝λ(λ≠0)．

∵点P (3，－1)在双曲线上，代入上式可得λ＝80，