第四章第四次课
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自动控制理论
为什么？
第四章
• 系统的时间响应与闭环零、极点的分布 密切相关。
• 为了评价系统性能的优劣，就得首先求 得系统的闭环零、极点。
• 然后根据其分布情况估算系统的动态性 能和静态性能指标。
CHANG’AN UNIVERSITY
长安大学信息工程学院
自动控制理论
根据系统的 开环零极点
闭环 根 轨 迹
（闭环极点之积 = （-1）n×特征方程常数项
CHANG’AN UNIVERSITY
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自动控制理论
第四章
根轨迹幅值方程：
m
（s zi )
K i1 gn
1
(s pj )
j 1
即：开环增益
m
s pj
Kg
i 1 n
s zj
j 1
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自动控制理论
第四章
• 系统的稳态误差可根据有关公式直接计算：
• K p =∞ , K v=0.525 , K a =0 • 因为系统属于Ι型，所以在阶跃输入下为无差
系统，在单位斜坡输入下的稳态误差为 • e ss= 1.9.
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自动控制理论
第四章
• 为了确定满足ζ=0.5的3个闭环极点，首先做等阻尼 线，它与负实轴的夹角为β=60°.
• 从根轨迹图中读取等阻尼线与根轨迹的交点坐标 ：
（该交点即闭环极点）
• -s1=-0.33+j0.58 ; -s2=-0.33-j0.58 • 再根据 ∑开环极点 = ∑闭环极点求得对应的第三个
• 可见，共轭闭环极点最靠近虚轴，在系统的暂态响应 中起着主导性作用，因而是闭环主导极点。
• 因此，可以根据由主导极点所构成的二阶系统来估算 本三阶系统的性能指标。
• 根据ζ=0.5以及极点坐标可得：ωn=0.66
• 根据结构常数ζ和ωn，计算指标:
• Ts=9(s),Mp=16.3%.
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（5）利用闭环特征方程的根之和与根之积确
定其它闭环极点。
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自动控制理论
第四章
• 1. 等阻尼线的概念 • 2. 利用根轨迹幅值条件求开环增益K • 3. 主导极点的概念 • 4. 特征方程的根之和与根之积 • (开环极点之和 = 闭环极点之和）
s(s
K 3)(s2
2s
2)
若要求闭环系统的阻尼比ξ=0.5,求系统闭环极点。
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自动控制理论
解：
第四章
（1）根据根轨迹画法基本规则做根轨迹图； （2）在根轨迹图上画出阻尼比线；
（3）求出根轨迹与阻尼比线的交点得到闭环
主导极点的位置；
（4）根据幅值条件，求出对应的开环增益；
自动控制理论
总结
第四章
系统的开环 零、极点位
置
闭环 根轨迹
闭环 极点 位置
系统参数 （ζωn k )
系统性能 分析
系统性能分析
稳定性分析
闭环极点分布、kg
快速性和平稳性分析 稳态误差分析
ζ、ωn G开环、kg
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自动控制理论
第四章
系统闭环零、极点位置 与暂态响应的关系
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自动控制理论
例：
第四章
设单位反馈控制系统的开环传递函数为
G(s)H (s)
K
s(s 1)(0.5s 1)
试应用根轨迹法求取具有阻尼比ξ=0.5的共 轭闭环主导极点和其他的闭环极点，并估算此 时系统的性能指标。
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i 1
s1 s2 s3 s4 0.4 j0.7 (0.4 j0.7) s3 s4 4.8
s1 s2
s3 s4
(1)4 k
2.91
CHANG’AN UNIVERSITY
s3 1.4 s4 2.85
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自动控制理论
第四章
利用根轨迹确定闭环极点 进而分析系统的性能
CHANG’AN UNIVERSITY
第四章
闭
环
系统结构
极
点
参数
位 置
（ζω k )
系统 性能 分析
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第四章
利用根轨迹 确定闭环极点位置
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自动控制理论
第四章
例：
设单位反馈控制系统的开环传递函数为：
G(Hale Waihona Puke Baidu)H
(s)
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第四章
从图中交点读闭环主导极点为： sd 0.4 j 0.7
根据幅值条件确定开环增益：
n
s pi
4
K＝
i 1 m
sd pi 2.91
s zi
i 1
i 1
特征方程 s4 5s3 8s2 6s K 0
n
si a1 4.8
i 1
n
si (1)n an (1)4 2.91 2.91
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第四章
• 解： 将开环传递函数改写为零、极点的形式：
Gk (s)
s(s
2k 1)( s
2)
s(s
kg 1)( s
2)
式中：kg=2k, k为开环传递函数，kg为根轨迹增益。
根据根轨迹绘制规则，做根轨迹如下： 三条分支，实轴上分支包括:[-1,0],[-∞,-2] 根轨迹在实轴上的分离点为（-0.422，j0) 与虚轴有交点（0，√2j)，(0, -√2j), 与虚轴交点处的k=3, 根轨迹渐近线与实轴交点（-1，0），夹角±60°
闭环极点为（-2.34）。 • 根据根轨迹幅值方程求得对应于s1点的根轨迹增益为:
• Kg = s1 p1 s2 p2 s3 p3 1.05
• 该点对应的开环传递系数 K= 0.525.
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第四章
• 在所求的3个闭环极点中，极点（-2.34）最远离虚轴， 它与其他极点距虚轴的距离之比为2.34/0.33=7倍。
自动控制理论
第四章
Imag Axis
2 1.5
1 0.5
0 -0.5
-1 -1.5
-2 -3.5
阻尼比线
sd
一对闭环 主导极点
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
Real Axis
data1 data2 data3 data4 data5 data6 data7
0.5
1
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为什么？
第四章
• 系统的时间响应与闭环零、极点的分布 密切相关。
• 为了评价系统性能的优劣，就得首先求 得系统的闭环零、极点。
• 然后根据其分布情况估算系统的动态性 能和静态性能指标。
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根据系统的 开环零极点
闭环 根 轨 迹
（闭环极点之积 = （-1）n×特征方程常数项
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第四章
根轨迹幅值方程：
m
（s zi )
K i1 gn
1
(s pj )
j 1
即：开环增益
m
s pj
Kg
i 1 n
s zj
j 1
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第四章
• 系统的稳态误差可根据有关公式直接计算：
• K p =∞ , K v=0.525 , K a =0 • 因为系统属于Ι型，所以在阶跃输入下为无差
系统，在单位斜坡输入下的稳态误差为 • e ss= 1.9.
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第四章
• 为了确定满足ζ=0.5的3个闭环极点，首先做等阻尼 线，它与负实轴的夹角为β=60°.
• 从根轨迹图中读取等阻尼线与根轨迹的交点坐标 ：
（该交点即闭环极点）
• -s1=-0.33+j0.58 ; -s2=-0.33-j0.58 • 再根据 ∑开环极点 = ∑闭环极点求得对应的第三个
• 可见，共轭闭环极点最靠近虚轴，在系统的暂态响应 中起着主导性作用，因而是闭环主导极点。
• 因此，可以根据由主导极点所构成的二阶系统来估算 本三阶系统的性能指标。
• 根据ζ=0.5以及极点坐标可得：ωn=0.66
• 根据结构常数ζ和ωn，计算指标:
• Ts=9(s),Mp=16.3%.
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（5）利用闭环特征方程的根之和与根之积确
定其它闭环极点。
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第四章
• 1. 等阻尼线的概念 • 2. 利用根轨迹幅值条件求开环增益K • 3. 主导极点的概念 • 4. 特征方程的根之和与根之积 • (开环极点之和 = 闭环极点之和）
s(s
K 3)(s2
2s
2)
若要求闭环系统的阻尼比ξ=0.5,求系统闭环极点。
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解：
第四章
（1）根据根轨迹画法基本规则做根轨迹图； （2）在根轨迹图上画出阻尼比线；
（3）求出根轨迹与阻尼比线的交点得到闭环
主导极点的位置；
（4）根据幅值条件，求出对应的开环增益；
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总结
第四章
系统的开环 零、极点位
置
闭环 根轨迹
闭环 极点 位置
系统参数 （ζωn k )
系统性能 分析
系统性能分析
稳定性分析
闭环极点分布、kg
快速性和平稳性分析 稳态误差分析
ζ、ωn G开环、kg
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系统闭环零、极点位置 与暂态响应的关系
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设单位反馈控制系统的开环传递函数为
G(s)H (s)
K
s(s 1)(0.5s 1)
试应用根轨迹法求取具有阻尼比ξ=0.5的共 轭闭环主导极点和其他的闭环极点，并估算此 时系统的性能指标。
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i 1
s1 s2 s3 s4 0.4 j0.7 (0.4 j0.7) s3 s4 4.8
s1 s2
s3 s4
(1)4 k
2.91
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利用根轨迹确定闭环极点 进而分析系统的性能
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闭
环
系统结构
极
点
参数
位 置
（ζω k )
系统 性能 分析
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例：
设单位反馈控制系统的开环传递函数为：
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从图中交点读闭环主导极点为： sd 0.4 j 0.7
根据幅值条件确定开环增益：
n
s pi
4
K＝
i 1 m
sd pi 2.91
s zi
i 1
i 1
特征方程 s4 5s3 8s2 6s K 0
n
si a1 4.8
i 1
n
si (1)n an (1)4 2.91 2.91
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第四章
• 解： 将开环传递函数改写为零、极点的形式：
Gk (s)
s(s
2k 1)( s
2)
s(s
kg 1)( s
2)
式中：kg=2k, k为开环传递函数，kg为根轨迹增益。
根据根轨迹绘制规则，做根轨迹如下： 三条分支，实轴上分支包括:[-1,0],[-∞,-2] 根轨迹在实轴上的分离点为（-0.422，j0) 与虚轴有交点（0，√2j)，(0, -√2j), 与虚轴交点处的k=3, 根轨迹渐近线与实轴交点（-1，0），夹角±60°
闭环极点为（-2.34）。 • 根据根轨迹幅值方程求得对应于s1点的根轨迹增益为:
• Kg = s1 p1 s2 p2 s3 p3 1.05
• 该点对应的开环传递系数 K= 0.525.
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• 在所求的3个闭环极点中，极点（-2.34）最远离虚轴， 它与其他极点距虚轴的距离之比为2.34/0.33=7倍。
自动控制理论
第四章
Imag Axis
2 1.5
1 0.5
0 -0.5
-1 -1.5
-2 -3.5
阻尼比线
sd
一对闭环 主导极点
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
Real Axis
data1 data2 data3 data4 data5 data6 data7
0.5
1
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